大学物理习题及解答(打印版)

∂V ∂V = 0, E z = − =0 ∂y ∂z
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18
3
例题7.1 两平行金属板A、B，面积S， 相距d， 带电：QA，QB，求两板各表面上的 电荷面密度及两板间的电势差(忽略金属板的 边缘效应)。 解 (σ1+ σ2)S=QA (σ3+ σ4)S=QB P1点: P2点:
σ σ1 σ σ − 2 − 3 − 4 =0 2ε o 2ε o 2ε o 2ε 0 σ σ1 σ σ + 2 + 3 − 4 =0 2ε o 2ε o 2ε o 2ε 0
解上面四个式子得
d
σ 2 = −σ 3 =
d
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QA − QB (相对面等量异号) 2S Q + QB σ1 = σ4 = A 2S
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σ 2 = −σ 3 =
Q A − QB 2S Q A + QB σ1 =σ4 = 2S
A
B
s σ1 σ2
P1
两板间的电场： σ Q − QB E= 2 = A 2 Sε o εo 两板间的电势差为
例题 设空间电势分布为: V=2xy 2, 求空间电场分 布。 解
Ex = −
q q = 4πε o r 4πε o x 2 + R 2
∂V p ∂x =
x q
r
R
Ex = − Ey = −
1 q⋅x ⋅ 2 4πε o ( x + R 2 )3/ 2
∂V = −2 y 2 ∂x ∂V Ey = − = −4 xy ∂y � � � � � E = E x i + E y j = −(2 y 2 i + 4 xyj )
例题 求圆弧圆心、圆环轴线上的电势。(取无穷 远为电势零点)
o
q
L
dx dq
解
x
P d
dq q = Vo= 圆弧 4πε o R 4 πε o R
∫
R R
q dq q = Vp = 4 πεo r 环 4πε o r
dq P
Vp =
∫
d+L
d
q dx L 4 πε o x
∫
=
q d+L ln 4πε o L d
σ3
P2
σ4
例题7.2 三块平行金属板，S=200cm 2 , ×10-7C, 不计边 d2=4.0cm, d1 =2.0cm，qA=3.0 =3.0× 缘效应，求B板和C板上的感应电荷及A板的 电势。 解 q1+q2= qA (1)
C A B
UA-UB=UA-UC d
q1 q2 -q1 -q2
E1d 1 = E 2d 2
r < R : E1 = 0;
r > R : E2 = q 4πεo r 2
R
∞
R
Vp =
= =
∫
R σ.2πrdr
x
d
r dr
0 4πεod
选定无限远处的电势为零, 由电 势的定义式，有
∫
R
0
σ 2 π rdr
4 πε
o
x +r σ = ( x 2 + R2 − x ) 2ε o
σ 2ε o
∫
R
x2 + r2 rdr
q E1 = 1 ε os q E2 = 2 ε os
Q − QB U A − U B = Ed = A d 2 Sε o 讨论：若QA=-QB (电容器带电时就是这样)，则 Q σ1=σ4=0， σ 2 = − σ 3 = A S
E1
d1
E2
d2
q q2 d = 1 d εos 2 εos 1
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U3 = ∫
R3
r
q +q q +q odr + ∫ 1 2 dr= 1 2 R3 4πε r 2 4πε o R3 o
∞
1 q1 1 ( − ) 4πε o R1 R2
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来自百度文库
A点 r1<R 电势： U = r1 B点 r2>R电势：
q 4πε o R
B
r2>R
q A r1<R R
U r2
q = 4πε o r2
eU =
1 mυ 2 ,υ=1.03×107(m/s)。 2
−λ E= 2πε o r
例题 一半径为R的均匀带电球面，带电量为q； 球面外有一均匀带电细线，电荷线密度为λ , 长为l, 细线近端离球心距离为ro,如图所示。求细线受的力 和细线在球面电场中的电势能。 ro + l qλ l q 解 F= λdx = ro 4 π ε o ro ( ro + l ) 4π εo x 2
∫
w a = V a dq
W= ∫
=
ro + l ro
q λ dx 4πε o x
R
o
q λ x ro l
16
dx
qλ r +l ln o 4πε o ro
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� ∂V � ∂ V � ∂ V � E = −∇ V = − i− j− k ∂x ∂y ∂z
根据V= V(x,y,z )，求电场的分布 V=V(x,y,z V(x,y,z) 例题 求半径为R、均匀带电q的圆环轴线上一点 的电势和场强。 P 解 Vp =
R1
(2)
q1 q2 -q1 d1 -q2 d2
q1+q2
R2 R1
U1 = ∫ 0dr + ∫
r
q1 dr 4πεo r 2
∞
+
q2 d 2 = 2.3 × 10 3V εos
23
∫R
R3
2
0dr +
∫
R3
q1 + q2 dr 4πε o r 2
R3 R2 . -q1 r o R 1
q1
U A = U A − U B=
5
Va =
∫a
∞
� � E ⋅ d l & Va =
∫a
零势点
� � E ⋅ dl
V =
外界
∫
带电体
dq 4 πε o r
b a
Va − Vb = ∫ E ⋅ dl
V=
气体 A
真空
B
Aab = q0 (Va − Vb )
q 4πεo r
w a = q 0V a
6
1
例题 (1)正六边形边长a，各顶点有一点电荷，如 图所示。将单位正电荷从无穷远移到正六边形中心o点 的过程中,电场力的功为 -q ( πεoa)。 解 Aab = q(Va − Vb ) +q +q A∞ o = +1(V ∞ − V o ) = - Vo a
q V = 4πε o r
9
q .o V = o 4πε o R
q
.o
x
r
R dq
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圆弧圆心、圆环轴线上的电场？
例题 均匀带电圆盘，半径为R，电荷面密度为 σ，求轴线上离盘心距离为x的P点的电势。(取无穷远 为电势零点) 解 将圆盘分为若干个圆环, 利用圆环公式积分。 P
例题 求半径为R、总电量为q的均匀带电球面的电 势分布。 q 解 由高斯定理求出其场强分布:
习题一 7.用总分子数N、气体分子速率v和速率分布函数f(v)表 示 速率大于v0的那些分子的平均速率＝_________ ；
习题二 7. 氢分子的质量为3.3×10－24g，如果每秒有1023个氢分子 沿着与容器器壁的法线成45°角的方向以105cm·s-1的速 率撞击在2.0cm2面积上（碰撞是完全弹性的），则此氢 气的压强为___________ *103 Pa 2.33 2.33* 一个分子碰撞一次动量的变化为
(2)
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q1+q2= qA
(1)
C A B
q q2 d2 = 1 d1 εos εos
解得： × 10-7 C q1=2.0 =2.0× × 10-7 C。 q2=1.0 =1.0× A 板电势：
例题7.3 两同心金属球壳 (R1<R2<R3 )；内球带电q1, 外球壳带电q2。 求空间电势分布及两球的电势差。 解 0≤r ≤ R1:
r>R: E2 =
(2)电势
∫ Ar ⋅4 π r
0
R
2
dr
=
4πε o r 2
AR 4 4εo r 2
r<R: V1 = r>R: V2 =
∫r
R
E1dr + ∫ E2dr =
R
∞
∫r
∞
E2 dr =
AR 4ε o r
4
A(R3 − r 3) AR3 + 12ε o 4εo
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例题 一真空二极管，其主要构件是一个半径 R1=5×10-4m的圆筒形阴极A和一个套在阴极外的半径 R2=4.5 ×10-3m的同轴圆筒形阳极B,如图所示。阳极电 势比阴极高U=300伏, 忽略边缘效应， 求:(1)两极间的电场；(2)电子刚从阴极发出时所 受的力；(3)电子到达阳极时的速度。 解 (1) 设内外圆筒单位长度分别带电±λ，由高斯 定理，两极间的电场(例题): R1<r<R2: 1 A E.2 πr.l = ( −λl ) R1
εo
−λ ∴E = 2πε o r
B
R2
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两极间的电势差：
λ R ln 2 U AB = ∫ − Edr = R 2πε o R1 U 故电场为 E = R r ⋅ ln 2 R1
R2
1
R1
A
B
R2
(2)电子刚从阴极发出时所受的电场力:
(3)电子到达阳极时的速度。由动能定理：
eU F = eE r = R1 = = 4.37 ×10 −14 N R2 R1 ln 方向沿半径指向阳极B 。 R1
-q
a
R
+q
R o
c
R
将Vo代入功的式子，得
A∞ o = −
q πε o a
q 6 πεo R qqo 6πεo R
8
∴ Aac = −
7
例题 一均匀带电直线段，长为L，电量为q;求直 线延长线上离一端距离为d的P点的电势。(取无穷远 为电势零点) 解 将带电直线分 为许多电荷元dq(点电 荷),利用点电荷电势公 式积分：
∞
-q1
r
q1
oR
U4 = ∫
∞
r
1
q +q q1 + q2 dr = 1 2 4πεo r 4πεo r 2
-q1
q1
两球的电势差：
q1 − q1 q + q2 + + 1 4πεo r 4πε o R2 4πε o R3
U内 − U 外 = ∫
=
25
R2
R1
q1 dr 4πε o r 2
R2 ≤r ≤ R3:
=
q1 q +q − q1 + + 1 2 4πε o R1 4πεo R2 4πε o R3
24
4
R1 ≤r ≤ R２:
q1+q2
r ≥ R3:
R2
q1+q2
R3 R2 oR
1
U2 = ∫
R2
r
q1 dr + 4πεor 2
∫R 0dr
2
R3
R3 r
+
=
∫
q1 + q2 dr R3 4πε r 2 o
3 4
B 1 V
5. 理想气体向真空作绝热膨胀 (A) （A）膨胀后，温度不变，压强减小 （B）膨胀后，温度降低，压强减小 （C）膨胀后，温度升高，压强减小 （D）膨胀后，温度不变，压强不变 气体向真空绝热膨胀过程中， 气体没有对外界做功，A=0. Q=0, ∆E = 0 温度不变。 所以压强减小。
(2)电荷分布如图所示,将点电荷qo从a经半园b移 到c的过程中,电场力对qo的功为 -qq (6πε R)。 o o 解 b A = q (V − V )
ac o a c
Va =
Vc =
=
V∞ = 0
V o=
q q ×4= 4πε o a πε o a
+q +q
o
-q +q
−q +q + =0 4πεo R 4πεo R −q +q + 4πε o ( 3 R) 4πε o R
v=
∫v
∞
0
mv − mv
2
1
vdN dN
=
∫v
∞
0
∫v vNf (v)dv
0
∞
∫v Nf (v)dv
0
∞
=
∫v vf (v)dv
0
∞
2mv1
一秒钟分子动量的变化（冲力F）
mv
2
45 ° 45°
∫v
∞
0
f (v )dv
10 23 × 2mv1
p=
1
mv
1
F 10 23 × 2mv1 = = 2.33 × 103 Pa S S
A B
(σ1+ σ2 )S=QA (σ3+ σ4)S=QB
A
B
s σ2
P1
σ1 σ1 σ 2 σ 3 σ 4 − − − =0 2ε o 2ε o 2ε o 2ε 0
σ σ1 σ σ + 2 + 3 − 4 =0 2ε o 2ε o 2ε o 2ε 0
σ3 σ4
P2
s σ1 σ2
P1
σ3 σ4 P
P2
2 2
r≤ R: V内 = V= q 4πε o r
11
∫r ∫r
∞
E ⋅ dl = ∫ E1dr + ∫ E 2 dr = R
r
0
r≥ R: V外 =
∞
E 2dr =
q 4πε o r
q 4πε o R
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2
例题一带电球体，半径R，电荷体密度为ρ =Ar, A为常量；求: 球内外的电场和电势。 解 (1)电场 r Ar ⋅ 4 π r 2 dr ∫ Ar 2 0 = dr r<R: E1 = r R 4 εo 4πε o r 2
2
习题三 2.如图，一定量的理想气体，由平衡状态A变到平衡状 态B( P = P ) ，则无论经过的是什么过程，系统必 A B 然 B （A）对外作正功 （B）内能增加 （C）从外界吸热 （D）向外界放热
V P A B
2 p A 为什么答案（A）不对？ 如果经过一个全过程(如图)，从 状态A到状态B, 过程1对外作的功 小于过程2作的功（外界对气体 做功） 全过程外界对气体做功 故（A）不对. (A）不对,故（C）不对.
C 点电势
q1+q2
R3 C r R2
1
Ur =
q1 − q1 q + q2 + 1 + 4 4 π ε R πε o R3 4πεo r o 2
-q1
q1
oR
27
5