湖南省2017年学业水平考试数学(真题含答案)

2017年湖南省学业水平考试（真题）数 学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分100分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体可以是（）A 、正方体B 、圆柱C 、三棱柱D 、球2.已知集合{0,1},{1,2}A B == ，则B A 中元素的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、43.已知向量，若，则(,1),(4,2),(6,3)a x b c === ，若c a b =+ ，则x = （ ）A 、-10B 、10C 、-2D 、24.执行如图2所示的程序框图，若输入x 的值为-2，则输出的y =( )A 、-2B 、0C 、2D 、45.在等差数列{}n a 中，已知12311,16a a a +== ，则公差d = （ ）A 、4B 、5C 、6D 、76.既在函数12()f x x = 的图象上，又在函数1()g x x -= 的图象上的点是 A 、（0，0） B 、（1，1） C 、（12,2 ） D 、（1,22） 7.如图3所示，四面体ABCD 中，E,F 分别为AC,AD 的中点，则直线CD 与平面BEF 的位置关系是( )A 、平行B 、在平面内C 、相交但不垂直D 、相交且垂直8.已知sin 2sin ,(0,)αααπ=∈ ，则cos α=（ ）A 、 32-、12- C 、12D 、32 9.已知14222log ,1,log a b c === ，则A 、 a b c <<B 、b a c <<C 、c a b <<D 、c b a <<10.如图4所示，正方形的面积为1，在正方形内随机撒1000粒豆子，恰好有600粒豆子落在阴影部分内，则用随机模拟方法计算得阴影部分的面积为（ ）A 、 45B 、35C 、12D 、25二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11.已知函数()cos ,f x x x R ω=∈ （其中0ω>）的最小正周期为π ，则ω= .12.某班有男生30人，女生20人，用分层抽样的方法从该班抽取5人参加社区服务，则抽出的学生中男生比女生多 人。

13.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4,3,sin 1a b C === ，则ABC ∆的面积为 。

14.已知点(1,)A m 在不等式组0,0,4x y x y >⎧⎪>⎨⎪+<⎩表示的平面区域内，则实数m 的取值范围为 。

15.已知圆柱及其侧面展开图如图5所示，则该圆柱的体积为 。

三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分6分）已知定义在区间[,]ππ-上的函数()sin f x x = 的部分图象如图6所示.（1）将函数()f x 的图象补充完整；（2）写出函数()f x 的单调递增区间.17.(本小题满分8分)已知数列{}n a 满足13(*)n n a a n N +=∈ ，且26a = .（1）求1a 及n a ；（2）设2n n b a =- ，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（本小题满分8分）为了解数学课外兴趣小组的学习情况，从某次测试的成绩中随机抽取20名学生的成绩进行分析，得到如图7所示的频率分布直方图。

（1）根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数；（2）从成绩不低于80分的两组学生中任选2人，求选出的2人来自同一组的概率.19（本小题满分8分）已知函数22,0,()2(1),0x x f x x m ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩ （1）若1m =- ，求(0)f 和(1)f 的值，并判断函数()f x 在区间(0,1)内是否有零点；（2）若函数()f x 的值域为[2,)-+∞ ，求实数m 的值.20.(本小题满分10分)已知O为坐标原点，点p 在圆22:410M x y x ay +-++= 上，（1）求实数a 的值；（2）求过圆心M 且与直线OP 平行的直线的方程；（3）过点O 作互相垂直的直线121,,l l l 与圆M 交于,A B 两点，2l 与圆M 交于,C D 两点，求||||AB CD ⋅ 的最大值.2017年湖南省学业水平考试（参考答案）数 学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分100分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体可以是（A ）A 、正方体B 、圆柱C 、三棱柱D 、球2.已知集合{0,1},{1,2}A B == ，则B A 中元素的个数为（C ）A 、1B 、2C 、3D 、43.已知向量，若，则(,1),(4,2),(6,3)a x b c === ，若c a b =+ ，则x = （ D ）A 、-10B 、10C 、-2D 、24.执行如图2所示的程序框图，若输入x 的值为-2，则输出的y =( B )A 、-2B 、0C 、2D 、45.在等差数列{}n a 中，已知12311,16a a a +== ，则公差d = （ D ）A 、4B 、5C 、6D 、76.既在函数12()f x x = 的图象上，又在函数1()g x x -= 的图象上的点是( B ) A 、（0，0） B 、（1，1） C 、（12,2 ） D 、（1,22） 7.如图3所示，四面体ABCD 中，E,F 分别为AC,AD 的中点，则直线CD 与平面BEF 的位置关系是( A )A 、平行B 、在平面内C 、相交但不垂直D 、相交且垂直8.已知sin 2sin ,(0,)αααπ=∈ ，则cos α=（ C ）A 、 32-、12- C 、12D 、32 9.已知14222log ,1,log a b c === ，则( A )A 、 a b c <<B 、b a c <<C 、c a b <<D 、c b a <<10.如图4所示，正方形的面积为1，在正方形内随机撒1000粒豆子，恰好有600粒豆子落在阴影部分内，则用随机模拟方法计算得阴影部分的面积为（ B ）A 、 45B 、35C 、12D 、25二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11.已知函数()cos ,f x x x R ω=∈ （其中0ω>）的最小正周期为π ，则 ω= 2 .12.某班有男生30人，女生20人，用分层抽样的方法从该班抽取5人参加社区服务，则抽出的学生中男生比女生多 1 人。

13.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4,3,sin 1a b C === ，则ABC ∆的面积为 6 。

14.已知点(1,)A m 在不等式组0,0,4x y x y >⎧⎪>⎨⎪+<⎩表示的平面区域内，则实数m 的取值范围为 30<<m 。

15.已知圆柱及其侧面展开图如图5所示，则该圆柱的体积为 π4 。

三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分6分）已知定义在区间[,]ππ-上的函数()sin f x x = 的部分图象如图6所示.（1）将函数()f x 的图象补充完整；（2）写出函数()f x 的单调递增区间.解：（1）图象如图：（2）由图象可知，函数()sin f x x =在区间[,]ππ-上的单调增区间为]2,2[ππ-。

17.(本小题满分8分)已知数列{}n a 满足13(*)n n a a n N +=∈ ，且26a = .（1）求1a 及n a ；（2）设2n n b a =- ，求数列{}n b 的前n 项和n S .解：26331121=∴==∴=+a a a a a n n }{31n nn a a a ∴=∴+为等比数列，公比3=q ； 132-⨯=∴n n a（2）由已知可知，2321-⨯=-n n bn n b b b b S n nn nn 213231312)2222()3333(21210321--=---⨯=++++-++++⨯=++++=∴-18.（本小题满分8分）为了解数学课外兴趣小组的学习情况，从某次测试的成绩中随机抽取20名学生的成绩进行分析，得到如图7所示的频率分布直方图。

（1）根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数；（2）从成绩不低于80分的两组学生中任选2人，求选出的2人来自同一组的概率.解:(1)由题可知，本次测试成绩的众数为7528070=+ （2）成绩在]90,80[的频率为15.010015.0=⨯，学生人数为315.020=⨯人，设为c b a ,,，成绩在]100,90[的频率为1.010010.0=⨯，学生人数为21.020=⨯人，设为B A ,,则从5人中任选2人的基本事件如下：),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(B A B c A c B b A b c b B a A a c a b a 共10个，其中2人来自同一组的基本事有),(),,(),,(),,(B A c b c a b a ,其4个基本件。

(P ∴2人来自同一组）52104==19（本小题满分8分）已知函数22,0,()2(1),0x x f x x m x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩ （1）若1m =- ，求(0)f 和(1)f 的值，并判断函数()f x 在区间(0,1)内是否有零点；（2）若函数()f x 的值域为[2,)-+∞ ，求实数m 的值.解：(1),1)1(,1112)0(0,1)1(20,2)(12-==-⨯=∴⎩⎨⎧≥--<=∴-=f f x x x x x f m 0)1()0(<⋅f f ∴)(x f 在区间(0,1)内有零点.(2)当0<x 时，)(x f 的取值范围是)1,0(，当0≥x 时，)(x f 是二次函数，要使函数()f x 的值域为[2,)-+∞ ，则m x x f +-=2)1(2)(的最小值为2-，由二次函数可知，当1=x 时，m x x f +-=2)1(2)(取最小值2-，即2)1(-==m f .20.(本小题满分10分)已知O为坐标原点，点P 在圆22:410M x y x ay +-++= 上，（1）求实数a 的值；（2）求过圆心M 且与直线OP 平行的直线的方程；（3）过点O 作互相垂直的直线121,,l l l 与圆M 交于,A B 两点，2l 与圆M 交于,C D 两点，求||||AB CD ⋅ 的最大值.解：（1）把P 点代入圆22:410M x y x ay +-++=得0=a ； （2) 圆心坐标为(2,0)M ，2=OP k ，∴过圆心且与OP 平行的直线方程为)2(20-=-x y ，即222-=x y（3）设直线AB 的方程为0=-y kx ，直线CD 的方程为0=+ky x ，圆心到直线AB 的距离为2112k d +=，21432||k AB +-=∴，同理可221432||k k CD +-= 42242)1414(64)143)(143(4||||222222=⨯=+++-⨯≤+-+-=⋅∴k k k k k k CD AB。