4.5.1函数的零点与方程的解(原卷版)

一、函数的零点 对于函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。

方程、函数、图象之间的关系：
方程0)(=x f 有实数解⇔函数)(x f y =有零点⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点。

二、函数的零点、方程的解、函数图象与x 轴的交点
方程0)(=x f 有实数解⇔函数)(x f y =有零点⇔函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

三、函数零点存在定理
如果函数)(x f y =在区间[]b a ,上的图象是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间）（b a ,内至少有一个零点，即存在()b a c ,∈，使得0)(=x f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的解。

例1：函数x y +=1的零点是（ ）
A. ()01-，
B.-1
C.1
D.0
例2：函数x x x f lg -)(lg 2
=）（的零点为 例3：已知函数的零点为则函数，（)(),12log 1,1,1
2)(x f x x x x x f >+≤-=（ ） A.12 B.0 C.-2.0 D.0
例4：若函数)0()(≠-=b b ax x f 有一个零点3，则函数ax bx x g 3)(2+=得零点是 。

函数的零点与方程的解
知识讲解
典型例题
一、选择题
1.函数x x x f -=3)(的零点个数（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
2.函数x x f x +=2)(的零点所在的一个区间是（ ）。

A.()21，
B.()10，
C.()01-，
D.()1-2-，
3.下列图象表示的函数中没有零点的是( )
4.对于函数0)3()1()(<⋅-f f x f ，若，则（ ）。

A.方程0)(=x f 一定有实数解
B.方程0)(=x f 一定无实数解
C.方程0)(=x f 一定有两个实数根
D.方程0)(=x f 可能无实数解
5.根据表格中的数据，可以断定方程e x －(x ＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是( )
A.(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3)
6.f(x)＝2x ·(x －a)－1在(0，＋∞)内有零点，则
a 的取值范围是( )
A ．(－∞，＋∞)
B ．(－2，＋∞)
C ．(0，＋∞)
D ．(－1，＋∞)
7.已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且图象是连续不断的，若f (a )·f (b )＜0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上(
) A ．至少有一实数根 B ．至多有一实数根 同步练习
C ．没有实数根
D ．必有唯一的实数根 8.函数x
x x f 1log )(2-=的零点所在的区间为（ ）。

A.()21，
B.()32，
C.⎪⎭⎫ ⎝⎛
210， D.⎪⎭⎫ ⎝⎛121， 9.函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( )
A ．(2，＋∞)
B ．[2，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫2，52 D.⎣
⎡⎭⎫2，103
二、填空题
1.若一次函数b x x f +=)(的零点是2，那么函数x bx x g +=2）
（的零点是 。

2.函数f (x )＝(x 2－1)(x ＋2)2(x 2－2x －3)的零点个数是________．
3.设函数)(x f 在区间[]b a ,上是单调函数，且0)()(<⋅b f a f ，则方程)(x f 在闭区间[]b a ,内有 1 个根。

4.函数b ax x x f --=2)(的两个零点是2和3，则函数1)(2--=ax bx x g 的零点为 。

5.若函数y ＝2
－|x |－k 有零点，则实数k 的取值范围是________．
6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．
7.若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是__________．
8．若函数f (x )＝3x 2－5x ＋a 的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a 的取值范围是________．
9.已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________．
三、解答题
1.已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .
(1)写出函数y ＝f (x )的解析式；
(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围．
2.已知一元二次函数)0(2)(2
≠++=a c x ax x f 的图象与y 轴交于点()10，，且满足)0()4(f f =-。

(1)求该二次函数的解析式及函数的零点。

(2)已知函数在()+∞-,1t 上为增函数，求实数t 的取值范围。

3.已知a,b 为常熟，且0)2(,)(,02
=+=≠f bx ax x f a 。

(1)若函数x x f y -=)(有唯一的零点，求函数)(x f 的解析式； (2)求函数)(x f 在区间[]21-，
上的最大值； (3)当2≥x 时，不等式a x f -2)(≥恒成立，求实数a 的取值范围。