圆周角和圆心角的关系-ppt

●O B
如图，连接BO并延长，与圆相交于点D。（此时我们得
到与图①同样的情形）
A
C
A
C
D
O
O
B
B
①
如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图①同 样的情形）
A
C
A
C
D
O
O
B
B
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①
如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形）
∵ ∠AOD是△ABO的外角， ∴ ∠ABD=∠A+∠ABO。
O
B
C
画一画：在⊙O中画出劣弧BC所对的圆心角和圆周角∠BAC
想一想: 1.劣弧BC所对的圆心角有几个？ 劣弧BC所对的圆周角有几个？ 2圆心O与圆周角∠BAC的位置关系有哪几种？
圆心与圆周角的位置关系:
A O
B
C
A O B
C
点O在∠BAC的一边上 点O在∠BAC内部
A O
C B
点O在∠BAC外部
O.
A
B
3.3 圆周角和圆心角的关系
学习目标：
• 1、理解圆周角的概念及其相关 性质。
• 2、掌握圆周角与圆心角的关系。
探究
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C?观察 得到的∠ACB有什么特征？
C
O.
A
B
顶点在圆上
这样的角叫圆周角。
两边都与圆相交
探索：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
学以致用你能行
•1.如图,在⊙O中,若
∠BOC=50°,∠A= B
• 25° 。
C
●O A
2.如图，∠A是圆O的圆周角， ∠A=46°，则∠OBC= 44°。
3.如图，∠B=30°，∠C=20° ，则
∠A=
°
A
O
B
C
4、如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙O的半径是 2 。
。
内容小结：
(1)一个概念（圆周角）
(2)一个定理：圆周角定理
(3)二个推论 1.圆周角的度数等于它所对的弧度 数的一半。 2.圆内接四边形对角互补。
（4）两种思想方法：1. 由特殊到一般 2. 分类讨论
一半. 即 ∠ABC = 1 ∠AOC.
A C
A2
C
A C
●O
●O
●O
B
B B
• 思考：圆心角的度数等于它所对的弧的度 数，那么圆周角的度数和它所对的弧的度 数又是什么关系呢？
• 推论：圆周角的度数等于它所对的弧的度 数的一半。
下面的说法正确吗？说说你的看法
1、圆周角的度数是圆心角的一半 （ × ） 2、相等的圆周角所对的弧也相等 （ × ）
C
解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
O
A B
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
O
C
D
A B
变式：
5.若OA//BC, ∠C= 25°, 则 ∠ADB=_______
6.若∠C= 25°,点P在AB间滑动则 变式 ∠AOP的取值范围______
（1）、顶点在圆上的角叫圆周角。× （2）、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半√。
5、半径为R的圆中，有一弦分圆 周成1：4两部分，则弦所对的圆 周角的度数是 36º或14。4°
.
O
D
6 、如图，已知圆心角
O
∠AOB=100°，求圆周角
B
A
∠ACB=1_3_0__º_、∠ADB=5_0__º___
C
：
C
O
A
B
P
7.如图,OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ AOB=2∠ BOC，
∠ ACB与∠ BAC的大小有什么关系？为什么？
答：∠ACB=2∠BAC.理由是: ∵∠AOB=2∠ACB ∠BOC=2∠BAC
O
C
A
B
∠AOB=2∠BOC
∴∠ACB=2∠BAC
拓展延伸
圆内的一条弦将圆分成1：2两部分， 求这条弦所对的圆周角的度数。
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周 角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B. 即 ∠ABC =12∠AOC.
A C
●O
B
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
O
A
B
自学检测： D
1.求圆中角X的度数
C 120°
O
.O
C
.O
A
B
70° x
X B
A
C
A
B
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=_1_3_0。°
3、 如图，在直径为AB的半圆中，O为 圆心，C、D为半圆上的两点， ∠COD=500，则∠CAD=__2_5_º_____
自学检测：
4、判断
温故知新
1、请说说我们是如何给 圆心角下定义的？ 顶点在圆心的角叫圆心角。
2、在上图中，若弧AB的度数是85°， 则∠AOB是多少度？为什么？ 圆心角的度数等于它所对弧的度数。
探究
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C?观察 得到的∠ACB是个什么角呢？它与圆心角∠AOB有什么 关系呢？
C
A C D
∵ OA=OB，
∴ ∠A=∠ABO。
O
∴ ∠AOD=2∠ABD，
B
∴ ∠ABD= 1∠AOD。
2
同理 ,
1
∠CBD= ∠COD。
2
∴ ∠ABD－∠CBD= ∠1AOD－
= 1（∠AOD－∠COD）2。
1
∠COD
2
2 ∴ ∠ABC= 1∠AOC
圆周角定理
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
老师提示:能否转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD = 1 ∠AOD,∠CBD = 1
∠COD, 2
2
∴ ∠ABC = 1 ∠AOC.
2
A
D
C
●O
B
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
老师提示:能否也转化为1的情况?
A C
M
60°
O
A
B
120°
N
结论：圆内接四边形对角互补
A
O
D
B
如图，四边形ABCCD的四个顶点都在 ⊙O上，你能找出∠A和∠C、 ∠B和∠D的关 系吗？
A
O B
C
如图，∠BAD=70°，则 ∠BCD=_______
D
110°
M
O
A
C
B
如图，∠AOC=100°，∠ABC=1_3_0_°____
已知⊙O中弦AB等于半径，弦AB所 对的圆心角的度数为 6,0°圆周角 的度数为 30 °或 150。°