截长补短类辅助线作法

截长补短类辅助线作法
“截长”就是将三条线段中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等
于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段的数量关系;
“补短”就是将三条线段中一条已知的较短的线段延长至与另一条已知的较
短的长度相等，然后证明延长后的线段与最长的已知线段的数量关系.
注：1、截长补短类辅助线解决的一般是三条线段之间的数量关系问题，特别要注意线段前系数不是“1”的时候，一般会涉及到含特殊角的直角三角形
2、具体在利用截长或者补短构造辅助线时要结合题目条件选择恰当的方法，并
不是所有题目截长和补短都可以
例题精讲
1、如图所示，述C是边长为1的正三角形，3C是顶角为1勿「的等腰三角形,
以Q为顶点作一个6°口的点M、M分别在且B、鬼0上，求wrn的周长.
C
2、已知：如图，△ ABC中，丄购=挫0 , BD平分/ ABC BC上有动点P.
（1）DPIBC时（如图1），求证••卯= X-CP ；
（2）DP平分/ BDC时（如图2），BD CD CP三者有何数量关系?
ffll p
.4
3、已知HE中，&=踏，BD、CE分别平分山肮和乙QE，号D、CE交于
点°，试判断B巨、CD、BC的数量关系，并加以证明.
4、（2014初二上期末昌平区）如图，AD是△ ABC的角平分线，点F, E分别在边AC AB上,且刊.
（1）求证：
（2）如果QSmi盹。

，探究线段AE AF, FD之间满足的等量关系，并证
明.
迟
5、如图所示,是边长为1的正三角形，曲。

是顶角为12尸的等腰三角形,
以Q 为顶点作一个册的弘谢，点M 、"分别在肋、皿上，求価朋的周长.
6如图所示，已知正方形
ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且 AE=3C-CE
AD 平分/ CDE
. 7、五边形ABCDE 中,
AS = AE BC-DEYD ZA?C-Z/LE-D = LSO^ ，求证: J/
8、如图，在△ ABC中，曲=風，D是三角形外一点，且SB V = .求证.zSlC D= EG*
9、(2012初二上期中中关村中学)如图1所示:皿处,AE、DE分别平分厶他
和S辺，并交于E点.过点E的直线分别交AM、DN于B、C.
(1)如图2,当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的
存在的数量关系:
(2)试证明你的猜想.
(3)若点B、C分别位于点AD的两侧时，试写出AD、AB、CD之间的关系,
并选择一个写出证明过程.
10、（2012初二上期中北达资源中学）（1）如图，四边形ABPC 中，肋
求证：PB-PC = PA
11、（ 2009山东临沂中考）数学课上，张老师出示了问题：如图1,四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点AEF=90，且EF 交正方形外角/ DCG 的平 分线CF 于点F ,求证：AE=EF .
AB 的中点M ，连接ME ，则
AM=EC ，易证△ AME ECF ，所以 AE=EF .
在此基础上，同学们作了进一步的研究:
（1）小颖提出：如图2,如果把 点E 是边BC 的中点”改为 点E 是边BC 上（除 B ，C 夕卜）的任意一点”，其它条件不变，那么结论 “AE=EF 仍然成立，你认为小 颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由; （2）小华提出：如图3,点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其
（2）如图，四边形ABCD 中，朋=3C ，= p 为四边形ABCD 内一
点，且丄応=1刘，求证: PA-PC
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路: 取
他条件不变，结论“ AE=EF仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写
出证明过程；如果不正确，请说明理由.
12、（ 2013中考朝阳二模）在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，应=加， 过点E 作直线EF ,在EF 上取一点G ,使得怎川，连接AG .
如图1，当EF 与AB 相交时，若 空眇=6小，求证：EC=AG-3G ； 如图2,当EF 与AB 相交时，若空=
，请你直接写出线段 AG 、BG 之间的数量关系（用含 a 的式子表示）；
如图3,当EF 与CD 相交时，且 &出，请你写出线
段EG 、AG 、BG (1)
（2） （3）
之间的数量关系，并证明你的结论
. 團3
13、(2015初二上期末昌平区) 为等腰直角三角形，厶L5U = 9卩 ■扫边上(不与点月、5重合)，以CD 为腰作等腰直角必百E , "E =%• 吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由
(1)如图 1 作丄3C 于戸 求证-= ACEE ；
(2)在图
1中，连接应交眈于M ，求旳f 的值; (3)如图 2,过点E 作田丄空交C5的延长线于点H ，过点Q 作加丄DC ,交
于点G ，连接.当点D 在边J3上运动时, HE-GD 式子站的值会发生变化
国
1 C
随堂练习
1、已知等腰 WE ，山=1阿，"孔的平分线交且C 于D ,则血-4 =眈
2、已知：如图，磁D 是正方形，^^ = 4^ ,求证:巫-DF = A£ .
3、(2015中考顺义一模)如图，△ ABC 中，曲=加，点P 是三角形右外一点, (1)如图1,若=创口，点P 恰巧在/ ABC 的平分线上，皿=2，求PB 的 长;
(2)如图2,若0 =创口，探究PA , PB, PC 的数量关系，并证明;
(3)如图3,若N 血亡=12卩，请直接写出PA, PB, PC 的数量关系.
C
C
c
勧
课后作业
1、如图，四边形ABCD中，AB // DC，BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD，且点E在AD上.求证••眈=曲-风.
2、( 2013黑龙江龙东地区中考)正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点0
是对角线AC、BD的交点，过点0作OE丄MN于点E,过点B作BF丄MN于点F.
(1)如图1,当0、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE (不需证明)
(2)当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、
OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明.
一点，连接DE , SEd ，将线段刊^绕点5逆时针旋转和「并延长得到射线
交田的延长线于点U
3、（ 2015中考海淀一模）
在菱形朋CD 中, 厶，点疋是对角线川C 上
(2) (3) 用等式表示线段应，EG , %之间的数量关系:
依题意补全图形;
C
（2014黑龙江齐齐哈尔、大兴安岭、黑河中考）在等腰直角三角形ABC中, 4、
/ BAC=90 , AB=AC，直线MN过点A且MN // BC,过点B为一锐角顶点作
Rt△ BDE,/ BDE=90，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1, DE
与AC交于点P,易证：BD=DP .（无需写证明过程）
（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P, BD=DP是否成立？如果成立，请
给予证明；如果不成立，请说明理由;
(2)在图3中，DE与AC延长线交于点P, BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明.。