让解题方向成为数学解题之路的指南针

让解题方向成为数学解题之路的指南针

——由一个填空题想到的

数学家波利亚在《怎样解题》中写到：“是的，这个解答看起来是行的，它似乎是正确的，但怎样才能想到这个解答呢？是的，这个实验看起来可行，这似乎是事实，但是人们怎么会发现这个事实的？而我自己如何才能想到或发现他们呢”。一语惊醒梦中人！这不正是我们初中数学教师在教学中的难点并需要突破的吗？我们一再强调要培养学生的学习能力、探究能力、激发学习兴趣，我们也给他们无数诸如“数形结合、分类思想、构建数学模型、转化思想”等所谓的数学思想和方法，可是最终我们面临的却是这样的场景：当老师给学生讲解习题，尤其是综合题时，有时候可能只需要老师点一下，学生就茅塞顿开，惊呼“我当时怎么没想到呢？这么简单！”或者学生在听的时候，条理清晰，听完后也能顺利完成习题，可是下次遇到类似题目，却还是无从下手，老师之前所讲的方法全部被推翻，化为0。学生真的是笨吗？真的是数学知识储备不足吗？做的题目还不够多吗？我们教师不应该反思吗，“为什么我们给了学生这么的方法，这么多武林秘笈，他们就是不会用呢？”

美国麻省理工学院媒体实验室的所长伊藤穰一先生曾说过这么一句话：“世界变化的速度如此之快，地图已经毫无用处。我们需要的是指南针，更需要耿直谦虚、敢于怀疑权威的态度。”是的，现实生活中的新问题总是接踵而来，我们需要的不正是伊藤先生所说的“指南针”吗？在数学教学中，或许我们教师在教给学生解题方法的时候，应该更多地帮助他们指明解题方向直至他们自己熟练应用，让他们拥有解题之路的指南针。所以教师的作用就是要通过平时的不断训练和经验总结，培养学生的直觉思维，让思维有一定的指向性，使学生的解题能力得到提高。好的解题方向就像前行者的指南针，往往能让难题柳暗花明，带你走出困局，化腐朽为神奇，而不当的思维方向，只会加剧题目的繁琐。所谓解题方向，通俗些就是解决“我为什么会想到这样去解决这个问题？”也就是去寻找习题的突破口。

下面以一个初三填空题题为例，来说明解题方向对解题方法的影响：

在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（-6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标是多少？

题目背景：此题是出现在初三学生的一次周末家庭作业中，第一轮复习已经结束，正是第二轮专题复习进行中，主要就是强化学生的方法性思考，从而培养数学直觉和能力的提升。我在周一的批改过程中，发现好几位同学都对了，所以在课堂上就尝试让学生上黑板讲解，尤其要求学生讲出他是怎么想到这种方法的。结果我发现，学生的思路真的很开阔，而且突破口抓的既巧妙又合情合理，甚至有的方法我都未曾想到。说明学生在第一轮复习中，已经很好地自我修复和构建了多种数学模型或者说思想方法。课后，我将学生的思路提炼了四种较经典的代表，整理如下：

思考方向1：学生甲提供，他是我们班级的学霸，很

多时候，他总能透过现象看本质，从而巧解各类难题。

他的思考方向是由动角——角度不变——想到构建

隐圆。根据动点C在动的过程中，保证∠BCA不变，

所以联想到圆中同弧所对的圆周角都相等，且等于所

对圆心角度数的一半，从而想到建立圆来解决问题，

找到解题方法即建立隐圆如下:以P（-1，5）为圆心，PB=52为半径的圆，交y 轴于点C，结合△PCF中勾股定理求得CF=7，求得点C坐标（0，12）以及其对称点（0，-12）。

由于隐圆类问题是这几年中考的热门，但是又是学生掌握的难点，所以我当即在课堂上做了一个变式。由于甲同学给大家归纳的很好，所以在如下变式题中，又产生了好几位高手。

变式：如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一动点P．过P 作PH⊥OA于H，设I为△OPH的内心，问当点P从点A运动到点B时，请你画出内心I所经过的路径l，并直接写出l的长度．

思考方向：根据内心定义，考虑连结PI，OI得到定角∠PIO=135°，再由圆的对称性转化到∠AIO=135°.由此动角∠AIO即保证角度不变，可确定解题方向，构建隐圆。

解：如图，连OA'、OI，PI，

∵△OPH的内心为I，

∴∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP

=180°-2

1（∠HOP+∠OPH ）=135°， 又可证△OPI ≌△OAI ，∴∠AIO=∠PIO=135°，

所以点I 在以OA 为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；

过A 、I 、O 三点作⊙O ′，如图，连O ′A ，O ′O ，

在优弧AO 取点P ，连PA ，PO ，

∵∠AIO=135°，∴∠APO=180°-135°=45°，

∴∠AOO=90°，而OA=2cm ，

∴O ′O=OA=2 ∴弧OA 的长=π2

2， 所以内心I 所经过的路径弧OA 长为

π22cm ． 思考方向2：学生乙提供，他从初一到初三的数学都是由我任教，所以对于一些我平时教学中的模型教学，应用起来比其他同学更得心应手。他的思考方向是由“一线三等角”模型展开。所谓一线三等角模型即三个等角顶点在同一直线上，如下左图所示，则总可以证明两侧两个三角形相似。在学生熟知这个模型的基础上，即确立了构建45°一线三等角模型的思考方向。解题分析如下右图所示：

解题思路如下：构建如图，∠D 和∠E 都等于45°，可证得△BCD ∽△CAE ，从而得到CE BD AE CD =，即CO

4CO 2CO 2CO 6+=+，可求得CO=12，即得点C （0，12）或对称点（0，-12）。

思考方向3：由学生丙提供，此学生的数学成绩并不是非常突出，所以他能解决这个问题，确实让我比较惊喜。他没有用什么模型，只是由45°角直觉想到构建等腰直角三角形，且充分利用已知数据6和4，从而得到一些新数据，并在构建等腰直角三角形的同时，用45°角观察到产生一些相似三角形，由此可尝试解决。（其实此法也是上题一线三等角的变式）。