矩阵特征值和特征向量
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量一、定义与性质：1.特征值：设A是一个n阶方阵，如果存在一个数λ和一个非零列向量X使得AX=λX成立，则称λ为矩阵A的一个特征值，X称为对应于特征值λ的特征向量。
2.重要性质：(1)特征值与特征向量是一一对应的，即一个特征值对应一个特征向量，特征向量的倍数仍为特征向量。
(2) 设λ1，λ2，...，λn是A的n个特征值，则A的特征值的和等于A的主对角线元素之和，即λ1+λ2+...+λn=ΣAii(i=1,2,...,n)。
(3)A的特征值的积等于A的行列式值，即λ1λ2...λn=，A。
二、计算方法：1.方程法：设λ是A的一个特征值，则有，A-λE，=0，其中E是n阶单位矩阵。
将，A-λE，=0展开，可以得到一个n次的多项式，称为特征多项式。
解特征多项式，即可求得特征值。
2.特征向量法：对于方程A-λE=0，将其变形为(A-λE)X=0，其中X是一个n维列向量。
求解(A-λE)X=0可以得到特征向量。
三、应用：1.物理学中的应用：(1)量子力学中的量子态演化过程可以表示为一个特征值问题，特征值对应着能量，特征向量对应着量子态。
(2)电力系统中的节点电压和电流可以用矩阵的特征值和特征向量求解，用于电网稳定性的分析。
2.经济学中的应用：(1)马尔可夫过程中的平稳分布可通过马尔科夫矩阵的特征值和特征向量求解。
(2)输入输出模型中，矩阵表示产出与投入之间的关系，通过求解矩阵的特征值和特征向量，可以得到经济系统的稳定性和发展趋势。
3.图像处理中的应用：(1)图像压缩算法中，可以通过矩阵的特征值和特征向量进行信息提取和图像压缩。
(2)图像识别中，可以通过计算矩阵的特征值和特征向量，进行目标物体的特征提取和分类。
总结：矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
它们的计算方法可以通过特征多项式和特征向量方程进行求解。
在物理学、经济学和图像处理等领域都有着重要的应用，可以对实际问题进行分析和求解。
矩阵特征值与特征向量
矩阵特征值与特征向量是线性代数中非常重要的概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将详细介绍矩阵特征值与特征向量的定义、性质以及其在实际问题中的应用。
首先，我们需要了解矩阵的特征值与特征向量的定义。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=λx，其中λ为一个常数，则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量是通过矩阵与向量的乘法关系定义出来的，并且特征值与特征向量总是成对出现的。
矩阵的特征值与特征向量有以下几个重要性质：1.特征值与特征向量的存在性：对于任意一个n阶方阵A，必然存在n个特征值和对应的特征向量。
特征值可以是实数也可以是复数。
2.特征向量的线性相关性：对于相同特征值λ的特征向量x和y，存在一个非零常数c，使得x=cy。
也就是说，特征向量存在线性相关性。
3.特征值的重复性：一个特征值可能对应多个线性无关的特征向量，称为重复特征值。
4.特征值与行列式：矩阵A的特征值都是其特征多项式的根。
特别地，矩阵的迹等于特征值之和，行列式等于特征值之积。
5.相似矩阵的特征值相同：如果两个矩阵A和B相似（即存在一个可逆矩阵P，使得B=P⁻¹AP），则它们有相同的特征值。
矩阵特征值与特征向量在实际问题中有广泛的应用。
以下举几个例子说明：1.物理学中的应用：矩阵特征值与特征向量在量子力学和振动分析中起到重要作用。
在量子力学中，矩阵表示了物理系统的哈密顿算符，其特征值与特征向量对应于能量和波函数。
在振动分析中，矩阵表示了系统的质量矩阵，其特征值与特征向量对应于自然频率和振型。
2.图像处理中的应用：特征值与特征向量广泛应用于图像处理和模式识别中。
通过计算图像矩阵的特征值和特征向量，可以提取出图像的主要特征，如边缘、纹理等，从而实现图像分类和识别。
3.经济学中的应用：矩阵特征值与特征向量在经济学中有很多应用，如马尔可夫链模型、投入产出模型等。
通过计算矩阵的特征值和特征向量，可以分析经济系统的稳定性、动态演化和结构关系。
线性代数矩阵的特征值与特征向量
线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，具有广泛的应用。
在此，我们将详细介绍特征值和特征向量的定义、性质和计算方法。
希望能对读者理解这两个概念有所帮助。
1.特征值和特征向量的定义在线性代数中，对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个标量，则称λ是矩阵A的特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。
2.特征值和特征向量的性质（1）对于任意矩阵A和非零向量x，如果Ax=λx，则(x,λ)是(A-λI)的一个特征对，其中I是单位矩阵。
（2）对于任意非零常数k，kλ和kx也是特征值λ和特征向量x的特征对。
（3）如果矩阵A的特征向量x1和x2对应于不同的特征值λ1和λ2，则x1和x2线性无关。
（4）若矩阵A的特征值都不相同，则它一定能够对角化。
3.特征值和特征向量的计算（以2阶矩阵为例）对于一个2阶矩阵A，我们可以通过以下步骤来计算其特征值和特征向量：（1）解特征方程det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵。
（2）将特征值代入(A-λI)x=0，求解x的向量，即为对应于特征值的特征向量。
4.实对称矩阵的特征值和特征向量对于实对称矩阵，其特征值一定是实数且存在线性无关的特征向量。
具体计算方法为：（1）求解特征方程det(A-λI)=0，得到特征值λ1, λ2, ..., λn。
（2）将特征值代入(A-λI)x=0，解出x的向量，即为对应于特征值的特征向量。
5.正交矩阵的特征值和特征向量对于正交矩阵，其特征值的模一定是1，且特征向量是两两正交的。
具体计算方法同样为求解特征方程和特征向量方程。
6.特征值和特征向量的应用特征值和特征向量有广泛的应用，例如：（1）主成分分析（PCA）：利用特征值和特征向量可以找到数据的主要特征方向，用于数据降维和分析。
（2）图像处理：利用特征值和特征向量可以进行图像压缩、增强和分析。
（3）物理学中的量子力学：波函数的特征值和特征向量对应着物理量的测量结果和对应的本征态。
矩阵的特征值和特征向量
矩阵的特征值和特征向量矩阵是线性代数中重要的概念之一，其特征值和特征向量也是矩阵理论中的核心内容。
本文将全面介绍矩阵的特征值和特征向量，包括定义、性质、求解方法以及应用等方面，为读者深入理解和应用矩阵的特征值和特征向量提供帮助。
一、特征值和特征向量的定义矩阵A是由m×n个数构成的矩形数表，其特征值和特征向量是矩阵的重要性质。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k为常数，那么k就是矩阵A的特征值，而非零向量x称为A对应于特征值k的特征向量。
特征值和特征向量的定义说明了矩阵在线性变换下的不变性。
特征向量表示了矩阵在该线性变换下的一个不变方向，而特征值则表示了该方向上的伸缩倍数。
二、特征值和特征向量的性质矩阵的特征值和特征向量具有以下性质：1. 特征值与矩阵的行列式和迹有关。
对于n阶矩阵A，其特征值λ1, λ2, …, λn满足λ1 + λ2 + … + λn = tr(A)，λ1 × λ2 × … × λn = |A|。
2. n阶方阵的特征向量个数不超过n，且特征向量线性无关。
3. 若λ是方阵A的特征值，则对于任意非零常数c，cλ也是A的特征值。
4. 若λ是方阵A的特征值，且x是A对应于λ的特征向量，则对于任意正整数k，λ^k是A^k的特征值，x是A^k对应于特征值λ^k的特征向量。
三、特征值和特征向量的求解方法求解特征值和特征向量是矩阵理论中一个重要的问题。
下面介绍两种常用的求解方法：1. 特征方程法：设A是一个n阶矩阵，λ是其特征值，x是对应于λ的特征向量，那么Ax = λx可以变形为(A - λI)x = 0，其中I是n阶单位矩阵。
由于x是非零向量，所以矩阵(A - λI)的行列式必须为零，即|A - λI| = 0，这样就可以得到特征值λ的值。
然后，通过解(A - λI)x = 0可以求得特征向量x。
2. 幂迭代法：这是一种迭代法的方法，通过矩阵的幂次迭代来逼近特征向量。
矩阵的特征值与特征向量
§2.5 矩阵的特征值与特征向量定义1 在A 为n 阶矩阵，λ是一个数，如果方程Ax =λx （1）存在非零解向量，则称λ为A 的一个特征值，相应的非零解向量x 称为与特征值λ对应的特征向量.将(1)式改写为(λE -A )x = 0即n 元齐次线性方程组)3(.0,0)(,0)(221122221211212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−−−−=−−−−−=−−−−n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x aλλ此方程组存在非零解的充分必要条件为系数行列式等定义2设A 为n 阶矩阵，含有未知量λ的矩阵λE -A 称为A 的特征矩阵，其行列式|λE -A |是A 的n 次多项式，称为A 的特征多项式，|λE -A |=0称为A 的特征方程.λ是矩阵A 的一个特征值，则一定是|λE -A |=0的根，因此又称为特征根.若λ是|λE -A |=0的ni 重根，则λ称为A 的ni 重特征值.方程(λE -A )x = 0的每一个非零向量，都是相应于λ的特征向量.例1求矩阵的特征值和特征向量.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−=201034011A 得特征根为解方阵A 的特征方程为0)2()1(2=−−=−λλλA E 1232,1λλλ===（二重）.于是ξ1=(0,0,1)T 为方阵的对应于特征值λ1=2的一个特征向量，而方阵的对应于特征值λ1=2的全部特征向量为k 1 ξ1 ，这里k 1为任意非零常数.解线性方程组,0)(1=−x A E λ即,000001014013321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−x x x 得基础解系.1001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξ于是方阵A 的对应于特征值λ2=λ3=1的全部特征向量为k 2 ξ2 ，这里k 2为任意非零常数.解线性方程组,0)(2=−x A E λ即,000101024012321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−x x x 得基础解系.1212⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−=ξ例2求矩阵的特征值和特征向量.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−−=163053064A 解A 的特征多项式为所以A 的特征值为当λ1=2时，解线性方程组(λ1E -A )x = 0即,0)1)(2(1630530642=−+=−+−−=−λλλλλλA E .1,2321==−=λλλ,0003306621⎪⎪⎪⎫⎛=⎪⎪⎪⎫ ⎛⎪⎪⎪⎫ ⎛−−x x得基础解系ξ1=(-1,1,1)T ，所以A 的对应于特征值λ1=-2的全部特征向量为k 1 ξ1 ，这里k 1为任意非零常数.当λ2=λ3=1时，解线性方程组(λ2E -A )x = 0即,000063063063321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−x x x 得基础解系23201,0,01ξξ−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是方阵A 的对应于特征值λ2=λ3=1的全部特征向量为k 2 ξ2+k 3 ξ3 ，这里k ,k 为任意不同时为0的常数.例3证明：n 阶矩阵A 奇异的充分必要条件是A 有一个特征值为0.证必要性：如果A 是奇异矩阵，则|A|=0. 于是即0是A 的一个特征值.所以齐次线性方程组Ax = 0有非零解ξ. 由此可知|A |=0，即A 为奇异矩阵.这个结论也可以表述为，n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是它的任一特征值不为0.定理4.3n 阶矩阵A 与它的转置矩阵A T 有相同的特征值.,0)1(0=−=−=−A A A E n 充分性：设A 有一个特征值为0，对应的特征向量为ξ. 由特征值的定义，有)0(00≠==ξξξA 证由(λE -A )T =λE -A T 有AE A E A E T T −=−=−λλλ)(证用数学归纳法证明.当m=1时，由于特征向量不能是零向量，因此定理成立.设A 的m-1个互不相同的特征值λ1, λ2,…,λm -1, 其对应的特征向量x 1, x 2,…,x m-1线性无关.现证明对m 个互不相同的特征值λ1, λ2,…,λm ，其对应的特征向量x 1, x 2,…,x m 线性无关.定理4.4 n 阶矩阵A 互不相同的特征值λ1, λ2,…,λm ,对应的特征向量x 1, x 2,…,x m 线性无关.又因x m 为非零向量，所以k m =0. 由(4)式乘以λm 减去(5)式，得,0)()()(111222111=−++−+−−−−m m m m m m x k x k x k λλλλλλ 由归纳假设法，x 1, x 2,…,x m -1线性无关，于是)1,,2,1(0)(−==−m i k i m i λλ于是(4)式化为k m x m =0因为所以),1,,2,1(−=≠m i i m λλk 1 =k 2 = … =k m-1 = 0.因此，x 1, x 2,…,x m 线性无关.设有)4(,0112211=++++−−m m m m x k x k x k x k 以矩阵A 乘(4)式两端，注意到Ax i =λx i ，得)5(,0111222111=++++−−−m m m m m m x k x k x k x k λλλλ例4 设λ为A 的特征值，则λ2为A 2的特征值；若矩阵A 满足A 2=A （这时称A 的幂等矩阵），则A 的特征值只能是0或者1.证设λ为A 的特征值，x 是A 的对应于λ的特征向量，于是，且有A x =λx.所以λ2是A 2的特征值，由已知条件λ2x =λx ，即(λ2 -λ)x=0.0≠x 又因为,)()()(22x Ax x A Ax A x A λλλ====因为，所以必有λ2 -λ=0，即λ=0或者λ=1.0≠x。
矩阵特征值与特征向量
矩阵特征值与特征向量在线性代数中，矩阵的特征值和特征向量是非常重要的概念。
它们在很多数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍矩阵特征值和特征向量的定义、性质以及计算方法。
一、特征值与特征向量的定义1. 特征值：对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X使得AX=kX，其中k为一个常数，那么k就是矩阵A的特征值。
我们可以把这个等式改写为(A-kI)X=0，其中I是单位矩阵。
这样，求解特征值就等价于求解矩阵(A-kI)的零空间。
2. 特征向量：特征向量是与特征值相对应的非零向量。
对于一个特征值k，其对应的特征向量X满足AX=kX。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量是成对出现的，一个特征值对应一个特征向量。
2. 特征值的个数等于矩阵A的阶数。
特征值可以是实数或复数。
3. 特征向量可以乘以一个非零常数得到一个新的特征向量。
4. 如果矩阵A是实对称矩阵，那么其特征值一定是实数。
如果矩阵A是正定或负定矩阵，那么其特征值一定大于0或小于0。
5. 特征向量相互之间线性无关。
三、特征值与特征向量的计算方法1. 求特征值：求解特征值的常用方法是求解矩阵A的特征多项式的根。
特征多项式的形式为|A-kI|=0，其中|A-kI|表示矩阵A-kI的行列式。
2. 求特征向量：已知特征值k后，将k代入(A-kI)X=0即可得到特征向量。
可以使用高斯-约当消元法或者迭代法来求解。
四、矩阵特征值与特征向量的应用1. 特征值与特征向量广泛应用于机器学习和数据分析领域。
在主成分分析（PCA）中，我们可以通过计算数据的协方差矩阵的特征向量来实现数据降维和特征提取。
2. 特征值与特征向量也在图像处理和信号处理中有许多应用。
例如，在图像压缩算法中，我们可以利用矩阵的特征值和特征向量来实现图像的降噪和压缩。
3. 特征值和特征向量还可以应用于动力系统的稳定性分析。
通过求解动力系统的雅可比矩阵的特征值，我们可以判断系统的稳定性和临界点的类型。
§41矩阵的特征值与特征向量
Hale Waihona Puke §4.1 特征值与特征向量
一 、特征值与特征向量的概 念
定义1 设A是n阶矩阵 如果数 和n维非零列向量 x 使 Ax x
成立 则数 称为方阵 A 的特征值 非零列向量 x 称为A 的 对应于特征值 的特征向量
注：(1) 特征向量 x≠0与特征值都是对于方阵而言; (2) 一个特征向量只能属于一个特征值;而与特征值对
所以A的特征值为 1 1
232
对于 1 1
解方程(A I)x得基础0 解 (1 0 1)T
所以对应于 1 1的全部特征向量为系kpp11(k 0)
对于 2 3 2
解方程(A 2I)x得基础
p2 (0 1 1)T0解p系3 (1 0
所以对应于 2 4)T3 2的全部特征向量为k2 p2 k3 p3(k2 k3不
所以A的特征值为 1 2
231
对于 1 2 解方程(A 2I)x得基0础解系 (0 0 1)T 所以kp1(k 0)是对应于 1 2的全p1部特征向量
对于 2 3 1
解方程(A 得I)x基础0解 ( 1 2
所以kp2(k 0)是对应于 2系3p21的全部特征向量
例2 求矩阵
解 A的特征多项式 为
的特征值和特征向量
为0)
三 、特征值与特征向量的性 质
例3 设 是方阵A的特征值 证明 (1) 2是A2的特征值
证明 因为 是A的特征值 故有p 0 使Ap p于 (1)A2p A(Ap) A( p) (Ap) 2p所以 2是A2是的特征值 (2)当A可逆时 由Ap p有 A 因1p为p 0 知 0
p
注：定理3的结论对整数也成立.
特征向应量不唯一。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域均有广泛的应用。
在研究矩阵的性质时，特征值与特征向量是一个不可或缺的概念。
本文将详细介绍矩阵的特征值与特征向量，探讨它们在矩阵理论和实际问题中的应用。
1. 特征值与特征向量的定义对于一个 n 阶方阵 A，如果存在一个非零向量 X 和一个实数λ，使得Ax = λX 成立，则称λ 为矩阵 A 的特征值，X 称为特征值λ 对应的特征向量。
2. 计算特征值与特征向量为了计算特征值与特征向量，我们可以使用特征值方程 det(A-λI) = 0。
其中，det() 表示矩阵的行列式，A 是待求特征值与特征向量的矩阵，I 是单位矩阵，λ 是未知数。
解特征值方程得到的λ 值即为矩阵的特征值。
3. 求解特征向量在得到特征值λ 后，我们可以通过代入特征值到方程 (A-λI)X = 0 中，求解出对应的特征向量 X。
需要注意的是，特征向量并不唯一，可以乘以一个非零常数得到不同的特征向量。
4. 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量有以下重要性质：- 矩阵 A 的特征值的个数等于矩阵的阶数 n，包括重复的特征值。
- 所有特征值的和等于矩阵的迹（主对角线元素的和）。
- 矩阵 A 的特征向量构成的集合是线性无关的。
5. 矩阵的对角化与相似矩阵如果能找到一个可逆矩阵 P，使得 P^-1AP = D，其中 D 是对角矩阵，则称矩阵 A 是可对角化的。
对角矩阵 D 的对角线上的元素就是矩阵 A的特征值。
P 的列向量组成的矩阵就是 A 的特征向量矩阵。
6. 特征值与矩阵的性质关系矩阵的特征值与矩阵的性质之间存在一定的联系：- 如果矩阵 A 是奇异矩阵，则它的特征值中至少有一个为零。
- 如果矩阵 A 是对称矩阵，则它的特征值都为实数，并且相应的特征向量可以取为正交向量。
- 如果矩阵 A 是正定矩阵，则它的特征值都大于零。
7. 应用举例：主成分分析（PCA）主成分分析是一种常用的统计学方法，用于数据降维和特征提取。
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1 2020/8/3
5.1.1 特征值和特征向量的基本概念 定义 设A为数域F上的n阶矩阵, 如果存在数
lF和非零的n维列向量X, 使得 AX=lX
就称l是矩阵A的特征值, X是A的属于(或对应 于)特征值l的特征向量.
注意: 特征向量X0; 特征值问题是对方阵而言 的, 本章的矩阵如不加说明, 都是方阵.
2 1 -1
例
A
4
0
2
3 - 2 4
1
X
1
2
1
-2
X2
1
3
验证： X1, X2 是否为A的特征向量
解
2 1 -1 1 3 1
AX1
4
0
2
2
6
3
2
3
X
1
3 -2 4 1 3 1
2 1 -1-2 - 6
AX2
4
0
3 -2
2
1
4 13
ll 当 2 3 2 时 ， 解 方 程 （ 2 I - A ） X 0
系
ll 4
2I
-
A
0
4
-1 0 -1
-1 0
r3
-
r1
-1
1
0
0
-1/ 4 0 0
-1/ 4
0
0
1
X
2
4
0
对 应 于 2 3 2 的 全 部 特 征 向 量 为
k 2 X 2 k 3 X 3（ k 2 ， k 3 不 同 时 为 0 ）
1
X
3
0
4
15 2020/8/3
例 主对角元为a11,a22,...,ann的对角阵A或上(下)三角阵 B的特征多项式是
2
-1
1
A属于l 2 的全部特征向量：K1X1(K10)
A属于l 4 的全部特征向量：K2X2(K20)
10 2020/8/3
例 求矩阵
-1 1 0
A -4 3 0
1
0
2
的特征值和特征向量. 解 矩阵A的特征多项式为
l1 -1 0 det(lI-A) 4 l-3 0 (l-2)(l-1)2
1 l-3
A的特征值为l12, l24
当l1
2时，
-1 1
1 -1
x1 x2
0 0
即
x1 - x1
x2 x2
0 0
x1
x2
1
X
1
1
对应的特 征向量可 取为
9 2020/8/3
当l2 4时
1 1
1 1
x1 x2
0 0
--11
-1x1 -1x2
00
x1 -x2
对应的特征向量可取为X
A
0
2
0
- 4 1 3
解 A的特征多项式为
2l -1 lI -A 0 l-2
-1 0
(l-2) 2l
4
-1
l-3
4 -1 l-3
lll lll (- 2 ) (2 - - 6 4 ) (- 2 ) (2 - - 2 )
(l1)(l-2)2
A的特征值为 l1-1, l2l32
14 2020/8/3
12 2020/8/3
当l2=1时, 由(l2I-A)X=0, 即
2 -1 0 x1 0
4 -1
-2 0
0 -1
xx23
0, 0
得其基础解系为X2=(1,2,-1)T, 因此k2X2(k20为常
数)是A的对应于l2=1的特征向量.
13 2020/8/3
例 求矩阵的特征值和特征向量
-2 1 1
-2 4
6 2020/8/3
注1 非 零 n 维 向 量 X 是 n 阶 方 阵 A 的 特 征 向 量 的 充 分 必 要 条 件 是 ： 向 量 A X 与 X 线 性 相 关 。
l 注2 如 果 X 是 矩 阵 A 的 对 应 特 征 值 的 特 征 向 量 ， l 则 k X （ k 0 ） 也 是 A 的 对 应 特 征 值 的 特 征 向 量 。
注3 如果 X1, X2 是A对应于特征值 l 的特征向量，
则
k 1 X 1 k 2 X 2 ( k 1 X 1 k 2 X 2 也0 ) 是A对应于特
征值 的l特征向量。
7 2020/8/3
注4 如果 X1, X2 是A对应于特征值 l的线性无关
特征向量，则 k1X1k2X2(k1,k2不全 0) 也为 是
定义 设n阶矩阵A=(aij), 则
f (l) det(lI -A)
l-a11 -a12 -a21 l-a22
(5.2)
-a1n -a2n
(5.3)
-an1 -an2
l-ann
称为矩阵A的特征多项式, lI-A称为A的特征矩阵,
(5.2)式称为A的特征方程.
4 2020/8/3
显然, n阶矩阵A的特征多项式是l的n次多项式.
-1 0 l-2
A的特征值为l1=2, l2，3=1(二重特征值).
11 2020/8/3
当l1=2时, 由(l1I-A)X=0, 即
3 -1 0x1 0
4 -1
-1 0
0 0
xx23
0, 0
得其基础解系为X1=(0,0,1)T, 因此k1X1(k10为常数
)是A的对应于l1=2的特征向量.
2 2020/8/3
AX=lX
根据定义, n阶矩阵A的特征值, 就是齐次
线性方程组 (lI-A)X=0 有非零解的l值. 即满足方程
det(lI-A)=0 即 lI -A 0
的l都是矩阵A的特征值. 因此, 特征值是l的多项式det(lI-A)的根.
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AX=lX,
det(lI-A)=0
A对应于特征值 l 的特征向量。
注5 矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的
l l X 0 ， A X 1 X ， A X 2 X
l1X-l2X0 （l1
-l2）X
X 0
0l1
-l2
0
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例 求下列矩阵的特征值和特征向量
3 -1
A
-1
3
解 A的特征多项式为
l - 3 1 (3-l)2-1l2-6l8(l-2)(l-4)
l 当 1 - 1 时 ， 解 方 程 （ A I ） X 0
-1
AI0Fra bibliotek-41 3 1
1
0
4
r3 - 4 r1
r2 3
-1
0
0
1 1 -3
1
0
0
r1 - r2
r3 3 r2
1
0
0
0 1 0
-1
0
0
l 得基础解系 X1 （1，0， 1） T
对 应 于 1 - 1 的 全 部 特 征 向 量 为 k 1 X （ 1 k 1 0 ） 得基础解
特征多项式的k重根也称为k重特征值. 当n5时, 特征 多项式没有一般的求根公式, 即使是三阶矩阵的特征 多项式, 一般也难以求根, 所以求矩阵的特征值一般 是三阶行列式求特征值,一般用0,1,-1,2, -2进行尝试 先得到一个根, 则剩下的两个根可用解一元二次方程 的办法解.
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