第3章 刚体力学基础
第3章刚体力学基础

描述质点系转动的动力学方程
z
取惯性坐标系
dt
oxyz
刚体所受的对
转轴的力矩
x
o
M r F
定义:在垂直于转轴的平 面轴内的,距外离力dF的与乘力积线到转
y z轴为固定转轴
z
M
F
F F
r
垂直转轴的外力分量产生沿
d
转轴方向的力矩, 平行于转
轴的外力分量产生的力矩被
轴承支承力的力矩所抵消
一 、作用于定轴刚体的合外力矩
相对于定轴的合外力矩
(力对转轴的力矩)
M z M iz ri Fi sin i
i
i
即作用在各质元的 力矩的 z 分量之和
二、刚体定轴转动定理
由于刚体只能绕 z 轴转动, 引起转动的力矩只有z方向,
因此转动动力学方程
Mz
dLz dt
dL M
dt
Li
Ri
m
i
v
i
oo ri
mi vi
解:
z
J z mi ri2
i
m i
x
2 i
y
2 i
i
Jy Jx
x
o
yi
ri
m
x
i
i
y
例 均质圆盘:m, R . 求以直径为轴的转动惯量 解:
J 1 mR2 4
例3-6(P181) 挂钟摆锤的转动惯量
解:
o
m1 l
J
1 3
m1l 2
1 2
m2 R2
m2 l
R2
m2 R
例 计算钟摆的转动惯量。(已知:摆锤质量为m,半 径为r,摆杆质量也为m,长度为2r)
第3章例题_刚体力学基础

第7页 共9页
刚体力学基础
解 (1)选小球和棒作为系统 碰撞瞬间角动量守恒
mv0l mvl J
弹性碰撞, 系统碰撞前后动能不变
1 2 1 1 2 mv0 mv J 2 2 2 2
机械能守恒 解得
1 l l 2 J Mg ( cos 60) 2 2 2
3 30 30 1 v0 m s ,v m s 1 4 4
2
第5页 共9页
刚体力学基础
例3-6 有一根长为 l , 质量为m 的均匀细直棒, 棒可绕上端光 滑水平轴在竖直平面内转动. 最初棒静止在水平位置, 求它 由此下摆θ 角时的角速度。
解 选细棒和地球作为系统,机械能守恒
1 1 1 2 Ek J ml 2 2 2 2 3
l E p mghc mg sin 2
第1页 共9页
3g sin l
刚体力学基础
例3-2 质量均为m 的两物体A 和B , A 放在倾角为α 的光滑斜 面上, 通过滑轮由不可伸长的轻绳与B 相连. 定滑轮是半径 为R 的圆盘, 其质量也为m . 物体运动时, 绳与滑轮无相对滑 动. 求绳中张力FT1 和FT2 及物体的加速度a(设轮轴光滑,滑 1 轮转动惯量为 J mR 2
2
' F 解 T 1 mgsin maA mg FT' 2 maB M FT 2 R FT 1R J a A aB R
FT'1 FT1 , FT' 2 FT 2
第2页 共9页
2 3 sin FT 1 mg 5 3 2sin FT 2 mg 5 2(1 sin )
J R dm R
2 2
第三章-刚体力学基础

薄板对Z轴的转动惯量 J Z =
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例1、一个质量为M、半径为R的定
滑轮(当作均匀圆盘)上面绕有细绳, 绳的一端固定在滑轮边上,另一端挂
分析: 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
(飞轮做匀减速转动)
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置:
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
(用机械能守恒定律解) 假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置,求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。(分别用动能定理和机械能守
恒定律求解)
解: (用动能定理解)
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos(M
O
大学物理第三章刚体力学基础习题答案

方向竖直向下
3-15 由角动量守恒得
mul J mvl 1 1 2 1 2 2 mu m v J 因弹性碰撞,系统机械能守恒: 2 2 2 1 1 2 2 又: J M 2l Ml 12 3 6mu M 3m u 联立可得: v M 3m l M 3m
2 2 2 1 mv l [m( l ) M l 2 ] 3 3 3
o
2 l 3
6mv (4m 3M ) l
v
m
A
3-9 电风扇在开启电源后,经过t1时间到达了额定 转速,此时相应的角速度为 0。当关闭电源后,经 过t2时间风扇停转。已知风扇转子的转动惯量为 J, 并假定摩擦力矩和电机的电磁力矩均为常量,试根据 已知量推算电机的电磁力矩。 解: 设电机的电磁力矩为M,摩擦力矩为Mf
1
0
t1
3-9 (1)
mg T ma
T mg sin 30 ma
g 2 a m/s 4
方向竖直向下
T2 N 2
mg
(2)
mg T1 ma
T2 mg sin 300 ma
T1r T2r J
a r
T1
1
mg
J k m r2
g 联立求解得: a 22 k
质点运动 m 质 量 力 F 刚体定轴转动 2 J r 转动惯量 m dm 力矩 M Fr sin
dp dL F m a F 第二定律 转动定律 M J M dt dt p mv 动 量 角动量 L J t t2 动量定理 t Fdt mv2 mv1 角动量定理 t Mdt J 2 J1 1 动量守恒 F 0, mv 恒矢量 角动量守恒 M 0, J 恒矢量 力矩的功 W Md 力 的 功 W F dr
刚体力学基础PPT课件

转动:分定轴转动和非定轴转动 刚体的平面运动
5
二、刚体定轴转动的描述
1.刚体定轴转动的特点 轴上各点都保持不动,轴外各点在同一时间间隔内转过的角度一样。
以某转动平面与转轴的交点为原点,转动平面上所有质元都绕着这个 原点作圆周运动。
2.描述 可类似地定义绕定轴转动的刚体的:
*角位置 (t)
i
ri
z
切向加速度 法向加速度
ai ri
ani ri 2
ri
vi
§3-2 定轴转动刚体的转动惯量
一、刚体定轴转动定律
(1)单个质点m
与转轴刚性连接
Ft mat mr
M rF sinθ
z
M
Ft
F
O
r
m
Fn
M rFt mr 2 M mr2
一、刚体运动分类
2.转动 如果刚体上的所有质元都绕某同一直线作圆周运动,这种运动就称之为转动,
这条直线称为转轴。
A
A
分为定轴转动和非定轴转动
*非定轴转动 若转轴方向或位置变化,这种转动称为非定轴转动
A
A
* 定轴转动 若转动轴固定不动,这种转动称为定轴转动. 这个转
轴称为固定轴,
转动平面:垂直于固定轴的平面
内力(F质i2j 量)元刚受体外力Fej ,
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
z
O rj
Fej
m j
Fij
Mej Mij mjrj2
j
j
Mij M ji Mij 0
j
刚体力学基础第三章

二、转动惯量J
对分立的质点系: J miri2
i
对刚体: 质量是连续分布
J r2dm
r 2dl 线分布,为线密度
J r 2ds 面分布,为面密度 r 2 dV 体分布,为体密度
z
dm
r
讨论
J r2dm
(1)转动惯量的物理意义:J表示刚体转动时惯性的大小
(2)转动惯量J的大小决定于
r 3dr
1 2
mR2
m
R 2
J
常 见 刚 体 的 转 动 惯 量
§3 刚体定轴转动定律
一、 力矩
使物体转动,必须给定一 个作用力,另外考虑转动与力 的作用点以及作用力的方向有 关,因此在研究物体转动中引
入力矩这一物理量。 (1)若刚体所受力 F在转动平面内
z
Od r
F
F
P
力臂:rsin = d 表示转轴到力作用线的垂直距离。
m
2(2
m
1
+
m
2
m 1+m 2
+
m
2
)g
T1
a m1 m1g T2 a m2 m2g
§4 力矩的功 动能定理
一、力矩的功
刚体在合外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时
d,A则力F矩 d对r刚体F作d了r功co。s F cos(900 )ds
F sin rd
Md
z
O d
dr
F
r P
元功:力矩对质点(或刚体)所作的 元功等于力矩和角位移的乘积
盘)。如A下降,B与水平桌面间的滑动摩擦系数为μ,
绳与滑轮之间无相对滑动,试求系统的加速度及绳中的
张力FT1和FT2。 受力分析 FT1
理论力学周衍柏第三章

(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程,可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1)汇交力系(力的作用线汇交于一点):取汇交点为 简化中心,则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶:等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
面向新世纪课程教材大学物理大作业答案——刚体力学作业

L2
−
L1
=
J 2ω2
−
J1ω1
质点的动量定理
dpr
=
r F
⋅
dt
∫ r
I
=
tr F ⋅ dt =
t0
pr − pr0 = mvr − mvr0
三、刚体的角动量守恒定律
1. 角动量守恒定律
∫ 由角动量定理
r M
当
r M外
=
0
时,
外
d
t r
ΔL
= =
Δ 0
r L
r L
=
恒矢量
P.6
1
区分两类冲击摆
(1)
大作业题解
刚体力学
第3章 刚体力学基础
一、对转轴的力矩
r M
=
rr
×
r F
单位:N·m
r M
=
rr
×
r F⊥
r M
=
rr
×
r F
大小: 方向:
M = Frsinϕ
rr
→
r F
右旋前进方向
二、定轴转动定律
M z = Jβ
P.2
转动惯量(moment of inertia)
∑ 1. 定义 J = iri2mi 单位: kg ⋅ m 2
l/4 O
[ A]
mg l = 1 Jω 2 J = 7 ml 2
22
48
⇒ ω = 4 3g 7l
P.11
9.如图所示,一人造卫星到地球中心C的最大距离和
最小距离分别为RA和RB。设人造卫星对应的角动量分
别为LA和LB,动能分别为EkA和EkB,则有
(A) LB > LA,EkB > EkA
8 刚体角动量定理 角动量守恒定律

m
p
质点对某参考点的角动量大 小反映其绕参考点旋转运动的 强弱. 2.4.3 质点的角动量定理 对圆周运动的质点 d M J J dt dJ dL M dt dt
P.7/34
大小:
L rmv sin
p
o
方向: 满足右手螺旋
r
质点绕参考点 作圆周运动
i
O
ri
vi
mi
J
P.10/34
第3章 刚体力学基础
2. 刚体定轴转动的角动量定理 刚体对z轴的总角动量
t2
t1
M z dt L2 L1 J 2 2 J11
Lz J
d d Lz M z J J dt dt
t
t0
M dt
称为冲量矩 又称角冲量
t2
t1
M z dt L2 L1 J 2 J1
3.2.4 定轴转动角动量守恒定律 刚体定轴转动的角动量守恒 定律: 刚体所受合外力矩为零, 则刚体的角动量保持不变.
刚体定轴转动的角动量定理: 在一段时间内, 刚体所受合外力 矩的冲量矩等于该时间内刚体 角动量的增量.
L J 恒矢量
M
定义: 力F 对参考点O 的力矩 M 的大小等于此力和力臂(从 参考点到力的作用线的垂直距 离)的乘积.
M1 M 2 M n
ri Fi r1 F1 r2 F2 rn Fn
M Fr Fr sin M rF
M z F r sin
第3章 刚体力学基础
转动定律
刚体力学基础

1).形状、大小相同时, m↑→J↑(决定于m); 2).m相同, m分布离轴越远,J越大(决定于m的分布); 3).同一刚体,转轴不同,J不同,(决定于转轴的位置).
3.计算
1).质量不连续分布 J= miri2 i
m1
r2
r1
其中ri为Δmi到转轴的垂直距离
J m1r12 m2r22 m3r32
4.均匀细棒可绕棒一端的垂直于棒的水平轴无摩擦转
动.若细棒竖直悬挂,现有一弹性小球水平飞来与细棒
发生完全非弹性碰撞,在碰撞过程中球、棒组成的系
统的动量是否守恒?对转轴的角动量是否守恒?机械能
是否守恒?
动量不守恒,角动量守恒,机械能不守恒.
质点与刚体碰撞组成的系统一般 情况下动量不守恒,而角动量守恒.
1.刚体角动量定理 M J J d
dt
M J J d
dt
2
Mdt Jd J2 J1
1
刚体所受合外力的冲量矩等于其角动量的增量
2.刚体角动量守恒定律
条件:M 0, J 常量
刚体所受合外力矩为零,则其角动量守恒.
注意:1).L=Jω=常量, J、ω可变但乘积不变;
2).M、L、ω均对同一转轴, M为合外力矩;
a1 a2 a
a R
J 1 m R2
2
a1
a2
a
(m2 m1 )g
m1
m2
1 2
m
T1
m1
2m2g m1 m2
1 2
mg 1m 2
T2
m2
2m1g m1 m2
1 mg 2 1m
2
注意:1.涉及滑轮转动,滑轮两端绳的张力不相等T1≠T2; 2.绳与滑轮无相对滑动, a=R α
第3章 刚体力学基础

1 1 mi vi2 mi ri 2 2 2 2 n 1 1 n 1 2 2 2 2 刚体的动能: Ek mi ri ( mi ri ) J 2 2 i 1 2 i 1 2
1 E k J 2 2
刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯 量与角速度平方乘积的一半。
1
d J d dt
W
2
1
1 1 2 Jd J2 J12 2 2
1 2 Md ( J ) 2
2
1
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动 动能的增量。这就是刚体定轴转动时的动能定理。
-------------------------------------------------------------------------------
当输出功率一定时 ,力矩与角速度成反比。 ------------------------------------------
3. 刚体定轴转动的动能定理:
W M d
1 2
Jd
1
2
2
2
-------------------------------------------------------------------------------
L=rm=mr2
2.定轴转动的角动量守恒 若
M
iz
0
则 L=J = 恒量
外力对某轴的力矩之和为零,则该物 体对同一轴的角动量守恒.
装置反向转动的双旋翼产 生反向角动量而相互抵消
-------------------------------------------------------------------------------
第3章 刚体力学基础

刚体力学的基础知识包括刚体绕定轴转 动的动力学方程和动能定理,刚体绕定轴 转动的角动量定理及角动量守恒定律
-------------------------------------------------------------------------------
§3-1 刚体 刚体定轴转动的描述
dt
当输---出----功----率-----一----定----时----,-力----矩-----与----角----速----度-----成----反----比----。------------
3. 刚体定轴转动的动能定理:
W
2 1
Md
2 1
Jd
2 1
J d d
dt
W
2 1
Jd
第3章 刚体力学基础
§3.1 刚体 刚体定轴转动的描述 §3.2 刚体定轴转动的转动定律 §3.3 刚体定轴转动的动能定理 §3.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量 守恒定律
-------------------------------------------------------------------------------
➢刚体上各质元的角量(即角位移、角速度、角加速度) 相同,而各质元的线量(即线位移、线速度、线加速度) 大小与质元到转轴的距离成正比 。
-------------------------------------------------------------------------------
§3-2 刚体定轴转动的转动定律
对滑轮 , 由转动定律
T2R T1R J ④
由于绳不可伸长
aA aB R
⑤
J 1 mR2
刚体力学基础讲解

2
R1
M1 M2
R2
T2
m1g T1 m1a1 T2 m2 g m2a2
T1R1 T2 R2 J
T1 mm1
m2 M2 g
J
1 2
M1R12
1 2
M 2R22
a1 R1
m1g
a2 R2
P.19/34
第3章 刚体力学基础
例3-6. 一质量为m,长为l 的均质
乘积定义为对转轴的力矩.
M r F
单位:N·m
M
r
F
大小: M Fr sin 方向: 右手螺旋
力矩的方向由右螺旋法则确定 3.2.2 定轴转动定律 转动惯量 1. 定轴转动定律 转动惯量
P.8/34
3.2.2 定轴转动定律 转动惯量 1. 定轴转动定律 转动惯量 把刚体看作一个特殊质点系
M
R
T1 Mg T2 mm1 m
m1g 2 m2g
m2 g T2 m2a T1 m1g m1a
T2 R T1R J
J 1 MR2 2
a R
N1
m1
T1
N2 MR
m1g
T2
Mg
m2
m2g
第3章 刚体力学基础
m2 g T2 m2a T1 m1a
T2R T1R J
定轴转动:转轴固定不动的 转动.
A
A
B
A
B
B
3.平面平行运动(plane-parallel
motion) 刚体在运动过程中,其上每
一点都在与某固定平面相平行 的平面内运动.自由度为3.
第三章 刚体力学基础

m1
r1
r2
m2
若质量连续分布
质量为线分布
J r dm
2
质量为面分布
质量为体分布
dm dl
为质量的线密度
dm ds
为质量的面密度
dm dV
为质量的体密度
线分布
面分布
体分布
注 意
只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体,才 用积分计算其转动惯量,一般刚体则用实验求其转动惯量。
0 x
d 角速度 dt 2 d d 角加速度 2 dt dt 由于这时组成刚体的各质点均在各自的转动平面内绕轴作圆周 运动,因此前面关于质点圆周运动的全套描述方法,此处全部 可用。
d
2) 刚体定轴转动角量与线量的关系 所有质点的角量都相同 ; 质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比 。
2
物理意义:转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度,其大小 反映了改变刚体转动状态的难易程度。
2. 与转动惯量有关的因素 ①刚体的质量及其分布; ②转轴的位置; ③刚体的形状。 3. 转动惯量的计算 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质 点的质量与这一质点到转轴的距离平方的 乘积之和。 质量离散分布的刚体
ri
0
f ji
rj
rij
f ij
二、刚体定轴转动的转动定律
如右图所示:刚体绕定轴z转动,在 刚体上任取一质元mi ,它绕z轴作 圆周运动,取自然坐标系 对mi 用牛顿第二定律:
z
fi
Or i
Fi
i
mi
i
Fi f i mi ai
cos i f i cos i ) mi ain mi ri 2
第三章 刚体力学基础 课后作业

第三章 刚体力学基础 课后作业班级 姓名 学号一、选择题1、一个质点作简谐振动,振幅为A ,在起始时刻质点的位移为2A , 且向x 轴正方向移动,代表此简谐振动的旋转矢量为( )1、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上:(1) 这两个力都平行于轴作用时,它们对轴的合力矩一定是零;(2) 这两个力都垂直于轴作用时,它们对轴的合力矩可能是零;(3) 当这两个力的合力为零时,它们对轴的合力矩也一定是零;(4) 当这两个力对轴的合力矩为零时,它们的合力也一定是零.对上述说法下述判断正确的是( )(A ) 只有(1)是正确的 (B )(1)、(2)正确,(3)、(4)错误(C ) (1)、(2)、(3)都正确,(4)错误 (D )(1)、(2)、(3)、(4)都正确2、关于力矩有以下几种说法:(1) 对某个定轴转动刚体而言,内力矩不会改变刚体的角加速度;(2) 一对作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零;(3) 质量相等,形状和大小不同的两个刚体,在相同力矩的作用下,它们的运动状态一定相同.对上述说法下述判断正确的是( )(A ) 只有(2)是正确的 (B ) (1)、(2)是正确的(C )(2)、(3)是正确的 (D ) (1)、(2)、(3)都是正确的3、均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动,如图所示,今使棒从水平位置由静止开始自由下落,在棒摆到竖直位置的过程中,下述说法正确的是( )(A ) 角速度从小到大,角加速度不变(B ) 角速度从小到大,角加速度从小到大(C ) 角速度从小到大,角加速度从大到小(D ) 角速度不变,角加速度为零4、 一圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的水平轴转动,轴间摩擦不计.如图射来两个质量相同,速度大小相同,方向相反并在一条直线上的子弹,它们同时射入圆盘并且留在盘内,则子弹射入后的瞬间,圆盘和子弹系统的角动量L以及圆盘的角速度ω的变化情况为( ) (A) L 不变,ω增大 (B) 两者均不变(C) L不变,ω减小 (D) 两者均不确定5、假设卫星环绕地球中心作椭圆运动,则在运动过程中,卫星对地球中心的( )(A) 角动量守恒,动能守恒 (B) 角动量守恒,机械能守恒(C) 角动量不守恒,机械能守恒 (D) 角动量不守恒,动量也不守恒(E) 角动量守恒,动量也守恒二、填空题1、有甲、乙两个飞轮,甲是木制的,周围镶上铁制的轮缘。
第3章 刚体力学基础

分析细杆滑动前以 点为轴在重力矩作用下转动,细杆质心做以 点为圆心的圆周运动,根据转动定律及质心运动定律即可求出 点摩擦力 与 角关系,细杆开始滑动的临界条件为 。
(1)
(2)
式中 为圆环对 轴的转动惯量,圆环绕过中心且垂直环面的轴的转动量为 ,根据垂直轴定理
(3)
由(1)~(3)式解得
(4)
(5)
取小珠、环及地球为系统,在小珠下落过程中,外力做功为零,系统中又无非保守内力做功,所以系统的机械能守恒。设小珠落至 、 处时,相对于环的速度分别为 、 ,则有
解无滑动时,杆绕过 点的固定轴做定轴转动,由转动定律有
(1)
由平行轴定理求细杆绕 点转动时的转动惯量
(2)
无滑动时,杆绕 点转动,杆上各点做圆周运动,对质心 ,由牛顿运动定律得
(3)
(4)
杆绕 点转动,只有重力作功,机械能守恒,有
得
(5)
将式(5)代入式(3),并利用式(2),得
(6)
将式(1)代入式(4),并利用式(2),得
分析滑块与细杆碰撞角动量守恒,由此求细杆转动的 ,此后,细杆受摩擦力矩作用转速逐渐减为零,由摩擦力矩,根据角动量定理即可求出时间 。
解(1)以杆和滑块为研究系统。由于碰撞时间极短,杆所受到的摩擦力矩远小于滑块的冲力矩,故可认为合外力矩为零,因此系统的角动量守恒,即
(1)
解得
(2)碰后杆在转动过程中所受的摩擦力矩为
第3章 刚体力学基础
一、目的与要求
1.确切理解描述刚体平动和定轴转动的基本物理定义及性质,并掌握角量与线量的关系。
刚体力学(单行基础篇)

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
所以,需要俩个独立变量描述直线位置。 刚体绕 OA 转动的角度:需要一个变量。 因此,刚体的一般运动需要六个独立变量。
二、刚体运动分类(详见力学基础相关章节)
1、刚体的平动 : 如果刚体在运动过程中,其上任一条直线始终与它的最初位置平行,这种运动称为刚体 的平行移动.独立变量为 3,可用其中任一点的坐标 x、y、z 描述 当刚体平行移动时,其上各点的轨迹形状相同;在同一瞬时,各点的速度、 加速度也分别相 同.刚体的平动可以归结为研究刚体内一点的运动. 2、定轴转动 刚体在运动过程中,其中只有一条直线保持不动, 则这种运动称为刚体绕定轴的转动,简称 转动. 这条不动的直线,称为刚体的转轴,简称轴. 独立变量为 1,用对轴的转角φ描述 3、平面平行运动 在刚体运动的过程中,刚体上的任一点始终在平行于某一固定平面的内运动。 独立变量为 3,用基点的坐标(xo,yo)及其对垂直平面过基点的轴的转角φ描述。 刚体做平面平行运动时, 刚体上垂直于固定平面的任一直线永远与固定平面垂直, 因此其上 各点的运动情况完全相同. 刚体的运动可以用一个平行于固定平面的截面在其自身平面内的运动来代表. 4、定点转动 刚体运动时, 只有一点固定不变, 整个刚体围绕着泰国这点的某一瞬时轴线转动。 独 立变量为 3,用描述轴的方向的两个角和轴线的转角描述。 5、一般运动 刚体运动时不受任何约束。 有六个独立变量
第三章 §3.1
刚体力学 刚体运动的分析
一、描述刚体位置的独立变量
1、刚体的概念 刚体是指在任何情况下形状、大小都不发生变化的力学体系,它是一种理想物理模型, 只要一个物体中任意两点的距离不因受力而改变,它就可以称为刚体。 2、确定刚体在空间的位置 能完全确定刚体位置的,彼此独立的变量个数叫刚体的自由度。 对于刚体中的任一点,需用三个独立坐标变量。 过 O 点的任一直线位置的确定,需要三个变量——方位角:α,β,γ。而
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r
r//
F
M z F r sin
F//
力对固定轴的力矩为零的情况:
A)力的作用线与轴平行; B)力的作用线与轴相交。
r
9
二、定轴转动定律
把刚体看作一个质点系
ri Fi ri f i Δ m i ri a i
(ri Fi ) (ri f i ) Δmi ri ai
转动惯量的物理意义:反映刚体转动惯性的量度
思考:如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒,若受 力和力矩一样,谁转动得快些呢?
MZ JZ
M一定时 J J
12
转动惯量的计算
单个质点 质点系 质量连续分布的物体
J mr 2
J m i ri2
i 1
m
n
J r 2dm r 2 dV
一、力矩 1、力对固定点的力矩
M Fr sin (N· m)
方向由右手螺旋法则确定。 在直角坐标系中的分量式:
M r F
M
o
r
F
m
M r F ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k ) ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k M xi M y j Mzk M x yFz zFy i j k
2
§3-1 刚体 刚体定轴转动的描述
一、什么是刚体?
无论有无外力作用下形状与大小均不变的物体。
二、刚体的基本运动形式
平动与转动:任何复杂的运动为这两种运动的叠加。
1、平动:刚体上任一给定直线(或任意两质点间 的连线)在运动中空间方向始终不变而保持平行。
特点:各质元位移、速度、加速度均相同。 刚体质心的运动代表了刚体平动时各个质元的运动。
1 1 Eki D mi vi2 D mi ri2 2 2 2
1 1 2 2 E k mi ri ( mi ri2 ) 2 2 i i 2
1 E k J 2 2
整个刚体的动能
注意比较 平动动能
1 2 E J 转动动能 k 2
1 E k mv 2 2
注意:作用力和反作用力对同一点的力矩之和为零:
f ij f ji
f ji
rj
O
rji
ri
f ij
8
2.力对固定轴的力矩
把质点i对O点的力矩向过 O点的轴(如z轴)投影:
M
z
Mz
F
r//
r
Mz M k (r F ) k
1 l 2 平行轴定理计算: J z J c md ml m 12 2
2
2
17
四、定轴转动定律的应用
解题思路
(1) (2) (3) (4) 选物体 看运动 查受力(注意:画隔离体受力图) 列方程(注意:建立坐标)
18
例 已知两物体m1,m2(m2m1),滑轮m,R,可看成 质量均匀的圆盘,轴上的摩擦力矩为Mf,(设绳轻, 且不伸长,与滑轮无相对滑动)。求:物体的加速度及 绳中张力。
dW Md
W Md
1
2
注意:由于内力矩之和为零,故M为外力矩之和。
dW d M M 力矩的功率为: dt dt 注意:与功率的比较( P F) P
23
三、刚体定轴转动的动能定理:
W Md Jd
1 1 2 2
2 1
3
2、转动
定轴转动 非定轴转动
定轴转动:转轴相对参考系静止;非定轴转动:转轴相对参 考系运动。
3、刚体的复杂运动:平动与转动的合成运动。
4
三、刚体的运动类型
刚体的运动 平动 升降机 活塞 非定轴转动 掷出的铁饼 时钟 转动 定轴转动 风车
5
四、刚体定轴转动的描述
若转动轴固定不动,这种转动称为 定轴转动。这个转轴称为固定轴。 转动平面:垂直于固定轴的平面。 特征:所有质元角量相同;线量各 不相同,并正比于距轴的距离r。 角量 标量关系
V
转动惯量的单位:千克· 米2(kg· m2) 注: 转动惯量仅取决于刚体本身的性质,即与刚体的形状、 大小、质量分布以及转轴的位置有关。
13
(1)由定义计算转动惯量
例 一质量为m,半径为R的均匀圆盘,求通过盘中心并与盘 面垂直的轴的转动惯量。
r
dr
O r dm
解:选质元dm如图所示
dm 2 rdr
d J d dt
2
1
Jd
W
1 1 2 J 2 J12 2 2
2
1
1 Md ( J 2 ) 2
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚 体转动动能的增量。 ——刚体定轴转动时的动能定理
24
四、机械能守恒定律
1、刚体的势能
EP mghc
m为刚体的总质量; hc为刚体质心的高度。
解:分别对,m2,m分析运动、受力
N
Mf
R
因绳不伸长,有 a1= a2= a 因绳轻,有
m
Mf
a1 m1
mg
T1 m1g T2 m2 m2g
T1'
T2'
a2
T1' T1 0 T2' T2 0
19
以加速度方向为正,可列出 对m1有: T1 - m1g = m1a 对m2有: m2g - T2= m2a 对m滑轮:以“ 方向” 为正 由转动方程
i i i v v 1)内力成对出现,合内力矩: ri fi 0 i
i
Fi f i Δm i a i
Mi
z
M iz
ri
Fi
mi
Fi // Fi
加速度: a i a i a in
i
Δm i ri a i Δmi ri ain
T1 m( g a )
T2 m( g a )
当不计滑轮质量和摩擦力矩时: m = 0, Mf = 0
m2 m1 a g m2 m1
2m1m2 T1 T2 g m1 m2
21
§3-3 刚体定轴转动的动能定理
一、刚体的转动动能
将刚体视为质点系: i质点的动能
M x y Fy z Fz
M y zFx xFz
Fx
Mz xFy yFx
7
力对固定点的力矩为零的情况: v v v M Fr sin M r F
A) F 0
B)力的方向沿矢径的方向( ) sin 0
F
有心力对力心的力矩为零
M i0 M j0 ri f ij rj f ji (rj ri ) f ji rji f ji 0
22
二、力矩的功与功率 对于定轴转动,只需 考虑转动平面内的力
dWi Fi dri
z
d
dri i
Fi
Fi cos i | dri |
ri
Fi sini ri d
dWi M id 对i求和: dW Mi d ( Mi )d
2)位矢与径向加速度方向反向: ri a in 0
ri
ain
ai
v r 3)位矢与切向的矢积方向总 ri ai ri ai ri2 是指向z轴方向:
10
M外z Miz ( mi ri ) ( mi ri )
2 2 i i i
(1) (2)
N Mf
1 2 T2 R T1 R M f J mR 2
再从运动学关系上有
(3)
T1'
mg
T2'
a a R
(4)
20
联立四式解得:
a
(m2 m1 ) g M f / R m1 m2 m / 2
(2m2 m / 2)m1 g m1 M f / R m1 m2 m / 2 (2m1 m / 2)m2 g m2 M f / R m1 m2 m / 2
解:杆在倒下过程中机械能守恒
l 1 1 2 2 mg ( ml ) 2 2 3
a
a
c
3g l
mg
0
c
mg mg
c
a
c
v l 3l g an l 2 3 g
杆着地时刻,根据转动定律
a
mg
l 1 2 mg ml 2 3
3g 2l
3g a l 2
J r 2 dm 2 r 3 dr
J 2
R 0
R 1 r dr mR 2 2 2
4 3
14
例 计算质量为m,长为l的细棒绕质心转动惯量。
解:选质元dm如图所示 z o x
dm dx
J
r
2
dm
m dm dx dx l
x
r2 x2
若令 J z (mi ri )
2 i
M外z J z
绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的 合外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比。 ——刚体定轴转动中的转动定律
注意:
(1)M和J均对于同一转轴而言; (2)此转动定律只适用于惯性系。
11
三、转动惯量
J z i m i ri2
26
§3-4 角动量 角动量守恒定律