【行测数学运算---平均数问题解题技巧】

【“平均数”问题解题技巧】
甲班和乙班，在数学期终考试中，考一样的题目，哪一个班考得好呢？
把每一个班所有人的得分加起来，然后除以这个班的人数，就得出这个班的平均分数.哪一个班平均分数高，就算哪一个班考得好.
篮球队员的身材都很高，一个队里还是有高有矮，哪个篮球队身材更高呢？
把一个队所有队员的身高数加起来，再除以全队人数，就算出这个队的平均身高.通常，用平均身高来衡量一个球队的身材高矮.
要衡量"若干个数"的大小，常用的办法就是求它们的平均值.
求平均值有两种方法，我们通过一个例子来说明.
例1 一学期中进行了五次数学测验，小明的得分是
95，87，94，100，98.
那么他的平均成绩是多少？
解：方法1 把所有分数加起来，除以次数，即
（95＋87＋94＋100＋98）÷5＝94.8.
方法2 先设一个基数，通常设其中最小的数，例如本题设87为基数，求其他数与87的差，再求这些差的平均值，最后加上基数，即
[（95-87）+（87-87）+（94-87）+（100-87）+（98-87）]÷5+87
=（8+0+7+13+11）÷5+87
=7.8+87
=94.8.
对若干个数求平均数，概括成以下两种方法.
方法1：各个数的总和÷数的个数
方法2：基数+每一数与基数的差求和÷数的个数.
这两种方法将形成两种解题思路.
方法2的好处是使计算的数值减小，减少计算量，特别便于心算.当然，也可以设其他的数为基数.进入中学后，学了负数，我们还可以设中间的那个数作为基数.方法2启示我们，求平均数就是把数之间的"差"扯平.
给大家分享下我的个人考试经验：虽然自己在这篇帖子里面说的主要是申论的考试技巧和做题经验，但我更想跟大家分享的是自己在整个公务员考试的过程中的经验的以及自己能够成功的考上的捷径。

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一、一些简单的问题
求平均数可以产生许多数学题，这一节将通过一些简单的例子，增加对"平均"这一概念的理解.
例2 小明4次语文测验的平均成绩是89分，第5次测验得了97分，5次测验的平均成绩是多少？
解：按照例1中的两种思路，有两种计算方法：先算出5次成绩的总和，再求平均成绩，就有
（89×4+97）÷5=90.6（分）.
从算每一次"差"的平均入手，就有
89+（97-89）÷5=90.6（分）.
很明显，第二种方法计算简易.
例3 小强4次语文测验的平均成绩是87分，5次语文测验的平均成绩是88.4分，问第5
次测验他得了多少分？
解：两种思路，两种计算方法：
从总分数（总成绩）来考虑.
第5次成绩=5次总成绩-4次总成绩
=88.4×5-87×4
=94（分）.
从"差的平均"来考虑，平均成绩要提高
88.4-87.
因此，第5次得分应是
87+（88.4-87）×5=94（分）.
请大家想一想，例2与例3这两个问题之间的关系.
例4 小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这一次要考100分，才能把平均成绩提高到86分，问这一次是第几次测验？
解：平均每次要提高（86-84）分，这一次比原来的平均成绩多了（100-84）分，平均分摊在每一次上，可以分摊多少次呢？
（100-84）÷（86-84）=8（次）.
因此这一次测验是第8次.
例5 寒假中，小明兴致勃勃地读《西游记》，第一天读83页，第二天读74页，第三天读71页，第四天读64页，第五天读的页数，比五天中平均读的页数还多3.2页，问小明在第五天读了多少页？
解：前四天，每天平均读的页数是
（83+74+71+64）÷4=73（页）.
很明显，第五天读的页数比73页多，由此平均数就增加了.为了便于思考，画出下面的示意图：
图上"73"后面的虚线，表示第五天后增加的平均数，现在要用3.2去补足这些增加的平均数
值，3.2共要补足四份，每份是
3.5÷4=0.8.
由此就知道，第五天读的页数是
73+0.8+3.2=77（页）.
例6 甲、乙、丙三人，平均体重63千克.甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克，甲比丙重2千克.求乙的体重.
解：甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克，也就是甲与乙的体重之和比两个丙的体重多3×2=6（千克）.已知甲比丙重2千克，就得出乙比丙多
3×2-2=4（千克）.
从方法2知道
丙的体重+差的平均=三人的平均体重.
因此，丙的体重=63-（3×2）÷3
=61（千克）.
乙的体重＝61+4=65（千克）.
例7 下面是一串有规律的数
5，9，13，17，21，25，29.
从小到大排到，后一个数与前一个数的差都是4，求这串数的平均数.
解：上面共有7个数，第2个数比第1个数多4，而第6个数比第7个数少4.因此，第1个和第7个的平均数（5+29）÷2=17，与第2个和第6个的平均数（9+25）÷2=17是相等的.同样道理，第3个和第5个的平均数也是17.由此，可以得出这串数的平均数，就是头、尾两数的平均值17.
当把一些数排列好前后次序，相邻的两个数，后一个减前一个的差都相等，这列数，就称为等差数列.例7中的这串数就是一个等差数列.等差数列可长可短，不论它有多少数，总有一个基本性质：它的所有数的平均数，就是头、尾两数的平均数.很明显，当等差数列有奇数个数时，这一平均数恰好是最中间的这个数.当等差数列有偶数个数时，这一平均数也就是最中间两个数的平均数.
利用这一性质，我们很容易求一个等差数列的所有数之和，它等于平均数乘以数的个数.例7中7个数之和是
（5+29）÷2×7=119.
例8 小强在前五天平均每天做了3.6道数学题，第四、五两天共做了5题.第六天，为了使后三天的平均数超过六天的平均数，第六天他至少要做多少题？
解：（前三天题数÷3+后三天题数÷3）÷2=六天题数÷6.
因此，只要后三天平均数超过前三天平均数，也就是后三天做的题数，比前三天做的题数多，后三天的平均数就超过六天平均数了.
前三天做的题数是
3.6×5-5=13（题）.
第四、五天已做了5题，13-5=8，小强第六天至
少要做9题.
答：小强第六天至少要做9题.
二、部分平均与全体平均
例9 某次考试，21位男同学的平均成绩是82分，19位女同学的平均成绩是87分，全体同学的平均成绩是多少？
解：有两种求法：
方法1
男同学的总分数82×21=1722，
女同学的总分数87×19=1653，
全体同学的总分数1722+1653=3375，
全体同学的人数21+19=40，
全体同学的平均成绩3375÷40=84.375.
方法2
以男同学的平均成绩82分作为计算的基数，女同学每人平均多（87-82）=5（分），19人多了5×19=95（分），现在平均分摊给全体40人.
因此，全体同学的平均成绩是
82+（87-82）×19÷40
=82+95÷40
=84.375（分）.
注意从部分的平均数，来求全体的平均数，不能简单地把部分平均数再进行求平均，如例9，（82+87）÷2=83.5，它不是全体的平均成绩.这一基本概念，大家必须弄清楚.
例10 甲班52人，乙班48人.语文考试中，两个班全体同学的平均成绩是78分，乙班的平均成绩要比甲班的平均成绩高5分.两个班的平均成绩各是多少？
解：两个班的全体人数是
52+48=100（人）.
他们的分数总和是
78×100=7800（分）.
以甲班同学的平均成绩为基数，乙班每人平均多了5分，如果乙班的分数总和少了5×48=240（分），乙班的平均成绩就与甲班的一样，因此甲班的平均成绩是
（7800-240）÷100=75.6（分）.
乙班的平均成绩是
75.6+5=80.6（分）.
例11 女同学的人数是男同学人数的一半，男同学的平均体重是41千克，女同学的平均体重是35千克，全体同学的平均体重是多少千克？
解：题目没有告诉我们女同学或男同学有多少人，怎么办？
设全体女同学是1组人，那么男同学就是2组人.
女同学的体重总和：35×1组人数.
男同学的体重总和：41×2组人数.
全体总人数：（1+2）组人数.
全体同学平均体重是
（35×1+41×2）÷（1+2）=39（千克）.
上面算式中每一项都有“组人数”，因此可以约掉.实际上和“1个女同学与2个男同学”的情形一样.
还有一种计算方法，以女同学体重为基数，2组人每人都多（41-35）千克，平摊给（2+1）组人，因此全体同学的平均体重是
35+（41-35）×2÷（2+1）=39（千克）.
例12 某班有50人，在一次数学考试后，按成绩排了名次.结果，前30名的平均分数比后20名的平均分数多12分.一位同学对“平均”的概念不清楚，他把前30名的平均成绩，加上后20名的平均成绩，再除以2，错误地认为这就是全班的平均成绩.这样做，全班的平均成绩是提高了，还是降低了？请算出提高多少或降低多少.
解：全班平均成绩降低了.
按照这位同学的计算，相当于把前30名同学比后20名同学平均多出的12分作了平分.因此相当于前30名同学每人少了6分，后20名同学每人多了6分，合起来全班的总分就少了
30×6-20×6=60（分）.
全班的平均成绩也就降低了
60÷（30+20）=1.2（分）.
例13 某学校入学考试，确定了录取分数线.报考的学生中，只录取了
均分比录取分数线低26分.所有考生的平均成绩是70分.那么录取分数线是多少？
我们把录取学生的人数算作1，没有被录取的人数算作3.
以录取分数线作为基数，没有被录取的考生总共少了26×3分，录取的学生总共多了10×1分，合起来，总共少了
26×3-10×1（分）.
对所有考生来说，每人平均少了
（26×3-10×1）÷（3+1）=17（分）.
也就是每一考生的平均分70（分）比录取分数线少了17（分），因此录取的分数线是
70+17=87（分）.
注意这道题可检验如下：
没有被录取的考生的平均成绩是87-26=61（分），被录取考生的平均成绩是87+10=97（分）.全体考生的平均成绩是
61+（97-61）÷（3+1）=70（分），
或
（61×3+97×1）÷（3+1）=70（分）.
由此就知道，上面解答是正确的.
例14 某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人.现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分.那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？
解：根据题意
前六人平均分=前十人平均分+3.
这说明在计算前十人平均分时，前六人共多出3×6=18（分），来弥补后四人的分数，因此后四人的平均分比前十名平均分少
18÷4=4.5（分）.
当后四人调整为二等奖后，这时二等奖共有20+4=24（人），平均每人提高了1分，这由调整进来的四人来供给，每人平均供给
24÷4=6（分）.
后四人平均分=（原二等奖平均分）+6.
与前面算出的前六人平均分比较，就知原来一等奖平匀分比原来二等奖平均分多
4.5+6=10.5（分）.
我们可以画出示意图来说明上面的计算.
从前十名来说，前六名用二条虚线所夹部分，来弥补后四人的二条虚线所夹部分这一块的不
足.
对二等奖来说，可以画出如下示意图：
三、从平均数求个别数
例15 A，B，C，D四个数的平均数是38，A与B的平均数是42；B，C，D三个数的平均数是36，那么B是多少？
解：A，B，C，D四个数的平均数是
（A+B+C+D）÷4
=（A+B）÷4+（C+D）÷4
=[（A+B）÷2+（C+D）+2]÷2.
这说明A与B的平均数，C与D的平均数，两者的再平均，就是四个数的平均数.
因此，C与D的平均数是
38×2-42=34.
题目已给出B，C，D三个数的平均数36，B是
34+（36-34）×3=40.
还有一个解法：
四个数的平均数是38，B，C，D三个数的平均数是36，还是按照例3中的计算，A是
36+（38-36）×4=44.
己知A与B的平均数是42，因此B是
42×2-44=40.
注意知道若干个数的平均数，也就是知道了它们的和，已知A，B，C，D四个数的和，又已知其中三个数B，C，D的和，自然能求出（做一次减法）第四个数A.又已知A与B的和，就很容易求出B，这就是例15的实质.
例16 某次考试，A，B，C，D，E五人的成绩统计如下：
A，B，C，D的平均分75分.
A，C，D，E的平均分70分.
A，D，E的平均分60分.
B，D的平均分65分.
求A得了多少分.
解：由A，C，D，E四人平均分和A，D，E三人平均分，按照例3的方法，就可求出C的得分：
60+（70-60）×4=100（分）.
由A，B，C，D四人平均分和B，D两人平均分，按照例15，可以求出A与C平均分：
75×2-65=85（分）.
上面已算出C得100分，因此A得
85×2-100=70（分）.
例17 某次考试，小英等7人的平均分是78分，其中最高得分是97分，最低得分是64分，小英得了88分，余下的4个人中有3个人得了相同的分数.分数各不相同的5个人的平均分是80分，其中还有一位同学与别人的得分都不同，他的得分是多少分？
解：7个人的分数总和是
78×7=546（分）.
分数各不相同的5个人平均分是80分，那么另2位分数相同的同学每人得分是
（546-80×5）÷2=73（分）.
这位与别人的得分都不相同的同学，他的得分是
546-97-64-88-73×3=78（分）.
例18 A，B，C，D四个数，两两配对可以配成六对，先请你想一想，是怎样配对的.这六对数的平均数分别是
12，13，15，17，19，20.
原四个数的平均数是多少？
解：每一个数与其他三个数可以配成三对，因此在上面六个平均数中，每个数都要被计算3次，每次计算中都用一个数的一半.因此，这六个平均数之和是A+B+C+D的3倍的一半.
那么A，B，C，D的平均数是
（12+13+5+17+19+20）×2÷3÷4
＝96×2÷3÷4
＝16.
还有另一种解法：
原四个数中，最小的两个数之和应是12×2，最大的两个数之和应是20×2.因此四数的平均数是
（12×2+20×2）÷4=16.
请大家思考，是否可以求出A，B，C，D四个数.
例19 A，B，C，D四个数，每次去掉一个数，将其余三个数求平均数，这样计算了四次，得到下面四个数
23，26，30，33.
A，B，C，D四个数的平均数是多少？
30，33这四个数相加，恰好是A，B，C，D这四个数之和，它们的平均数是（23+26+30+33）÷4=28.
例20 有四个数，每次选取其中三个数，算出它们的平均数，再加上另外的一个数，用这样的方法计算了四次，分别得到以下四个数
26，32，40，46.
那么原来四个数中，最大的一个数是多少？
解：很明显，这道题与前一例题紧密相关.我们来看一看，26，32，40，46这四个数相加是什么.
每一个数有两部分，一部分是三个数的平均数，一部分是三个数之外的第四个数，把四个数
的前一部分相加，根据前一例题，恰好得到四个数的和.把后一部分相加，也得到四个数的和.
因此26+32+40+46=四个数之和×2.
这四个数的和是
（26+32+40+46）÷2=72.
另外，每一个数乘以3，将是三个数之和加上第四个数的3倍，这也可以看成是四个数之和加上一个数的2倍.它减去四个数之和72后，就是其中一个数的2倍.
于是这四个数就可以按下面的计算求出：
（26×3-72）÷2=3，
（32×3-72）÷2=12，
（40×3-72）÷2=24，
（46×3-72）÷2=33.
四个数中最大的数是33.。