矩阵特征值和特征向量

2
-1
1
A属于l 2 的全部特征向量：K1X1(K10)
A属于l 4 的全部特征向量：K2X2(K20)
10 2020/8/3
例 求矩阵
-1 1 0
A -4 3 0
1
0
2
的特征值和特征向量. 解 矩阵A的特征多项式为
l1 -1 0 det(lI-A) 4 l-3 0 (l-2)(l-1)2
12 2020/8/3
当l2=1时, 由(l2I-A)X=0, 即
2 -1 0 x1 0
4 -1
-2 0
0 -1
xx23
0, 0
得其基础解系为X2=(1,2,-1)T, 因此k2X2(k20为常
数)是A的对应于l2=1的特征向量.
13 2020/8/3
例 求矩阵的特征值和特征向量
-2 1 1
2 1 -1
例
A
4
0
2
3 - 2 4
1
X
1
2
1
-2
X2
1
3
验证： X1, X2 是否为A的特征向量
解
2 1 -1 1 3 1
AX1
4
0
2
2
6
3
2
3
X
1
3 -2 4 1 3 1
2 1 -1-2 - 6
AX2
4
0
3 -2
2
1
4 13
1
X
3
0
4
15 2020/8/3
例 主对角元为a11,a22,...,ann的对角阵A或上(下)三角阵 B的特征多项式是
5.1 矩阵的特征值和特征向量
1 2020/8/3
5.1.1 特征值和特征向量的基本概念 定义 设A为数域F上的n阶矩阵, 如果存在数
lF和非零的n维列向量X, 使得 AX=lX
就称l是矩阵A的特征值, X是A的属于(或对应 于)特征值l的特征向量.
注意: 特征向量X0; 特征值问题是对方阵而言 的, 本章的矩阵如不加说明, 都是方阵.
A对应于特征值 l 的特征向量。
注5 矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的
l l X 0 ， A X 1 X ， A X 2 X
l1X-l2X0 （l1
-l2）X
X 0
0l1
-l2
0
8 2020/8/3
例 求下列矩阵的特征值和特征向量
3 -1
A
-1
3
解 A的特征多项式为
l - 3 1 (3-l)2-1l2-6l8(l-2)(l-4)
-2 4
6 2020/8/3
注1 非 零 n 维 向 量 X 是 n 阶 方 阵 A 的 特 征 向 量 的 充 分 必 要 条 件 是 ： 向 量 A X 与 X 线 性 相 关 。
l 注2 如 果 X 是 矩 阵 A 的 对 应 特 征 值 的 特 征 向 量 ， l 则 k X （ k 0 ） 也 是 A 的 对 应 特 征 值 的 特 征 向 量 。
定义 设n阶矩阵A=(aij), 则
f (l) det(lI -A)
l-a11 -a12 -a21 l-a22
(5.2)
-a1n -a2n
(5.3)
-an1 -an2
l-ann
称为矩阵A的特征多项式, lI-A称为A的特征矩阵,
(5.2)式称为A的特征方程.
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显然, n阶矩阵A的特征多项式是l的n次多项式.
注3 如果 X1, X2 是A对应于特征值 l 的特征向量，
则
k 1 X 1 k 2 X 2 ( k 1 X 1 k 2 X 2 也0 ) 是A对应于特
征值 的l特征向量。
7 2020/8/3
注4 如果 X1, X2 是A对应于特征值 l的线性无关
特征向量，则 k1X1k2X2(k1,k2不全 0) 也为 是
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AX=lX
根据定义, n阶矩阵A的特征值, 就是齐次
线性方程组 (lI-A)X=0 有非零解的l值. 即满足方程
det(lI-A)=0 即 lI -A 0
的l都是矩阵A的特征值. 因此, 特征值是l的多项式det(lI-A)的根.
3 2020/8/3
AX=lX,
det(lI-A)=0
1 l-3
A的特征值为l12, l24
当l1
2时，
-1 1
1 -1
x1 x2
0 0
即
x1 - x1
x2 x2
0 0
x1
x2
1
X
1
1
对应的特 征向量可 取为
9 2020/8/3
当l2 4时
1 1
1 1
x1 x2
0 0
--11
-1x1 -1x2
ห้องสมุดไป่ตู้
00
x1 -x2
对应的特征向量可取为X
ll 当 2 3 2 时 ， 解 方 程 （ 2 I - A ） X 0
系
ll 4
2I
-
A
0
4
-1 0 -1
-1 0
r3
-
r1
-1
1
0
0
-1/ 4 0 0
-1/ 4
0
0
1
X
2
4
0
对 应 于 2 3 2 的 全 部 特 征 向 量 为
k 2 X 2 k 3 X 3（ k 2 ， k 3 不 同 时 为 0 ）
-1 0 l-2
A的特征值为l1=2, l2，3=1(二重特征值).
11 2020/8/3
当l1=2时, 由(l1I-A)X=0, 即
3 -1 0x1 0
4 -1
-1 0
0 0
xx23
0, 0
得其基础解系为X1=(0,0,1)T, 因此k1X1(k10为常数
)是A的对应于l1=2的特征向量.
特征多项式的k重根也称为k重特征值. 当n5时, 特征 多项式没有一般的求根公式, 即使是三阶矩阵的特征 多项式, 一般也难以求根, 所以求矩阵的特征值一般 是三阶行列式求特征值,一般用0,1,-1,2, -2进行尝试 先得到一个根, 则剩下的两个根可用解一元二次方程 的办法解.
5 2020/8/3
l 当 1 - 1 时 ， 解 方 程 （ A I ） X 0
-1
A
I
0
-4
1 3 1
1
0
4
r3 - 4 r1
r2 3
-1
0
0
1 1 -3
1
0
0
r1 - r2
r3 3 r2
1
0
0
0 1 0
-1
0
0
l 得基础解系 X1 （1，0， 1） T
对 应 于 1 - 1 的 全 部 特 征 向 量 为 k 1 X （ 1 k 1 0 ） 得基础解
A
0
2
0
- 4 1 3
解 A的特征多项式为
2l -1 lI -A 0 l-2
-1 0
(l-2) 2l
4
-1
l-3
4 -1 l-3
lll lll (- 2 ) (2 - - 6 4 ) (- 2 ) (2 - - 2 )
(l1)(l-2)2
A的特征值为 l1-1, l2l32
14 2020/8/3