什么样的图形是正多边形

法
3 41.6(m2 ).
rR
22
BP
C
练习 分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长， 边心距和面积. 解：作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D
连接OB，则OB=R
在Rt△OBD中 ∠OBD=30°,
A
边心距＝OD= 1 R.
AD

OA

OD

2
R
1
R

3
R，
22
·O
在Rt△OBD中 由勾股定理得：
⌒
⌒
⌒
⌒
∴ A2A3An=A3A4A1 =A4A5A2 =…= A1A2An-1
·
A４
O
A３ A２
A1 A2 A3 L An.
∴ 多边形A1A2A3A4…An是正多边形.
达标检测：
1、判断题。
①各边都相等的多边形是正多边形。 （ × ）
②一个圆有且只有一个内接正多边形。 （ × ）
BE2 OE2 OB2
2OE2 OB2
OE2 OB2
2
边心距OE 2 OB 2 R
2
2
A
D
·O
B
E
C
边长BC 2BE 2 2 R 2R 2
S正方形ABCD ABgBC 2R 2 2R2
（n 2）•180
正n边形的一个内角的度数是______n______;
360
中心角是______n_____; 正多边形的中心角与外角的大小关系 是__相__等____.
例 有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基的 周长和面积(精确到0.1m2).
解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 360o 60o，
我们以圆内接பைடு நூலகம்五边形为例证明.
如图,把⊙O分成把⊙O分成相等的5段弧,依
次连接各分点得到正五边形ABCDE.
⌒⌒⌒ ⌒⌒
证明 ∵ AB=BC=CD=DE=EA
，
当n=6时，上述证明
∴ AB=BC=CD=DE=EA ,
⌒⌒ ⌒
BCE=CDA=3AB
作何改动？
A
∴ ∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E.
B
E
O·
又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,
C
D
∴ 五边形ABCD是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形ABCD
的外接圆.
你现在知道如何作正多边形了吗？
谁与争锋
1. 矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么? 答：矩形不是正多边形，因为四条边不都相等;
菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都 相等; 正方形是正多边形．因为四条边都相等，四 个角都相等.
2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形?各角 都相等的圆内接多边形呢?如果是,说明为什么; 如果不是,举出反例.
各边相等的圆内接多边形是正多边形.
A６ A７
A５
证明：∵多边形A1A2A3A4…An是⊙O的内接多边形,
且A1A2=A2A3=A3A4=…=An－1An,
⌒⌒ ⌒
⌒
⌒ An
∴ A1A2=A2A3=A3A4 = …= An-1An =AnA1 A1
2、证明题。 求证：顺次连结正六边形
A
F
各边中点所得的多
B
E
边形是正六边形。
C
D
我们把一个正多边形的外接圆的 圆心叫做这个正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
正多边形每一边所对的圆心角叫 做正多边形的中心角.
中心到正多边形的 距离叫做正多边形 的边心距.
· 中心角 半径R O 边心距 r
BD= OB2-BD2 =
R2 - ( 1 R.)2 =
2
3 2
R
B
D
C
BC 2 BD 3 R
S△ABC
=
－1
2
BC×AD = －1 ×
2
3 R × －3 R = 3 3. R2
2
4
解：连接OB，OC 作OE⊥BC垂足为E，
∠OEB=90° ∠OBE= ∠ BOE=45°
在Rt△OBE中为等腰直角三角形
6
△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m). 在Rt△OPC中,OC=4, PC= BC 4 2，
22
利用勾股定理,可得边心距
F
E
r 42 22 2 3.
亭子地基的面积
处理正多边 形的一般方
O A
D
S 1 lr 1 24 2
问题1：什么样的图形是正多边形？
答：各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.
问题2：正多边形都是轴对称图形吗？有多少条 对称轴呢？也都是中心对称图形吗？
答：正多边形都是轴对称图形，对称轴条数等于正多
边形边数;只有正偶数边形才是中心对称图形。
你知道正多边形与圆的关系吗？
正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等 的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是 这个正多边形的外接圆;并且随着边数的增加，正多边形的 形状逐渐趋近于一个圆形。