流模型

流模型
一、流模型的思想
网络流在具体问题中的应用，最关键的部分在与模型的构造。

对于调度领域中的不同问题，可以将其转化为网络流问题进行解决。

通讯网络中的数据的路径选择问题，是安排一些数据包由发点到收点的传输路径。

在传输网络中，数据包经过每一条边需要一单位时间，同时一条边每次仅允许一个数据包通过。

目标是极小化所有数据包传送到终点时间。

若该问题中，不同种类的数据包传输路径已经提前给出，那么，其类似于调度领域中的车间作业问题为:
满足如下约束：
1.工件之间不存在优先关系，一旦一个机器开始一个工件某
阶段的加工，在此次加工过程完成之前不能加工其他
工件。

2.每次每台机器只能加工一个工件，且加工过程不允许中断。

3.每个工件各阶段的加工过程必须按照事先给定的顺序在对
应的机器上进行加工。

目标函数为极小化最大完工时间。

因为在调度问题中有诸多限制条件没有完全一致的网络流模型，所以我们需要根据不同的问题构造相应的模型。

对应于此处的车间作业问题，因为工件种类的多样性，我们不仅要选择工件的类型，还要安排不同工件在同一台机器上的加工顺序。

对应于通讯网络中的数据
的路径选择问题，在数据包的传输过程中不仅要选择数据包的传输路径，还需要选择数据包的类型。

建好模型之后，根据其特点我们可以不仅仅拘泥于传统的解决调度问题的方法，可以与网络流问题中的方法结合，寻找速度更快、结果更好的解决方案。

二、 流模型的应用
我们以前面提到过的车间作业问题为例。

问题描述如下： 在J 台机器上安排I 种工件进行加工。

第i 种工件包含i J 个阶段，每
个阶段由一个特定机器进行加工，工件i 的完工时间为：属于工件类i 的工件最后一个加工阶段i J 完成的时刻。

(,)i j 代表工件i 在j 阶段的
工时，用,p i j 表示。

假设工件类i 的数目为i n 。

传统的车间作业问题每个工件类型仅包含一个工件，即初始工件类型向量为(1,1,...1)，是传统的NP -难问题，即使例子的规模很小也很难解。

文中首先考虑车间排序问题的松弛流控制问题，在这里我们将离散的工件用连续流进行替代，这种方法源自多级排队网络的最优控制，多级排队网络的最优控制是车间排序问题的一种随机、动态的形式。

其次，通过对排序问题线性规划松弛解的舍入，可以构造解决排序问题的近似算法。

这是找到解决该问题整体方案的两个重要指导思想。

应用流控制问题的最优解构造一个目标值为max C O +的可行的排序，如果适当增加初始给定的工件数量，算法的最优目标值为max (1)C O +。

类似的，对于通讯网络中的数据的路径选择问题提出
一个线性规划松弛,它提供了一个max C 下界，并用它的解得到一个目
标值为max C O +排序，注意到此目标值中(.)O 内的常数值与工件个数无关，仅与完工时间有关，这说明工件数量趋于无穷时目标值渐进最优。

与一般的渐近最优算法依赖于概率假设不同,上述算法没有概率的假设,该算法对所有工件数量大的实例是渐近最优的。

模型构造如下：
机器数量为J ，分别记其为12,,...,J σσσ。

工件类i 中的工件(1,2,...,)i I =，在i J 台机器上按照12,,...,i i
i i J J J σσσ的顺序进行加工。

记max max i i
J J =。

在机器i
k σ上加工工件类i 中的工件的工时记为,i k p （设該值为整数）。

已经在121,,...,i
i
i
k σσσ-完成加工，但没有在i
k σ上
进行加工且在该机器处等待加工的工件称其处于阶段k 的i 工件。

所有在机器i
k σ上等待加工的工件，称其为机器i
k σ上的非最初工件队
列。

我们也可以将每台机器视为其所加工的类型与阶段对的集合：{}(,):,1,1i
j j k i i k i I j J σσσ==≤≤≤≤，机器加工某种工件的时间
是确定的，所以机器j σ上加工时间,(,)j
j i k i i k C p n σ∈=
∑，记max max j J
C C =，显然最优目标值*max C C ≥。

记,,1/i k i k u p =为机器i
k σ正在加工工件类i 中的工件的概率。

记i x 为工件类i 中的初始工件数。

为了详细说明流控制问题，引入几个符号：
,()i k x t ;t 时刻处于阶段k 的i 类工件数。

,()i k T t ：[]0,t 时间段内，机器i
k σ加工处于阶段k 的i 工件的总时
间。

{}1A ;A 的指标方程。

极小化最大完成时间的流控制问题数学模型为：
,1,10min 1()i i k i I j J x t dt ∞
≤≤≤≤⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭
∑⎰（*） s.t. ,1,1,1()(),1,2,...,0,i i i i x t x u T t i I t =-=≥ （1） ,,1,1,,()()(),2,...,1,2,...,0,i k i k i k i k i k i x t u T t u T t k J i I t --=-==≥ （2） ,2,1212121(,)(()()),,,0,1,2,...,j i k i k i k T t T t t t t t t t j J σ∈-≤-∀-≥=∑（3）
,,()0,()0.i k i k x t T t ≥≥（4）
通过此模型，可以得到一个流控制问题的最优解，在此基础上构造了一个原始离散的车间排序问题的渐近最优算法-同步算法（the synchronization algorithm ）。

同步算法得到的目标值
为max C O +。

三、 流模型的已有成果
1. 车间作业排序的渐近最优算法。

类似的，对于通讯网络中的数据的路径选择问题给出一个线性规划松弛,它提供了原始问题的一个max C 下界，并可以得到流控制问题的最优解，应用这个
解构造一个目标值为max C O +的渐近最优算法，如果适当增加初始给定的工件数量，算法的最优目标值为max (1)C O +。

2. 由流松弛得到的极小化最大完工时间的车间作业排序问题的特殊算法。

通过将离散的工件用连续流进行替代，近似松弛流控制问题的最优解得到FSA 算法，FSA 算法得到的目标值为
max max max (2)C I P J ++，max C 为通过流松弛方法得到的下界，max P 为所有任务中的最大加工时间，max J 为所有工件中最大的加工阶段数，I 为工件类型的数量。

3. 由流松弛得到的极小化最大持有成本的高度多样性车间作业排序问题的特殊算法。

通过松弛将离散的工件用连续流进行替代，适当舍入流控制问题的最优解得到一个算法 。

该算法可以最优的解决流控制问题并能使得离散网络的排序接近流松弛得到的方案。

如果所有工件类中工件数量以N 为增长基数，相比最优解2()O N ，算法可以得到的解不超过2()()O N O N +。

4. //1k M E 排队系统的最优流控制。

通过两种经典方案, 即非合作最优化方案和合作最优化方案, 排队系统的最优流控制问题进行研究。

在这两种方案下，给出了最优流控制的解，并对解的性质进行分析。

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