北师大版数学高二-4.3定积分的简单应用--定积分在物理中应用及简单几何体的体积学案

4.3定积分的简单应用—定积分在物理中应用及简单几何体的体积
一、学习目标：
1、了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.
2、掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。

3、理解定积分概念形成过程的思想；
4、会根据该思想求简单旋转体的体积问题。

二、学习重点与难点：
重点：
1、定积分的概念及几何意义；
2、定积分的基本性质及运算在物理中应用。

3.利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单的旋转体的体积问题；
难点：数学模型的建立及被积函数的确定。

三、学习方法：探究归纳，学练结合
四、学习过程 （一）、复习：
（1）、求曲边梯形面积的思想方法是什么？
（2）、定积分的几何意义是什么？
（3）、微积分基本定理是什么？
（二）、定积分的应用
【定积分在物理中应用】
1、求变速直线运动的路程
我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即()b
a s v t dt =⎰
例 1。

一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．
2．变力作功
一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m)，则力F 所作的功为W=Fs .
探究
如果物体在变力 F(x ）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a<b) ，那么如何计算变力F(x ）所作的功W 呢？
与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到
()b
a W F x dx =⎰ 例2．如图1·7一4 ，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功．
练习：如果1N 能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，需做功（ ）
A 0.18J
B 0.26J
C 0.12J
D 0.28J
例3．A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站B 开往站，电车开出ts 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C 点的速度为24m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经ts 后，速度为（24-1.2t ）m/s ，在B 点恰好停车，试求
（1）A 、C 间的距离；（2）B 、D 间的距离；（3）电车从A 站到B 站所需的时间。

分析：作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即⎰b
a dt t v S )(＝
【定积分在求简单几何体的体积中的应用】
问题：函数()y f x =，[],x a b ∈的图像绕x 轴旋转一周，所得到的几何体的体积V = 。

2[()]b
a V f x dx π=⎰ 例4、如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是一个圆锥，上方是
由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状，尺寸如图所示，试求
其体积。

分析：解此题的关键是如何建立数学模型。

将其轴载面按下图位置
放置，并建立坐标系。

则A ，B 坐标可得，再求出直线AB 和抛物线方程，
“冰激凌”可看成是由抛物线弧OB 和线段AB 绕X 轴旋转一周形成的。

变式练习
如图一，是火力发电厂烟囱示意图。

它是双曲线绕其一条对
称轴旋转一周形成的几何体。

烟囱最细处的直径为m 10，最下端
的直径为m 12，最细处离地面m 6，烟囱高m 14，试求该烟囱占
有空间的大小。

（图一）
（精确到310m .）
归纳总结：求旋转体的体积和侧面积
由曲线()y f x =，直线,x a x b ==及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴
旋转而成的旋转体体积为2
[()]b a V f x dx π=⎰.其侧面积为
'22()1[()]b
a S f x f x dx π=+⎰侧. 求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程，总结求旋转体体积公式步骤如下：
1．先求出()y f x =的表达式；2．代入公式()2b a V f x dx π=
⎰，即可求旋转体体积的值。

（三）、课堂小结：
1本节课主要学习了利用定积分求一些曲边图形的面积与体积，即定积分在几何中应用，以及定积分在物理学中的应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解。

2、求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程，总结求旋转体体积公式步骤如下：
1）．先求出()y f x =的表达式；2）．代入公式()2b a V f x dx π=
⎰，即可求旋转体体积的
值。

五、学后反思
根据定积分的定义，定积分既有几何背景，又有物理背景，进而定积分与这些知识有着天然的联系。

譬如：求几何图形的面积，求路程、平均速度、电荷量、电压、功、质量等。

上述种种尽管形式相异，然而所采用的思想方法均是：化曲为直，以不变代变，逼近，从某个角度而言充分展现了数学思想方法的高度抽象性及应用的广。

第四课时4.3定积分的简单应用
——定积分在物理中应用及简单几何体的体积答案
例 1。

解：由速度一时间曲线可知：
3,010,()30,10401.590,4060.t t v t t t t ≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪-+≤≤⎩
因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：
104060010403[30( 1.590)s tdt dt t dt =++-+⎰⎰⎰ 21040260
0104033|30|(90)|1350()24
t t t t m =++-+= 答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .
例2．解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 F ( x ）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 F ( x ）= kx , 其中常数 k 是比例系数．由变力作功公式，得到
220011|()22l l W kxdx x kl J ===⎰答：克服弹力所作的功为212
kl J . 练习： A
略解：设kx F =，则由题可得010.=k ，所以做功就是求定积分1800106
0..=⎰xdx 。

例3．略解：（1）设A 到C 的时间为t 1则 1.2t=24, t 1=20(s),则AC ＝⎰==20
020*********)(|..m t tdt
（2）设D 到B 的时间为t 21则24-1.2t 2=0, t 21=20(s),则DB ＝⎰==20
02002240602124)(|..m t dt t ）－（
（3）CD=7200-2⨯240=6720(m),则从C 到D 的时间为280(s),则所求时间为20+280+20=320（s ）
例4解：将其轴载面按下图位置放
置，并建立如图的坐标系。

则),(012A ， ),(44B ，设抛物线弧OA 所在的抛物线方程为：px y 22=，代入),(44B 求得：2=p
∴抛物线方程为：x y 42
=（0≥y ） 设直线AB 的方程为：12+=qy x ，代入),(44B 求得：
2-=q ∴直线AB 的方程为：62
1+-=x y ∴所求“冰激凌”的体积为：3401242232246212)()()(cm dx x dx x ππ=⎭⎬⎫⎩⎨
⎧+-+⎰⎰ 变式练习 答案：321659m .。