专题二：立体几何---线面垂直、面面垂直

专题二：立体几何---线面垂直、面面垂直一、知识点

（1）线面垂直性质定理

（2）线面垂直判定定理

（3）面面垂直性质定理

（2）面面垂直判定定理

线面垂直的证明中的找线技巧

通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

1．如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD ．

证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，1A A

AC A =，

∴DB ⊥平面11A ACC ，而1

AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则22132A O a =

，223

4MO a =． 在Rt △11A C M 中，22194

A M a =．∵222

11A O MO A M +=，∴

1

AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ． 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．

利用面面垂直寻求线面垂直

2．如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面P AC ．

证明：在平面P AC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ．

因为平面P AC ⊥平面PBC ，且两平面交于PC ，

AD ⊂平面P AC ，

且AD ⊥PC ， 由面面垂直的性质，得AD ⊥平面PBC ． 又∵BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC ．

∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC ． ∵AD ∩P A =A ，∴BC ⊥平面P AC ．

评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直

线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直

−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质

面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．

3．如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．

证明：∵SA ⊥平面ABCD ， ∴SA BC ⊥．∵AB BC ⊥，∴BC ⊥平面SAB ．又∵AE ⊂平面SAB ，∴BC AE ⊥．∵SC ⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SBC ．∴AE SB ⊥．同理可证AG SD ⊥． 评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．

4．如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，

作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ． 证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC BC =，∴CF AB ⊥．

∵AD BD =，∴DF AB ⊥．

又CF DF F =，∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B =，

∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．

∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E =，

∴ AH ⊥平面BCD ．

评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线

垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．

5．如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA⊥平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．

⊥．

证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴AC BC

∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

⊥．∴BC⊥平面APC．

∴PA BC

∵BC⊂平面PBC，

∴平面APC⊥平面PBC．

∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，

∴AE⊥平面PBC．

∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．

评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平

面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．

10．如图, 在空间四边形SABC中, SA⊥平面ABC, ∠ABC = 90︒, AN⊥SB于N, AM⊥SC于M。求证: ①AN⊥BC;②SC⊥平面ANM

分析:

①要证AN⊥BC, 转证, BC⊥平面SAB。

②要证SC⊥平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SC⊥AM, SC⊥AN。要证SC⊥AN, 转证AN⊥平面SBC, 就可以了。

证明:

①∵SA⊥平面ABC

∴SA⊥BC

又∵BC⊥AB, 且AB SA = A

∴BC⊥平面SAB

∵AN⊂平面SAB

∴AN⊥BC

②∵AN⊥BC, AN⊥SB, 且SB BC = B

∴AN⊥平面SBC

∵SCC平面SBC

∴AN⊥SC

又∵AM⊥SC, 且AM AN = A

∴SC⊥平面ANM