数值分析原理习题答案

数值分析原理习题答案

【篇一：数值分析习题】

学号班级

习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和

误差限的计算。 1 若误差限为0.5?10,那么近似数0.003400有几位

有效数字？（有效数字的计算） 2 ??3.14159?具有4位有效数字的

近似值是多少？（有效数字的计算）

3 已知a?1.2031，b?0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问

a?b，a?b有几位有效数字？（有效数字的计算）

4 设x?0，x的相对误差为?，求lnx的误差和相对误差？（误差的

计算）

**

5测得某圆柱体高度h的值为h?20cm，底面半径r的值为r?5cm，已知

?5

|h?h*|?0.2cm，|r?r*|?0.1cm，求圆柱体体积v??rh的绝对误差限

与相对误差

限。（误差限的计算）

6 设x的相对误差为a%,求y?xn的相对误差。（函数误差的计算） 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%，问度量半径r时

允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）

1

2

8 设in?e

?1

nxx?edx，求证： 0

（1）in?1?nin?1(n?0,1,2?)

（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推

计算时误差逐步减小。（计

算方法的比较选择）

第二章插值法

姓名学号班级

习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值

和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。

1 已知f(?1)?2,f(1)?1,f(2)?1，求f(x)的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值）

2 已知y?

x,x0?4,x1?9，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值） 3 若xj(j?0,1,...n)为互异节点，且有

lj(x)?

试证明

(x?x0)(x?x1)?(x?xj?1)(x?xj?1)?(x?xn)(xj?x0)(xj?x1)?(xj?xj?1)(x j?xj?1)?(xj?xn)

?xl

j?0

n

kjj

（拉格朗日插值基函数的性质） (x)?xk(k?0,1,...n)。

,sin0.34?0.333487,sin0.36?0.3522744 已知sin0.32?0.314567，用抛物线插值计

算sin0.3367的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值） 5 用余弦函数cosx在x0?0，x1?多项式, 并近似计算cos日二次插值） 6 已知函数值f(0)?6,f(1)?10,f(3)?46,f(4)?82,f(6)?212，求函数的四阶均差

?

4

，x2?

?

2

三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值

?

6

及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗

f[0,1,3,4,6]和二阶均差f[4,1,3]。（均差的计算）

7 设f(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)求f[x0,x1?xp]之值，其中p?n?1，而节点

xi(i?0,1,?n?1)互异。（均差的计算）

8 如下函数值表

建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造）

9求一个次数小于等于三次多项式p(x)，满足如下插值条件：

p(1)?2，p(2)?4，

p?(2)?3，p(3)?12。（插值多项式的构造）

10 构造一个三次多项式h(x)，使它满足条件

h(0)?1,h(1)?0,h(2)?1,h?(1)?1（埃尔米特插值）。

11 设f(x)?x,x0?1/4,x1?1,x2?9/4。(1)试求f(x)在?1/4,9/4?上的三

次埃尔米特插值多项式h(x)，使得h(xj)?f(xj),j?0,1,2,h?(x1)?f?(x1)，h(x)以升幂形式给出。(2)写出余项r(x)?f(x)?h(x)的表达式。（埃尔

米特插值及其余项的计算）。 12 若f(x)?c2[a,b],f(a)?f(b)?0，试证明：

32

max|f (x)|?

a?x?b

1

?b?a?2max|f?? (x)|（插值余项的应用）

a?x?b8

13 设f(?2)??1,f(0)?1,f(2)?2,求p(x)使p(xi)?f(xi)(i?0,1,2)；又设

|f???(x)|?m ，则估计余项r(x)?f(x)?p(x)的大小。（插值误差的估计）

姓名学号班级

习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。

1 设f(x)?sin?x，求f(x)于[0,1]上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）

2 令f(x)?ex,?1?x?1，且设p(x)?a0?a1x,求a0,a1使

得p(x)为f(x)于[?1,1] 上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）

3证明：切比雪夫多项式序列

tk(x)?cos(karccosx)

在区间??1,1?上带权?(x)?

1?x

2

正交。（正交多项式的证明）

?x1?x2?3?

4求矛盾方程组：?x1?2x2?4的最小二乘解。（最小二乘法）

?x?x?2

2?1

5 已知一组试验数据

试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数)。（最小二乘线性

逼近） 6 用最小二乘原理求一个形如y?a?bx2的经验公式,使与下列数据相拟合。

（最小二乘二次逼近）