大学物理(肖剑荣主编)-习题答案-第6章

第六章 课后习题解答
桂林理工大学 理学院 胡光辉
（《大学物理·上册》主编：肖剑荣 梁业广 陈鼎汉 李明）
6-1 一半径 r =10cm
的圆形回路放在 B =0.8T
的均匀磁场中．回路平面与
! B
垂
直．当回路半径以恒定速率 dr =80cm·s-1 收缩时，求回路中感应电动势的大小． dt
解: 回路磁通
∴ 回路中总感应电动势
e
=
e1
+e2
=
µ0 Ibv 2π
(1 d
-
d
1 +
) a
= 1.6´10-8
V
方向沿顺时针．
6-8 长度为 l 的金属杆 ab 以速率 v 在导电轨道 abcd 上平行移动．已知导轨处于 均匀磁场 B! 中， B! 的方向与回路的法线成 60°角(如图所示)， B! 的大小为 B = kt ( k 为正常)．设 t =0 时杆位于 cd 处，求：任一时刻 t 导线回路中感应电动势的大
=
µ0Iv p
ln
a a
+ -
b b
6-12 磁感应强度为 B! 的均匀磁场充满一半径为 R 的圆柱形空间，一金属杆放在
dB 图中位置，杆长为 2 R ，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外．当 ＞0 时，
dt
求：杆两端的感应电动势的大小和方向．
解： ∵ e ac = e ab + e bc
e ab
= - dF1 dt
解：在金属杆上取 dr 距左边直导线为 r ，则
ò ò e AB =
B(v!
´
! B)
×
! dl
=
A
a+b
-
µ 0 Iv
1 (
+
1
)dr = - µ0 Iv ln a + b
a-b 2p r 2a - r
p a-b
∵ e AB < 0
∴ 实际上感应电动势方向从 B ® A，即从图中从右向左，
∴
U AB
dt 在螺线管内绷直成 ab 弦， a , b 两点与螺线管绝缘，如图所示．设 ab = R ，试 求：闭合导线中的感应电动势．
解：如图，闭合导线 abca 内磁通量
Fm
=
B!
×
! S
=
B(π
R2 6
-
3R 2 )
4
∴
ei
=
πR 2 -(
6
-
3 R 2 ) dB 4 dt
∵ dB > 0 dt
∴ ei < 0，即感应电动势沿 acba ，逆时针方向． 6-14 如图所示，在垂直于直螺线管管轴的平面上放置导体 ab 于直径位置，另一
dt
dt
方向与 cbadc 相反，即顺时针方向． 6-3 如图所示，一根导线弯成抛物线形状 y = ax 2 ，放在均匀磁场中．B! 与 xOy 平 面垂直，细杆 CD 平行于 x 轴并以加速度 a 从抛物线的底部向开口处作平动．求 CD 距 O 点为 y 处时回路中产生的感应电动势．
解: 计算抛物线与 CD 组成的面积内的磁通量
µ0I
)ldr = µ0Il
d-a 1 (-
1
)dr = µ0Il (ln d - a - ln
d
)
a 2rπ 2π (d - r)
2π a r r - d
2π
a
d -a
= µ0Il ln d - a
π
a
∴
L
F =
=
µ0l
ln d
-a
Iπ a
6-18 两线圈顺串联后总自感为 1.0H，在它们的形状和位置都不变的情况下，反
动势的大小及方向．
解: 取半圆形 cba 法向为 i! ，
则
F m1
= π R2 B cosa 2
同理，半圆形 adc 法向为 !j ，则
Fm2
= π R2 B cosa 2
∵
! B
与
i!
夹角和
! B
与
!j
夹角相等，
∴
a = 45°
则
Fm = Bπ R2 cosa
e = - dF m = -πR 2 cosa dB = -8.89 ´10-2 V
6-20 一无限长圆柱形直导线，其截面各处的电流密度相等，总电流为 I ．求： 导线内部单位长度上所储存的磁能．
解：在 r < R 时
B = µ0Ir 2πR 2
∴
wm
=
B2 2µ0
=
µ0I 2r2 8π2 R4
取 dV = 2πrdr (∵导线长 l = 1 )
则
ò ò W =
R
0 wm 2prdr =
导体 cd 在一弦上，导体均与螺线管绝缘．当螺线管接通电源的一瞬间管内磁场
如题 10-14 图示方向．试求：
（1） ab 两端的电势差；
（2） cd 两点电势高低的情况．
!
ò ò ! !
解：由 l E旋 × dl = -
dB dt
×
! dS
知，此时
! E旋
以
O
为中心沿逆时针方向．
! (1) ∵ ab 是直径，在 ab 上处处 E旋 与 ab 垂直
面，且端点 MN 的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为 b ，环心 O 与导线相距
a ．设半圆环以速度 v 平行导线平移．求半圆环内感应电动势的大小和方向及
MN 两端的电压 U M - U N ．
解: 作辅助线 MN ，则在 MeNM 回路中，沿 v! 方向运动时 dFm = 0
∴
e MeNM = 0
小和方向．
ò 解: ∵
Fm =
! B
×
! dS
=
Blvt
cos 60°
=
kt
2lv
1
=
1
klvt
2
22
∴ e = - dF m = -klvt 即沿 abcd 方向顺时针方向． dt
6-9
一
矩形导线框以
恒定的加速度向右穿过一均匀
磁场区，
! B
的
方向如图
所
示．取逆时针方向为电流正方向，画出线框中电流与时间的关系(设导线框刚进
ò ò Fm = 2
BdS = 2
y
a B( y -ax2 )dx = 2
2B
0
3a
3
y2
∴
e = - dFm = -
B
1
y2
dy
=-
2B
1
y2v
dt
a dt a
∵ v2 = 2ay
1
∴ v = 2a y2
则
ei
=
-
2B a
1
y2
1
2a y 2 = -By
8a a
e i 实际方向沿 ODC ．
6-4 如图所示，载有电流 I 的长直导线附近，放一导体半圆环 MeN 与长直导线共
串联后总自感为 0.4H．试求：它们之间的互感．
解：∵ 顺串时 L = L1 + L2 + 2M
反串联时 L¢ = L1 + L2 - 2M
∴
L - L¢ = 4M
M = L - L¢ = 0.15 H 4
10-19 一矩形截面的螺绕环如图所示，共有 N 匝．试求： (1)此螺线环的自感系数； (2)若导线内通有电流 I ，环内磁能为多少?
=
B!
×
! S
=
π r2 B
2
cos(wt
+j0)
∴
ei
= - dFm dt
=
Bπ
r 2
2w
sin(wt
+
j0
)
em
=
Bπ r 2w 2
=
Bπ r 2 2
2π f
= π 2r 2 Bf
∴
I = e m = π2r 2 Bf
RR
6-7 如图所示，长直导线通以电流 I =5A，在其右方放一长方形线圈，两者共面．线 圈长 b =0.06m，宽 a =0.04m，线圈以速度 v =0.03m·s-1 垂直于直线平移远离．求：
d 2π r
2π
b
d
(2) e = - dF = µ0l [ln d + a - ln b + a ] dI
dt 2π d
b dt
6-6 如图所示，用一根硬导线弯成半径为 r 的一个半圆．令这半圆形导线在磁场
中以频率 f 绕图中半圆的直径旋转．整个电路的电阻为 R ．求：感应电流的最大
值．
解: ∵
Fm
ò F12 =
2a
3 a
3
µ 0 Ia 2π r
dr
=
µ0Ia ln 2 2π
∴ M = F12 = µ0a ln 2 I 2π
6-16 一矩形线圈长为 a =20cm，宽为 b =10cm，由 100 匝表面绝缘的导线绕成，
放在一无限长导线的旁边且与线圈共面．求：题 10-16 图中(a)和(b)两种情况下，
即
e MeN = e MN
又∵
a+b
ò e MN
=
vB cospd
a-b
l = µ0Iv ln a - b < 0 2p a + b
所以 e MeN 沿 NeM 方向，
大小为
µ0Iv ln a + b 2p a - b
M 点电势高于 N 点电势，即
UM
-UN
=
µ0Iv ln a + b 2p a - b
平行于转轴，如图 10-10 所示．试求： （1） ab 两端的电势差； （2） a, b两端哪一点电势高?
解: (1) 在 Ob 上取 r ® r + dr 一小段
则
ò e Ob
=
2l 3
w rBdr
=
2Bw
l2
0
9
同理
ò e Oa
=
l
3 wrBdr
=
1
Bwl 2
0
18
∴
e ab
= e aO
+ e Ob
∴ M =0
6-17 两根平行长直导线，横截面的半径都是 a ，中心相距为 d ，两导线属于同一
回路．设两导线内部的磁通可忽略不计，证明：这样一对导线长度为 l 的一段自
感为 L = µ0l In d - a ． pa
解： 如图 10-17 图所示，取 dS = ldr
则
ò ò F = d-a ( µ0I +
=
(- 1 18
+
2)Bwl 2 9
=
1 6
Bwl 2
(2) ∵
e ab > 0 即U a -Ub < 0
∴ b 点电势高．
6-11 如图所示，长度为 2b 的金属杆位于两无限长直导线所在平面的正中间，并 以速度 v! 平行于两直导线运动．两直导线通以大小相等、方向相反的电流 I ，两 导线相距 2 a ．试求：金属杆两端的电势差及其方向．
= - d [dt
3 R2B] = 4
3R dB 4 dt
e ab
= - dF 2 dt
=
d πR2 - [-
dt 12
B] =
πR 2 12
dB dt
∴
e ac = [
3R 2 πR 2 dB +]
4 12 dt
∵ dB > 0 dt
∴ e ac > 0 即 e 从 a ® c 6-13 半径为 R 的直螺线管中，有 dB ＞0 的磁场，一任意闭合导线 abca ，一部分
Fm = BS = Bπ r 2
感应电动势大小 e = dFm = d (Bπ r2 ) = B2π r dr = 0.40 V
dt dt
dt
6-2 一对互相垂直的相等的半圆形导线构成回路，半径 R =5cm，如题 10-2 图所 示．均匀磁场 B =80×10-3T，B 的方向与两半圆的公共直径(在 Oz 轴上)垂直，且 与两个半圆构成相等的角a . 当磁场在 5ms 内均匀降为零时，求回路中的感应电
6-5 如图所示，在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈．两导线中
dI 的电流方向相反、大小相等，且电流以 的变化率增大，求：
dt (1)任一时刻线圈内所通过的磁通量； (2)线圈中的感应电动势．
解: 以向外磁通为正则
ò ò (1)
Fm
=
b+a µ0I ldr b 2π r
d+a µ0I ldr = µ0Il [ln b + a - ln d + a ]
线圈与长直导线间的互感．
解：(a) 见图(a)，设长直电流为 I ，它产生的磁场通过矩形线圈的磁通为
ò ò F12Baidu Nhomakorabea=
!! B × dS
=
µ 0 Ia
(S)
2π
2b dr = µ0 Ia ln 2 b r 2π
∴ M = NF12 = N µ0a ln 2 = 2.8 ´10-6 H
I
2π
(b) ∵ 长直电流磁场通过矩形线圈的磁通F12 = 0 ，见图(b)
!
ò ∴
l 旋×dl = 0
∴ e ab = 0,有U a = Ub
ò (2) 同理，
e dc =
c! ! E × dl > 0
d旋
∴
Ud -Uc < 0即Uc > Ud
6-15 一无限长的直导线和一正方形的线圈如图所示放置(导线与线圈接触处绝
缘)．求：线圈与导线间的互感系数．
解：设长直电流为 I ，其磁场通过正方形线圈的互感磁通为
解：如图所示：
ò (1) 通过横截面的磁通为 F = b µ0NI hdr = µ0NIh ln b
a 2rπ
2π a
磁链 Y = NF = µ0 N 2 Ih ln b 2π a
∴ L = Y = µ0 N 2h ln b I 2π a
(2) ∵
Wm
=
1 2
LI
2
∴
Wm
=
µ0 N 2 I 2h ln b 4π a
d =0.05m 时线圈中感应电动势的大小和方向．
解: AB 、 CD 运动速度 v! 方向与磁力线平行，不产生感应电动势．
ò DA 产生电动势
e1 =
A(v!
´
! B)
×
! dl
=
vBb
=
vb
µ0I
D
2pd
ò BC 产生电动势
e2 =
C(v!
´
B!)
×
! dl
=
-vb
µ0I
B
2π (a + d)
入磁场区时 t =0)．
解:
dF 如图逆时针为矩形导线框正向，则进入时
< 0,e
> 0；
dt
dF
在磁场中时
= 0,e
= 0；
dt
dF
出场时
> 0，e
< 0 ，故 I
- t 曲线如图(b)所示.
dt
6-10 导线 ab 长为 l ，绕过 O 点的垂直轴以匀角速 w 转动， aO = l 磁感应强度 B 3
R µ0I 2r3dr 0 4π R4
= µ0I 2 16π