华师大高数二重积分2

第二节
第九章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
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一、利用直角坐标计算二重积分
先从曲顶柱体体积开始.
y y2(x) z z f (x, y)
设曲顶柱体的底为x 型区域：
y
D (x, y)
y1 ( x) a
y x
y2 ( x) b
D f (r cos , r sin ) r d r d
2π
r( )
0
d 0
f (r cos ,r sin ) r d r
D
O
x
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此时若 f ≡1 则可求得D 的面积
d 1 2π r2( )d
D
20
r r( )
D
O
x
如果 D为 r - 型区域
D
:
1
(r) r1
r
2
r2
(r)
k k k
及射线 =常数, 分划区域D 为
k (k 1, 2, , n)
O
r
rk x
k
则除包含边界点的小区域外, 小区域的面积
k
1 2
(rk
rk )2 k
1 2
rk
2
k
rk k
rk rk k
在 k 内取点(rk ,k ), 对应有
k O
rk
rk
k rk cosk , k rk sink
(2) 在 D上 雅可比行列式 J (u, v) (x, y) 0; (u, v)
y D
定(积3)分变换换元T法: D D是一一对应的 , O
x
则
D
f
b
(xa, fy()xd)xddxy
f [f (tx)(]u,v(t)), dy(tu,(vx))J(u(t,)v))
D
dudv
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v
Ou
D
ev
1 2
d
u
d
v
e e1
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例9. 试计算椭球体
的体积V.
解:
取D
:
x2 a2
y2 b2
1,
由对称性
2c
D
1
x2 a2
y2 b2
d
xd
y
令 x a r cos , y b r sin , 则D 的原象为
D : r 1, 0 2 π
J
(x, y)
( r, )
a cos b sin
ex2d x π
0
2
(1)
事实上,
又
π
故(1)式成立 .
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例9. 求球体 x2 y2 z2 a2 被圆柱面 x2 y2 ax
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 设 D : 0 r a cos , 0 π
z
由对称性可知
2
V 4 a2 r2 r d r d D
D (x, y) x1( y) x x2( y), c y d
则其体积可按如下两次积分计算 y
V D f (x, y) d
d
[
x2 ( y) f (x, y) dx ]d y
c
x1( y)
记 作
d
x x1( y)
y c O
x x2 ( y)
x
这样就将二重积分的计算转化为二个定积分的计算. 后者称为二次积分，或累次积分.
yx
例8. 计算 e yxd x d y , 其中D 是 x 轴 y 轴和直线
所围成的闭域.
解: 令 u y x , v y x,则
x v u , y v u (D D)
2
2
y
x y 2
D
O
x
v v2
J (x, y) (u, v)
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
u
u
v
D u
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注: (1) 若积分区域既是 x 型区域又是 y 型区域 ,
则有 D f (x, y) dx dy
b
dx
y2 (x) f (x, y) d y
a
y1( x)
d
dy
x2( y) f (x, y)dx
c
x1( y)
y d
y y2(x)
x
y
c
x1(
y) y
x
D
y1 ( x)
x2( y)
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因此，当 f (x, y) 0 且在 D上连续时, y y y2(x)
D为 x 型区域
D
D
:
y1
(
x) a
y x
y2 b
(
x)
x O a y y1(x)b x
有
f (x, y)dx dy D
b
dx
a
y2 (x) f (x, y) d y
y1( x)
y
D为y 型区域
D
2
x2
22
8 x 2
I
0
d
x 2 0
f (x, y)dy 2
dx0
f (x, y)dy
解: 积分域由两部分组成:
y
D1
:
0
y
1 2
0 x
x2 2
,
D2
:
0
y
8 x2
2x2 2
将 D D1 D2 视为 y 型区域 , 则
x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D1 D2
O 22 2 x
D
:
3
dy
y
O
(x2 y2)d x
1
y 1
1
D
3 x3
1
3
xy
2
y
dy
y1
3
(2
y2
y
1)
d
y
1
3
7 13 19 62 3
14
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若把区域 D看成 x 型区域，则要把 D 分成三个区域：
D1 (x, y) |1 y 1 x,0 x 1，
y=1+x
D2 (x, y) | x y 1 x,1 x 2，
1
dy
y x2e y2 d x 1
1 y3e y2 d y
D
0
0
30
1 1 y2e y2 d y2 1 1 y2 d e y2
60
60
1 y2 ey2 1 1 ey2 1 1 1
6
0 6 0 6 3e
无法计算！
若将 D看作 x 型区域，将会是什么情况？
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例6. 交换下列积分顺序
r r2( )
D
:
r1( )
r
r2 (
)
,
则
D f (r cos , r sin )r d r d
D
O
r r1( )
x
d
r2( ) f (r cos , r sin )r d r
r1( )
特别,
对
D
:
0 r r( ) 0 2π
r r2( )
D
O
r r1( )
x
r r( )
2y x 0 y2
8 y2
2
I f (x, y) d x d y dy
D
0
8 y2
f (x, y)dx
2y
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例7. 计算
其中D 由
y 4 x2, y 3x , x 1 所围成. 解: 令 f (x, y) x ln(y 1 y2 )
y
4 y 4 x2
D D1 D2 (如图所示)
z
x2 y2 R2, x2 z2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
R
其曲顶柱体的顶为 z R2 x2
OR
(
x,
y
)
D
:
0 0
y x
R
R
2
x2
则所求体积为
x x2 z2 R2
y
R
8
R2 x2 d x
R2 x2
dy
0
0
8 R (R2 x2 ) d x 16 R3
0
3
a r sin b r cos
abr
2 abc 2π d 1
0
0
1
r2
r
d
r
4 3
π
abc
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总结计算步骤及方法 (1) 确定积分区域，画出草图. (2) 选择坐标系. 积分区域为圆形区域或环形区域，或
被积函数形如 f (x2 y2) 时，建议采用极坐标. (3) 确定积分次序. 积分区域分块尽量要少，还要考虑 计算方便. (4) 写出积分限. 注意上限一定大于下限. (5) 计算. 计算时要充分利用积分性质，如对称性等.
I
1
dy
3 2
(4
x2
y2
)d
x
35
.
0
0
8
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例4. 计算二重积分 I (x2 y2)d , 其中D是由直线
D
y=x, y=1, y=3 及 y=1+ x 围成.
3 y=1+x D
解: 若把区域 D 看作 y 型区域：
1
D：y 1 x y, 1 y 3， 则
I
(x2 y2)d
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例3. 计算二重积分 I (4 x2 y2)d，其中D 是
矩形区域：0
x
3，
0
D
y
1.
2 解: 若把区域看作 x 型区域，有
1
3
I
2dx
1
(4
x2
y2
)d
y
0
0
O x 3/2
3 2
(4 y
x2 y
1
y3)1 d x
3 2
(11
x2)d
x
35
.
0
30
03
8
若把区域看作 y 型区域，
答: (1) 0 π;
(2) π π
2
2
注: 通常，积分区域为圆形区域 (或部分圆形区域、
环形区域) 或被积函数形如 f (x2 y2) 时，采用极坐标
计算二重积分较为方便.
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例8. 计算
其中D : x2 y2 a2.
解: 被积函数含有 x2 y2, 并且积分区域是一个圆， 适合用极坐标.
D
:
1 1
y x
x 2
y
I
2
dx
1
x
xyd y 1
2 1
1 2
xy2
x
1
d
x
2 y
yx
1
2
1
1 2
x3
1 2
x
dx
9 8
解法2. 将D看作y 型区域, 则
O
D
:
y 1
x y
2 2
1 x2x
I
2
dy
1
y2x
yd
x
2
1
1 2
x
2
y
2d
y
y
2 1
2
y
1 2
y3
dy 9 8
D
任取
平面
截柱体的 O a x0 b x
截面积为
y y1(x)
故曲顶柱体体积为
b
V D f (x, y) d a A(xx,y)dy
记
]d x 作
b
dx
y2 (x) f (x,y) d y
a y1( x)
a
y1( x)
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同样, 曲顶柱体的底为y 型区域 ：
D1
显然, 在 D1上, f (x, y) f (x, y) 在 D2上, f (x, y) f (x, y)
y 3x
O D2 1 x
x 1
I x ln(y 1 y2 )dxdy D1
x ln(y 1 y2 )dxdy 0 D2
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二、利用极坐标计算二重积分
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数
,
则
D f (r cos , r sin )r d r d
r2 r d r 2(r) f (r cos , r sin )d r
r1
1(r )
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下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点, 试问
的变化范围是什么?
(1) y r r( )
(2) y r r( )
D
D
O
x
Ox
D3 (x, y) | x y 3,2 x 3.
1
这样二重积分就化为
O
123
I (x2 y2)d (x2 y2)d
D
D1
(x2 y2)d (x2 y2)d
D2
D3
1
dx
1x (x2 y2 ) d y
2
dx
1x (x2 y2 ) d y
0
1
1
x
计算量明显大很多!
O a x bx
为计算方便, 可根据情况选择积分次序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D1
x 型域或 y 型域 , 于是
D2
D D1 D2 D3
D3
O
x
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例2. 计算 I xyd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
y＝x 所围的闭区域.
解法1.
将D看作 x 型区域, 则
而且由于 ex2 的原函数不是初等函数 , 本题也无
法用直角坐标计算.
在极坐标系下 D : 0 2 π, 0 r a, 故
原式 D
r d r d
2π d
0
a rer2 d r
0
π (1 ea 2 )
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注: 利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上
非常有用的广义积分公式
:
x1(
y) c
x y
x2 d
(
y)
d y
x x2( y)
有
d dy
x2( y) f (x, y)dx
c
x1( y)
c
O
x
x x1( y)
当被积函数 f (x, y) 在 D上变号时, 有相同的计算公式.
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例1. 求两个底圆半径为 R 的直交圆柱面所围的体积.
解: 设两个直圆柱方程为
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n
lim
0
k
1
f
(
rk
cos k
,
rk
sin k
)rk
rk
k
即 D f (x, y) d D f (r cos , r sin )r d r d
面积元素也可以这样得到：
d
1 2
(r
dr)2
d
1 2
r2
d
r
dr
d
1 2
r
dr
2
d
rd d
d
dr r
O
r dr d
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设 D为θ- 型区域
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