第3章 刚体力学基础

解：分别对m1,m2,m分析运动、受力
N
Mf
R

因绳不伸长，有 a1= a2= a 因绳轻，有
m
Mf
a1 m1
mg
T1 m1g T2 m2 m2g
T1＇
T2＇
a2
T1＇ T1 0 T2＇ T2 0
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以加速度方向为正，可列出 对m1有： T1 - m1g = m1a 对m2有： m2g - T2= m2a 对m滑轮：以“ 方向” 为正 由转动方程
V
转动惯量的单位：千克· 米2（kg· m2） 注： 转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体的形状、 大小、质量分布以及转轴的位置有关。
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（1）由定义计算转动惯量
例 一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求通过盘中心并与盘 面垂直的轴的转动惯量。
r
dr
O r dm
解：选质元dm如图所示
dm 2 rdr
2）位矢与径向加速度方向反向： ri a in 0
ri
ain
ai
v r 3）位矢与切向的矢积方向总 ri ai ri ai ri2 是指向z轴方向：
10
M外z Miz ( mi ri ) ( mi ri )
2 2 i i i


i

ri
矢量关系
2 1 d dt d d 2 2 dt dt
i ri
ai ri
ain ri 2
ai ri ain i
6
i ri

§3-2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
3
2、转动
定轴转动 非定轴转动
定轴转动：转轴相对参考系静止；非定轴转动：转轴相对参 考系运动。
3、刚体的复杂运动：平动与转动的合成运动。
4
三、刚体的运动类型
刚体的运动 平动 升降机 活塞 非定轴转动 掷出的铁饼 时钟 转动 定轴转动 风车
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四、刚体定轴转动的描述
若转动轴固定不动，这种转动称为 定轴转动。这个转轴称为固定轴。 转动平面：垂直于固定轴的平面。 特征：所有质元角量相同；线量各 不相同，并正比于距轴的距离r。 角量 标量关系
1 1 Eki D mi vi2 D mi ri2 2 2 2
1 1 2 2 E k mi ri ( mi ri2 ) 2 2 i i 2
1 E k J 2 2
整个刚体的动能
注意比较 平动动能
1 2 E J 转动动能 k 2
1 E k mv 2 2
1 l 2 平行轴定理计算： J z J c md ml m 12 2
2
2
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四、定轴转动定律的应用
解题思路
(1) (2) (3) (4) 选物体 看运动 查受力（注意:画隔离体受力图） 列方程（注意:建立坐标）
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例 已知两物体m1，m2(m2m1)，滑轮m，R，可看成 质量均匀的圆盘，轴上的摩擦力矩为Mf，（设绳轻， 且不伸长,与滑轮无相对滑动)。求：物体的加速度及 绳中张力。
解：杆在倒下过程中机械能守恒
l 1 1 2 2 mg ( ml ) 2 2 3
a
a
c

3g l
mg
0
c
mg mg
c
a
c
v l 3l g an l 2 3 g
杆着地时刻，根据转动定律
a
mg
l 1 2 mg ml 2 3
3g 2l
3g a l 2
转动惯量的物理意义：反映刚体转动惯性的量度
思考：如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，若受 力和力矩一样，谁转动得快些呢？
MZ JZ
M一定时 J J
12
转动惯量的计算
单个质点 质点系 质量连续分布的物体
J mr 2
J m i ri2
i 1
m
n
J r 2dm r 2 dV
J

l 2 l 2
m m x dx x l 3l
2
l 3 2
l 2
1 J ml 2 12
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（2）平行轴定理计算
若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc，则刚 体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Jz是
J z J c md
1 2 J c mR 2
2
Jz
Jc
R
m
1 3 2 2 J z mR mR mR 2 2 2
力学基础篇 知识结构
三条主线: 静力学
（中学）
运动学
（第1章）
动力学
（第2、3章）
相对运动
（第1章第3节）
经典力学 时空观
（第4章第1节）
相对论
（第4章）
平动
（第1、2章）
转动
（第3章）
振动
（第5章）
波动
（第6章）
1
第三章 刚体力学基础
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 刚体 刚体定轴转动的描述 力矩 刚体定轴转动的转动定律 刚体定轴转动的动能定理 角动量定理和角动量守恒定律
(1) (2)
N Mf

1 2 T2 R T1 R M f J mR 2
再从运动学关系上有
(3)
T1＇
mg
T2＇
a a R
(4)
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联立四式解得：
a
(m2 m1 ) g M f / R m1 m2 m / 2
(2m2 m / 2)m1 g m1 M f / R m1 m2 m / 2 (2m1 m / 2)m2 g m2 M f / R m1 m2 m / 2
L rm sin C L r m C
F
F//
O [(r r// ) (F F// )] k [r F r// F r F// r// F// ] k
Mz ( r F ) k
2
§3-1 刚体 刚体定轴转动的描述
一、什么是刚体？
无论有无外力作用下形状与大小均不变的物体。
二、刚体的基本运动形式
平动与转动：任何复杂的运动为这两种运动的叠加。
1、平动：刚体上任一给定直线（或任意两质点间 的连线）在运动中空间方向始终不变而保持平行。
特点：各质元位移、速度、加速度均相同。 刚体质心的运动代表了刚体平动时各个质元的运动。
注意：作用力和反作用力对同一点的力矩之和为零：
f ij f ji
f ji
rj
O
rji
Biblioteka Baidu ri
f ij
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2.力对固定轴的力矩
把质点i对O点的力矩向过 O点的轴(如z轴)投影：
M
z
Mz
F
r//
r
Mz M k (r F ) k
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§3-4 角动量 角动量守恒定律
一、质点的角动量与角动量守恒定律
•质点作匀速圆周运动时
L r m C
L
o
r
m
•开普勒行星运动定律的面积定律
1 1 S r p1 p2 sin rt si n 2 2
S 1 r sin 常 数 t 2
M x y Fy z Fz
M y zFx xFz
Fx
Mz xFy yFx
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力对固定点的力矩为零的情况： v v v M Fr sin M r F
A） F 0
B）力的方向沿矢径的方向（ ） sin 0
F
有心力对力心的力矩为零
M i0 M j0 ri f ij rj f ji (rj ri ) f ji rji f ji 0
T1 m( g a )
T2 m( g a )
当不计滑轮质量和摩擦力矩时： m = 0, Mf = 0
m2 m1 a g m2 m1
2m1m2 T1 T2 g m1 m2
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§3-3 刚体定轴转动的动能定理
一、刚体的转动动能
将刚体视为质点系： i质点的动能
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二、力矩的功与功率 对于定轴转动，只需 考虑转动平面内的力
dWi Fi dri
z
d
dri i
Fi
Fi cos i | dri |
ri

Fi sini ri d
dWi M id 对i求和： dW Mi d ( Mi )d
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例 计算质量为m，长为l的细棒绕一端的转动惯量。 解：选质元dm如图所示
J r 2 dm
m dm dx dx O l 2 2 r x l 1m 3l 2 m J x dx x 0 0 l 3 l
2
dm x dx l
x
1 2 J ml 3
2
1 2 1 l 1 l 2 2 J ml ml m ml m 3 12 4 12 2
dW Md
W Md
1
2
注意：由于内力矩之和为零，故M为外力矩之和。
dW d M M 力矩的功率为： dt dt 注意：与功率的比较（ P F） P
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三、刚体定轴转动的动能定理：
W Md Jd
1 1 2 2
2 1
d J d dt

2
1
Jd
W
1 1 2 J 2 J12 2 2

2
1
1 Md ( J 2 ) 2
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚 体转动动能的增量。 ——刚体定轴转动时的动能定理
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四、机械能守恒定律
1、刚体的势能
EP mghc
m为刚体的总质量； hc为刚体质心的高度。
一、力矩 1、力对固定点的力矩
M Fr sin (N· m)
方向由右手螺旋法则确定。 在直角坐标系中的分量式：
M r F
M
o
r
F

m
M r F ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k ) ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k M xi M y j Mzk M x yFz zFy i j k
i i i v v 1）内力成对出现，合内力矩： ri fi 0 i
i
Fi f i Δm i a i
Mi
z
M iz
ri
Fi
mi
Fi // Fi
加速度： a i a i a in
i
Δm i ri a i Δmi ri ain
若令 J z (mi ri )
2 i
M外z J z
绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的 合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。 ——刚体定轴转动中的转动定律
注意：
（1）M和J均对于同一转轴而言； （2）此转动定律只适用于惯性系。
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三、转动惯量
J z i m i ri2
J r 2 dm 2 r 3 dr
J 2
R 0
R 1 r dr mR 2 2 2
4 3
14
例 计算质量为m，长为l的细棒绕质心转动惯量。
解：选质元dm如图所示 z o x
dm dx
J
r
2
dm
m dm dx dx l
x
r2 x2
2、机械能守恒定律
若dW外=0, dW内非=0 (或只有保守力作功) 系统机械能守恒，即
1 1 2 m J 2 mghc 恒量 2 2
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例 一匀均细杆长l，质量m，垂直放置，O点着地。杆绕过o的 光滑水平轴自由倒下，求杆的另一端点a着地时的角速度、 线速度v、法向加速度an及切向加速度 a 。
r
r//
F
M z F r sin
F//
力对固定轴的力矩为零的情况：
A)力的作用线与轴平行； B)力的作用线与轴相交。
r
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二、定轴转动定律
把刚体看作一个质点系
ri Fi ri f i Δ m i ri a i
(ri Fi ) (ri f i ) Δmi ri ai