孙训方材料力学07应力状态强度理论

材料力学
e
x
xy
α
α n
α
α
ayx y f t
应力状态和强度理论 e
dA
dAcos α
a
f
dAsin
3、任意斜截面上的应力
dA—斜截面的面积 ,
dAcos —a-e的面积，dAsin —a-f 的面积
对研究对象列 n 和 t 方向的平衡方程
Fn 0 dA ( xydAcos )sin ( xdAcos )cos
应力状态和强度理论
斜截面上的应力
1、截面法—沿斜截面 e-f 将单元体截开，留下左边部分的单 元体eaf 作为研究对象
e
x
a
y
yx
x xy
f
n
x
e
x
xy
α
α n
α
α
ayx
f
y
材料力学 y
e
x
a
yx
x xy
f
n
x
2、符号的确定
应力状态和强度理论
e
x
xy
α
n
α
α
α
ayx
f
y
t
（1）由x轴转到外法线n，逆时针转时 为正； （2）正应力仍规定拉应力 为正； （3）切应力对单元体内任一点取矩，顺时针转 为正。
材料力学
应力状态和强度理论
材料力学
应力状态和强度理论
第七章 应力状态和强度理论
§7-1 应力状态概述 §7-2 平面应力状态的应力分析·主应力 §7-3 空间应力状态的概念 §7-4 应力与应变间的关系 §7-5 空间应力状态下的应变能密度 §7-6 强度理论及其相当应力 *§7-7 莫尔强度理论及其相当应力 §7-8 各种强度理论的应用
平面应力状态
单轴
应力状态和强度理论
y
y
z
z
yz
zy
yx xy
zx xz
x x
x
z
y
yy
y yx yx
xy xy x x x
y
x
x
y yx
xy
x
纯剪
材料力学
为什么要研究应力状态？
应力状态和强度理论
FP
A’
S平面
C’
B
C
A
x1
A
x1
3 B 3
2
x2
x2 C 2
材料力学
应力状态和强度理论
2 1
3 2
3 1
材料力学
应力状态和强度理论
理由：
一、需要强度校核的危险点应力形式多种多样
材料力学
应力状态和强度理论
观察
低碳钢和铸铁的拉伸实验
低碳钢
12
铸铁
材料力学
低碳钢和铸铁的扭转实验
应力状态和强度理论
低碳钢
铸铁
材料力学
应力状态和强度理论
理由：
一、需要强度校核的危险点应力形式多种多样
二、试件破坏不只在横截面，有时也在斜截面发
生破坏
三、复杂应力状态下不可能通过实验测定材料极
限应力
结 论 为什么要研究应力状态？
材料力学
应力状态和强度理论
§7-2 平面应力状态的应力分析·主应力
平面应力状态分析的方法：
解析法 图解法
15
材料力学
解析法
y
y yx xy
x
x
z
平面应力状态的普遍形式
应力状态和强度理论
y yx x xy
材料力学
xy sin 2
x
y
2
sin 2
xy cos 2
把上面两式等号两边平方，然后相加消去，得
(
x
y
2
)2
2
(
x
y
2
)2
2 xy
材料力学
应力状态和强度理论
(
x
y
2
)2
2
(
x
y
2
)2
2 xy
式中x、y 、xy 为已知量，上式是一个以、为变量的 圆方程。任意斜截面上的应力 、 在 - 直角坐标系内的轨
迹是一个圆。
圆心坐标
C(
x
y
,0)
2
圆的半径
R
(
x
2
y
)2
2 xy
此圆—称为应力圆或莫尔圆
材料力学
y
y yx
应力圆作法
x
x
x
Ｏ
xy
y
应力状态和强度理论
（1）建立 - 坐标系，选定比例尺
材料力学 y
y yx
应力状态和强度理论
D
x
x
xO
B
xy
C
A
y
D′
（2）量取 OA= x
x
AD = xy 得D点
应力状态——过同一点不同方向面上应力的集合， 称之为这一点的应力状态。
材料力学
应力状态和强度理论
如何描述一点的应力状态？
单元体
dz dx
dy
单元体的性质： ➢ 单元体的体积为无穷小； ➢ 平行面上，应力均布； ➢ 平行面上，应力相等。
单元体及其各面上的应力来描述一 点的应力状态。
材料力学
空间应力状态
y
n
e
x
yx x
O x
E
D
2
B
20
CF A
xy
f a
y
D′
x
材料力学
应力状态和强度理论
说明
（1）点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力必对应于应 力圆上某一点的坐标。
（2）夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上 对应两截面夹角的两倍，两者的转向一致。
A
B
B
A
2
O
C
材料力学
应力状态和强度理论
由切应力互等定理可知 xy yx
材料力学
应力状态和强度理论
化简以上两个平衡方程得
x
y
2
x
2
y
cos 2
xy sin 2
x
y
2
sin 2
xy cos 2
上式反映了平面应力状态下，一点处的应力状态
材料力学
图解法
wk.baidu.com
应力状态和强度理论
应力圆
将斜截面应力计算公式改写为
x
y
2
x
y
2
cos 2
( yxdAsin ) cos ( ydAsin ) sin 0
材料力学
e
x
xy
α
α n
α
α
ayx
f
y
t
应力状态和强度理论
e
dA
dAcos α
a
f
dAsin
Ft 0 dA ( xydAcos ) cos ( xdAcos )sin
( yxdAsin )sin ( ydAsin ) cos 0
1 2 3
材料力学
2
O B1
应力状态和强度理论
C
A1
1
主应力数值
OA1
OC CA1
x
2
y
(
x
2
y )2
2 xy
max
1
OB1
OC
CB1
（3）量取 OB= y BD′= yx 得D′点
（4）连接 DD′两点的直线与 轴相交于C 点
（5）以C为圆心、 CD 为半径作圆—该圆就是单元体的应力圆
材料力学
应力圆的应用
应力状态和强度理论
1、求单元体上任一截面上的应力
由应力圆的半径 CD 按方位角的转向转动2得到半径CE，
圆周上 E 点的坐标就为斜截面上的正应力 和切应力。
主应力与主平面
2
可见，A1 、B1 两点代表
的截面上切应力为零，
则此截面称为主平面。
O
B1
C
朱平面上的正应力称为
主应力 。
1
A1
材料力学
1
3
2
O
B1
C
1
应力状态和强度理论
2
在弹性力学中可以证明，受
力物体内一点处无论是什么
应力状态，必定存在三个垂
直的主应力面和相应的三个
主应力。
A1
对于一点处三个相互垂直 的主应力，按照惯例代数 值的大小顺序为：
2
材料力学
应力状态和强度理论
应力状态
提问 什么是应力状态？
如何描述一点的应力状态？
为什么要研究一点的应力状态？
3
材料力学
什么是应力状态？
应力状态和强度理论
l/2
l/2
Mz
FQ
材料力学
应力状态和强度理论
结论
同一面上不同点的应力各不相同
材料力学
F
应力状态和强度理论
F
F
F
结论
同一点不同方向面上的应力各不相同。