曲边梯形面积与定积分(二)教案

1.4.1 曲边梯形面积与定积分

【学习要求】

1．了解定积分的概念，会用定义求定积分.

2.理解定积分的几何意义.

3.掌握定积分的基本性质．

【学法指导】

通过求曲边梯形的面积、变力做功这两个背景和实际意义截然不同的问题，进一步体会定积分的作用及意义.

1．定积分：设函数y ＝f(x)定义在区间[a ，b]上，用分点a ＝x 0

区间长度都趋近于0，在每个区间内任取一点ξi ，作和式I n ＝∑i ＝0

n －1

f (ξi )Δx i .当λ→0时，如果和式的极限存在，我们

把和式I n 的极限叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作 ʃb

a f(x)dx ，即

ʃb

a f(x)dx ＝_____lim λ→0∑i ＝0

n －1f (ξi )Δx i ___.

2．在定积分ʃb

a f(x)dx 中，f(x) 叫做被积函数，a 叫做积分下限，

b 叫做积分上限， f(x)dx 叫做被积式．

3．如果函数f(x)在[a ，b]的图象是 一条连续的曲线 ，则f(x)在[a ，b]一定是可积的．

4．定积分的性质

(1)ʃb a kf(x)dx ＝ k ʃb a f(x)dx (k 为常数)； (2)ʃb a [f 1(x)±f 2(x)]dx ＝ ʃb a f 1(x)dx ± ʃb a f 2(x)dx ；

(3)ʃb a f(x)dx ＝ ʃc a f(x)dx ＋ ʃb c f(x)dx (其中a

探究点一 定积分的概念

问题1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．

答 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．

问题2 怎样正确认识定积分ʃb a f(x)dx?

答 (1)定积分ʃb a f(x)dx 是一个数值(极限值)．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外ʃb a f(x)dx 与积分区间

[a ，b]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同．

(2)定积分就是和的极限lim n→＋∞∑i ＝1

n

f (ξi )·Δx，而ʃb

a f(x)dx 只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a 到

b 的定积分”．

(3)函数f(x)在区间[a ，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．

例1 利用定积分的定义，计算ʃ10x 3dx 的值．

解 令f(x)＝x 3.

(1)分割：在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[0,1]等分成n 个小区间[i －1n ，i n

](i ＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝i n －i －1n ＝1n

. (2)近似代替、作和：取ξi ＝i n

(i ＝1,2，…，n)，则 ʃ10x 3dx≈S n ＝∑n

i ＝1

f(i n )·Δx

＝∑n i ＝1 (i n )3·1n ＝1n 4∑n i ＝1i 3 ＝1n 4·14n 2(n ＋1)2 ＝14(1＋1n

)2. (3)取极限

ʃ10x 3dx ＝lim n→＋∞S n ＝lim n→＋∞ 14

(1＋1n )2＝14. 小结 利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤．

跟踪训练1 用定义计算ʃ21(1＋x)dx.

解 (1)分割：将区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n)，每个小区间的长度Δx＝1n . (2)近似代替、求和：在⎣

⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n 上取点ξi ＝1＋i －1n (i ＝1,2，…，n)，于是f(ξi )＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n ， 从而得∑i ＝1n f (ξi )Δx＝∑i ＝1n (2＋i －1n )·1n ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋i －1n 2 ＝2n ·n＋1n

2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝2＋1n 2·n n －12＝2＋n －12n

. (3)取极限：S ＝lim n→＋∞ ⎝

⎛⎭⎪⎫2＋n －12n ＝2＋12＝52. 因此ʃ21(1＋x)dx ＝52

. 探究点二 定积分的几何意义

问题1 从几何上看，如果在区间[a ，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么ʃb a f(x)dx 表示什么？

答 当函数f(x )≥0时，定积分ʃb a f(x)dx 在几何上表示由直线x ＝a ，x ＝b(a

梯形的面积．

问题2 当f(x)在区间[a ，b]上连续且恒有f(x)≤0时，ʃb a f(x)dx 表示的含义是什么？若f(x)有正有负呢？

答 如果在区间[a ，b]上，函数f(x)≤0时，那么曲边梯形位于x 轴的下方(如图①)．

由于b －a n

>0，f(ξi )≤0，故 f(ξi )b －a n

≤0.从而定积分ʃb a f(x)dx≤0， 这时它等于如图所示曲边梯形面积的相反值，

即ʃb a f(x)dx ＝－S.

当f(x)在区间[a ，b]上有正有负时，定积分ʃb a f(x)dx 表示介于x 轴、函数f(x)的图象

及直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x 轴上方的取正，在x 轴下方的

取负)．(如图②)，即ʃb a f(x)dx ＝－S 1＋S 2－S 3.

例2 利用几何意义计算下列定积分：

(1)ʃ3－39－x 2dx ；(2)ʃ3－1(3x ＋1)dx.

解 (1)在平面上y ＝9－x 2

表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，

其面积为S ＝12

·π·32. 由定积分的几何意义知ʃ3－39－x 2dx ＝92

π. (2)由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0，以及y ＝

3x ＋1所围成的图形，如图所示：

ʃ3－1(3x ＋1)dx 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积， ∴ʃ3－1(3x ＋1)dx