求变力做功的六种方法

求变力做功的六种方法
方法一 动能定理法
动能定理是求变力做功的首选思路，基本方法是：由动能的变化求合力功，再求某个力的功．
例1 (2015·海南)如图，一半径为R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高．质量为m 的质点自轨道端点P 由静止开始滑下，滑到最低点Q 时，对轨道的正压力为2mg ，重力加速度大小为g ，质点自P 滑到Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为( C ) A.14mgR B.13
mgR C.12mgR D.π4
mgR
方法二 图像法
在F －x 图像中，图线和x 轴所围的面积表示F 做的功．在x 轴上方的“面积”表示正功，x 轴下方的“面积”表示负功．
例2 一质量为2 kg 的物体，在水平恒定拉力的作用下以一定的初速度在粗糙的水平面上做匀速运动，当运动一段时间后，拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动，图中给出了拉力随位移变化的关系图像．已知重力加速度g ＝10 m/s 2，由此可知(ABC )
A ．物体与水平面间的动摩擦因数约为0.35
B ．减速过程中拉力对物体所做的功约为13 J
C ．匀速运动时的速度约为6 m/s
D ．减速运动的时间约为1.7 s
方法三 平均力法
若F －x 按线性规律变化，当F 由F 1变化到F 2的过程中，力的平均值为F ＝F 1＋F 22
，再利用功的定义式W ＝Flcos α来求功．
例3 如图所示，长为L ，质量为m 的矩形板，以速度v 沿光滑水平面运动，滑上长度为l 的粗糙水平面(l ＜L)，在板的前端刚到达粗糙水平面的末端时，这一过程中克服摩擦力做的功为多大？已知动摩擦因数为μ.
【答案】 μmgl 2
2L
【解析】 矩形板滑上粗糙水平面过程中，所受摩擦力与位移成正比，摩擦力的平均值为f －＝μmgl 2L
， 克服摩擦力做功为W ＝f －·l ＝μmgl 22L
. 方法四 等效转换法
若所求变力的功和某一恒力的功效果相同，可将变力做功转化为恒力做功，在“滑轮拉物体”的问题中，注意应用这种方法．
例4 人在A 点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m ＝50 kg 的物体，如图所示，开始时绳与水平方向的夹角为60°.当人匀速提起重物由A 点沿水平方向运动l ＝2 m 而到达B 点时，绳与水平方向成30°角．则人对绳的拉力做了多少功？
【解析】 人对绳的拉力的功与绳对物体的拉力的功是相同的，而由于匀速提升物体，故物体处于平衡状态，可知绳上拉力F ＝mg.而重物上升的高度h 等于右侧绳子的伸长量Δl ，由几何关系，得h(cot30°－cot60°)＝l
Δl ＝h sin30°－h sin60°，解得Δl ＝1.46 m 人对绳的拉力做的功W ＝mg Δl ＝500×1.46 J ＝730 J
方法五 微元法
在曲线运动或往返运动中，摩擦力(空气阻力)的方向沿运动切线改变，可将曲线分成无限小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和．通过微元法可知：摩擦力(空气阻力)做的功，其大小等于力和路程的乘积．
例5 (多选)如图所示，摆球质量为m ，悬线长为L ，把悬线拉到水平位置后放手．小球从A 摆到O 点正下方的B 点，设在摆球运动过程中空气阻力F 阻的大小不变，则下列说法正确的是( ABD )
A ．重力做功为mgL
B ．绳的拉力做功为0
C ．空气阻力F 阻做功为－mgL
D ．空气阻力F 阻做功为－12
F 阻πL
方法六 功率计算法
机车以恒定功率运动时，牵引力变化，此时牵引力所做的功不能用W ＝Fx
来计算，但因功率恒定，可以用W ＝Pt 计算．
例6 汽车的质量为m ，输出功率恒为P ，沿平直公路前进距离s 的过程中，其速度由v 1增至最大速度v 2.假定汽车在运动过程中所受阻力恒定，求汽车通过距离s 所用的时间．
【答案】 m （v 22－v 12）2P ＋s v 2
【解析】 当F ＝F f 时，汽车的速度达到最大速度v 2，由P ＝Fv 可得F f ＝P v 2
对汽车，根据动能定理，有Pt －F f s ＝12mv 22－12
mv 12 联立以上两式解得t ＝m （v 22－v 12）2P ＋s v 2
. 强化训练
1.如图所示，质量为m 的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直位置．现用水平拉力F 将
小球缓慢拉到细线与竖直方向成θ角的位置．在此过程中，拉力F 做的功为( D )
A ．FLcos θ
B ．FLsin θ
C ．FL(1－cos θ)
D ．mgL(1－cos θ)
2.如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，
以大小恒定的拉力F 拉绳，使滑块从A 点起由静止开始上升．若从A 点上升至B 点
和从B 点上升至C 点的过程中拉力F 做的功分别为W 1和W 2，图中AB ＝BC ，则
( A )
A ．W 1＞W 2
B ．W 1＜W 2
C ．W 1＝W 2
D ．无法确定W 1和W 2的大小关系
3.如图所示，一个粗糙的水平转台以角速度ω匀速转动，转台上有一个质量为m
的物体，物体与转台间用长L 的绳连接着，此时物体与转台处于相对静止，设
物体与转台间的动摩擦因数为μ，现突然制动转台，则(ABD )
A ．由于惯性和摩擦力，物体将以O 为圆心、L 为半径做变速圆周运动，直
到停止
B ．若物体在转台上运动一周，物体克服摩擦力做的功为μmg2πL
C ．若物体在转台上运动一周，摩擦力对物体不做功
D ．物体在转台上运动Lω24μg π
圈后，停止运动
4．地面上物体在变力F 作用下由静止开始竖直向上运动，力F 随高度x 的变化关系如图所示，物体能上升的最大高度为h ，h<H.当物体加速度最大时其高度为多少？加速度的最大值为多少？
答案 0或h gh 2H －h
解析 根据题意，从图可以看出力F 是均匀减小的，可以得出力F 随高度x 的变化关系：F ＝F 0－kx ，而k ＝F 0H
， 可以计算出物体到达h 处时力F ＝F 0－F 0H
h ； 物体从地面到h 处的过程中，力F 做正功，重力G 做负功，由动能定理可得：Fh ＝mgh ，而F ＝F 0＋F 2
＝F 0－F 02H
h ， 可以计算出：F 0＝2mgH 2H －h
， 则物体在初位置加速度为：F 0－mg ＝ma ，计算得：a ＝gh 2H －h
； 当物体运动到h 处时，加速度为：mg －F ＝ma ，
而F ＝2mgH 2H －h －2mgh 2H －h
， 计算处理得：a ＝gh 2H －h
， 即加速度最大的位置是0或h 处．。