全国2011年7月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题及答案解析(试卷)
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全国2011年7月高等教育自学考试
线性代数（经管类）试题
（课程代码：04184）
说明：本卷中，A T表示方阵A的转置钜阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1. 设
101
350
041
A
-
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
，则T
AA=（）
A. -49
B. -7
C. 7
D. 49
2. 设A为3阶方阵，且4
A=，则2A
-=（）
A. -32
B. -8
C. 8
D. 32
3. 设A，B为n阶方阵，且A T=-A，B T=B，则下列命题正确的是（）
A. （A+B）T=A+B
B. （AB）T=-AB
C. A2是对称矩阵
D. B2+A是对称阵
4. 设A，B，X，Y都是n阶方阵，则下面等式正确的是（）
A. 若A2=0，则A=0
B. （AB）2=A2B2
C. 若AX=AY，则X=Y
D. 若A+X=B，则X=B-A
5. 设矩阵A =11310
21400050
00
0⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，则秩（A ）=（ ） A. 1 B. 2 C. 3
D. 4
6. 若方程组02020kx z x ky z kx y z +
=⎧⎪
++=⎨⎪-+=⎩
仅有零解，则k ≠（ ）
A. -2
B. -1
C. 0
D. 2
7. 实数向量空间V={（x 1，x 2，x 3）|x 1 +x 3=0}的维数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2
D. 3
8. 若方程组12323232132
(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪
-=-⎨⎪-=--+-⎩
有无穷多解，则λ=（ ） A. 1 B. 2 C. 3
D. 4
9. 设A =100010002⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，则下列矩阵中与A 相似的是（ ）
A. 100020001⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦ B. 110010002⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
C. 100011002⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
D. 101020001⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
10. 设实二次型22
12323
(,,)f x x x x x =-，则f （ ）
A. 正定
B. 不定
C. 负定
D. 半正定
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11. 设A =(-1,1,2)T ，B =(0,2,3)T ,则|AB T |=______.
12. 设三阶矩阵[]123,,A ααα=，其中(1,2,3)i i α=为A 的列向量，且|A |=2，则
[]122123,,αααααα++-=______.
13. 设0100
102A a c b ⎡
⎤⎢⎥⎢
⎥
=⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎣
⎦
，且秩(A )=3，则a,b,c 应满足______. 14. 矩阵312132
Q ⎤-⎥
⎢
=⎢⎢⎣
的逆矩阵是______. 15. 三元方程x 1+x 3=1的通解是______. 16. 已知A 相似于1002-⎡⎤
Λ=⎢
⎥
⎣⎦
，则|A -E |=______. 17. 矩阵001010100A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
的特征值是______. 18. 与矩阵1221A ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
相似的对角矩阵是______. 19. 设A 相似于100010001⎡⎤
⎢⎥Λ=-⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，则4A ______. 20. 二次型f (x 1,x 2,x 3)=x 1x 2-x 1x 3+x 2x 3的矩阵是______.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21. 计算4阶行列式D=
12342
34134124
123
. 22. 设A =101020161⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，而X 满足AX +E =A 2+X ，求X . 23. 求向量组：123412532101,,,327512532341αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
的秩，并给出该向量组
的一个极大无关组，同时将其余的向量表示成该极大无关组的线性组合.
24. 当λ为何值时，齐次方程组123123123
220
2030x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪
-+=⎨⎪+-=⎩有非零解？并求其全部非零解.
25. 已知1,1,-1是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，向量1(1,1,1)T α=、2(2,2,1)T α= 是A 的对应于121λλ==的特征向量，求A 的属于31λ=-的特征向量. 26. 求正交变换Y =PX ，化二次型f (x 1,x 2,x 3)=2x 1x 2+2x 1x 3-2x 2x 3为标准形. 四、证明题（本大题6分）
27. 设123ααα，，线性无关，证明1121323ααααα++，，也线性无关.