高一数学二次函数的性质和图象课件

二次函数的图象和性质
高一数学 毕京祥
教学目标
知识与技能目标 1．能通过配方把二次函数 y ax2 bx c(a 0)
化成 y a(x h)2 k 的形式，从而确定 开口方向、对称轴和顶点坐标；
2．会利用对称性画出二次函数的图象．
3、会用公式确定 y ax2 bx c(a 0) 对称轴和顶点坐标。
过程与方法目标 通过思考（新问题转化为旧知识，）探究，
归纳，尝试等过程，让学生从中学会探索新知的方 式方法。
情感态度价值观目标 经历求二次函数的对称轴和顶点坐标的探究过
程，渗透配方法和数形结合的思想方法。
重点和难点
教学重点： 用配方法确定抛物线的顶点坐标和对称轴
教学难点：
配方法的推导过程
（一）二次函数的定义
（二）二次函数的几种表达式：
①、y a(x h)2 k(a 0)
②、y ax2 bx c(a 0)
③、y a(x x1)( x x2 )(a 0)
(顶点式) (一般式)
(交点式)
例2、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0） 与x轴的两个交点的横坐标是 -1、3，与 y轴交点的纵坐标是 ：
f (x)
1
2
(x

4)
2
2
的图像
2
（2）函数与x轴的交点是： (－6，0)和( －2，0)
函数与y轴的交点：
（0，6）
（3）函数图像的对称性质：
函数的对称轴是x=－4。 如果一个函数f(x)满足： f(a+x) = f(a－x)，那么函数f(x)关于x=a对称.
（4） 函数f(x)在(－∞, －4]上是减函数，在[－4, + ∞) 上是增函数.
（1）确定抛物线的解析式；
y 1 x2 x 3
2
2
Fra Baidu bibliotek
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（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对 称轴和顶点坐标.
y 1 (x 1)2 2 2
开口向上; 对称轴直线x=1; 顶点坐标(1,-2)
（三）二次函数的图像与性质
抛物线
y a(x h)2 k
能力训练
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在下
列各不等式中成立的个数是__①__④___⑤_____
y
-1
1
x
0
①abc<0 ②a+b+c < 0 ③a+c > b ④2a+b=0 ⑤Δ=b2-4ac > 0
反馈练习：
1.已知 y ax2 bx c 的图象如图所示,则a、b、
解：（1）△=m2－4m+8=(m－2)2+4>0， 所以无论m为何值时，函数的图象与x轴总有两个交点；
（2）设方程的两个解分别为x1，x2，则x1+x2=m，x1x2=m－2，
(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2=m2－4m+8=(m－2)2+4. 所以当m=2时，|x1－x2|最小，最小值是2.
y ax2 bx c
开口方向 当a>0时开口向上，并向上无限延伸；当a<0时开口向下，无限延伸.
顶点坐标 对称轴
(h,k) 直线 x h
a>0 最 值
a<0
x h时,ymin k x h时,ymax k
在对称轴左侧，y随x的增大而减小
增 a>0 在对称轴右侧，y随x的增大而增大
2(m 1)
抛物线的开口向上.
（2）原函数整理得y=x2－4x+3=(x－2)2－1.
所以当x=2时，ymin=－1.
单调增区间为[2, +∞)，
单调减区间为(－∞, 2].
例4. 已知函数f(x)=ax2+bx(a，b为常数)，x∈[－1，1]，
（1）若函数f(x)为偶函数，且f(1)=1，求a，b的值；
c满足(D )
(A) a<0,b<0,c<0;
(B) a>0,b<0,c>0
y
(C) a<0,b>0,c>0;
(D) a<0,b<0,c>0
0
x
2、下列各图中能表示函数 y=ax+b和 y ax2 bx 在
同一坐标系中的图象大致是（ D ）
y
y
y
y
0x
A
0
x
B
0
x
C
0
x
D
总结：
课堂小结
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a，b，c，△与抛物线的关
例3.研究函数 f (x) 1 x2 4x 6 的图像与性质.
2 解：（1）配方得 f (x) 1 (x 4)2 2
2
所以函数y=f(x)的图像可以看作是由y =1 x2 经一系列变换得到
2 的，具体地说：先将y = 1 x2 的图像向左移动4个单位，再向下移
动2个单位得到
减 性
a<0
在对称轴左侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而减小
(
b
4ac b2
,
)
2a
4a
直线 x b
2a
x


b 2a
时，ym
in

4ac 4a
b
2
x


b 2a
时，ymax

4ac 4a
b2
y y
x
x
（四）研究二次函数的一般方法: （1）配方 （2）求函数的图象与x轴的交点 （3）列表描点作图 （4）函数图象的对称性质 （5）函数的增减性，最值
（2）若函数f(x)为奇函数，且f(
1 2
)=
1 2
,求f(x)的值域。
解： （1）因为函数f(x)=ax2+bx为偶函数，所以b=0， 又f(1)=1，所以a=1. f(x)=x2.
（2）函数f(x)为奇函数，则a=0，b=1， 所以f(x)=x， x∈[－1，1]， 所以值域是[－1，1].
例5. 已知函数f(x)=x2－4x+1，不计算函数值， 比较f(－1)、f(1)、f(4)、f(5)的大小。
一般地，如果y=ax2+bx+c(a、b、c是常数， a≠0),那么y叫做x 的二次函数.
例1、函数y (k 1)x2k2k1是二次函数，则k _______ . 2
解：根据题意，得
k

1 2

0
2k 2 k 1 2
① ②
k 1
练习：函数y (m 1)xm2m mx 1是二次函数，则m _２____.
△
△＝０时抛物线与x轴有一个交点
△＜０时抛物线于x轴没有交点
（5）函数f(x)在x=－4时，取得最小值－2，记为ymin=－2. 它的图象顶点为(－4，－2)
练习. 已知抛物线y=(m 1)x2 m2x 3 m 的的对称轴x=2 2
（1）求m的值，并判断抛物线开口方向； （2）求函数的最值及单调区间。
解：（1）因为抛物线的对称轴是x=2， 所以 m2 2 ，解得m=2，m－1>0，
解： f(x)=x2－4x+1=(x－2)2－3， 对称轴是x=2，在区间[2, +∞)上是增函数. f(－1)=f(2－3)=f(2+3)=f(5)， f(1)=f(2－1)=f(2+1)=f(3)， 所以f(1)<f(4)<f(－1)=f(5).
例6. 已知二次函数y=x2－mx+m－2， （1）证明：无论m为何值时，函数的图象与x轴总有两个 交点； （2）m为何值时，这两个交点之间的距离最小。
系
a
a决定开口方向：a＞０时开口向上， a＜０时开口向下
a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧
a,b
a、b异号时对称轴在y轴右侧
b＝０时对称轴是y轴
c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴
c
c＝０时抛物线过原点
c＜０时抛物线交于y轴的负半轴
△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有两个交点