概率论与数理统计课件-第四章-随机变量及其分布

二、随机变量定义 设随机试验的样本空间为Ω＝｛ω｝。 对于任意一个ω，都对应一个实数ξ(ω)。 ξ(ω)又是随着试验结果不同而变化的一 个量，则称ξ(ω)为随机变量。一般地， 随机变量用ξ，η，ζ表示，或者用X，Y， Z表示。 随机变量类型
三、随机变量类型（按取值情况） （1）离散型 只可能取有限个或无限可列个值。 （2）非离散型 可以在整个数轴上取值，或至少有 一部分值取某实数区间的全部值。
注（1）0≤pk≤ 1
ξ x1 x2 … p p1 p2 … （ 2） ∑ p k ＝ 1
xk pk
… …
分布函数F ( x ) P ( x ) P ( ( xk ))
例题3 1.设离散型随机变量的分布律ξ为 P(ξ=i)=pi(i=1，2，…，n，…)，其中 0<p<1，求p。 解：
0.6 0.3 0.1
2 C4 0. 6 3 C5 C32 0. 3 3 C5
3 C3 0.1 3 C5
(2) F ( x) P( x)
0 x 1 0.6 1 x 2
0.9 2 x 3
1
3 x
back
例题3 3. 设汽车在开往甲地途中需经过 4 盏信号灯, 每 盏信号灯独立地以概率 p 允许汽车通过.首次停下 时已通过的信号灯盏数X, 求 X 的概率分布. 解：P( X 0) 1 p
常用离散型分布 ——二项分布
七、常用离散型分布 2.二项分布 在n重伯努利试验中，如果以r.v.ξ表 示n次试验中事件A发生的次数，
P ( k ) C p (1 p )
k n k nk
k 0,1,2,..., n
则称ξ～B(n,p)，其中0<p<1，p=p(A)。
例题5
例题5
k 3
k 0,1,2,3
(2) P( 1) P( 0) P( 1)
1 0 3 3 27 1 1 1 3 2 C ( ) ( ) C3 ( ) ( ) 4 4 4 4 32
0 3
例题5续
例题5
2.已知某公司生产的螺丝钉的次品率为0.01。并设各个 螺丝钉是否为次品是相互独立的。这家公司将每10个螺 丝钉包成一包出售，并保证若发现某包内多于一个次品 则可退款。问卖出的某包螺丝钉将被退回的概率有多大？
例题1
例题1 1.在装有m个红球，n个白球的袋子中， 随机取一球，观察其颜色。随机变量ξ=1 表示取到的是红球，ξ=0表示取到的是白 球。则p(ξ=1)和p(ξ=0)为多少？
解： P( 1) m
mn
n P( 0) mn
back
四、随机变量的分布函数 若ξ是一个随机变量，对于任意一个x∈[-∞， +∞]，称F(x)=p(ξ≤x)是ξ的分布函数。 注：（1） F(x)是事件“ξ≤x”的概率。 （2）对于x1和x2 ∈[-∞,+∞ ]， p(x1<ξ≤x2)=p(ξ≤x2)- p(ξ≤x1)=F(x2)-F(x1)
第四章
随机变量及其分布
第一节 随机变量及分布函数
一、随机变量 二、随机变量的分布函数
第二节 离散型随机变量
一、离散型随机变量的分布律 二、常用离散型分布
第三节 连续型随机变量
一、概率密度函数及其性质 二、常用连续型分布
一、随机变量引例 随机试验的结果可以给予数量描述。 （1）某工人一天“完成定额”记为1， “未完 成定额”记为0。 （2）产品为“优质品”记为2， “次品”记为 1， “废品”记为0。 （3）单位面积上某农作物产量，记为ξ，ξ∈[0， T]。 （4）一个沿数轴进行随机运动的点，其在数 轴上的位置，记为ξ，ξ∈[－∞ ，＋∞ ]。 随机变量定义
p P( i) p 1, 得 1 p i 1 i 1
i


p＝1/2
back
例题3 2.袋中有5个球，分别编号1，2，…，5，从中同时 取出3个球。以ξ表示取出的球的最小号码，求ξ的 分布律与分布函数。 解:(1) ξ pk 1 2 3
P( 1) P( 2) P( 3)
例题6 1.一大批产品的废品率为p=0.015，求任取 一箱（有100个产品），箱中恰好有一个废 品的概率。 ~ B(100,0.015) 解： ξ 表示一箱中废品个数，则
P( 1)
1 C100 (0.015)1 (0.995)99
P ) 1.5 ( 1) 0.334695 ( np 100* 0.015
F ( x) P( x)
0
x 1
1/ 6 1 x 2
2/3 2 x 3
1
3 x
back
2.随机变量ξ的分布律
ξ
-1
2
3
pk 1/4 1/2 1/4 求（1）ξ的分布函数。 （2）p(ξ≤1/2),p(3/2<ξ≤5/2),p(2 ≤ξ≤3)。 解： 0 x 1
0.0043
例题5续
例题5续 3.设某保险公司的某人寿保险险种有1000人投 保，每个人在一年内死亡的概率为0.005，且 每个人在一年内是否死亡是相互独立的。试求 在未来一年中这1000投保人中死亡人数不超过 10人的概率。 解： ξ 表示1000人中死亡人数，则 ~ B(1000,0.005)
解：
P( X k )
P(前k-1次中有r-1次击中目标，第k次击中目标)=
C
r 1 k 1
p (1 p)
r 1
k r
pC
r 1 k 1
p (1 p)
r
k r
k r , r 1,...
back
七、常用离散型分布 1.0-1分布 如果r.v.ξ的分布律为
ξ Pk 0 1-p 1 p
F ( x) f (t )dt

x
九、概率密度函数定义 如果r.v.ξ的分布函数F(x)对每一个x可表示 为
F( x) f (t )dt

x
其中f(x)>0，则称ξ为连续型随机变量，f(x) 为ξ的概率密度函数（简称密度函数）。
概率密度函数性质
十、概率密度函数性质
(1) f ( x) 0 (2) f ( x) 1
0!
e
P( 1)
1!
e
back
八、概率密度函数引例 等可能地在数轴上的有界区间[4,10] 上投点。r.v.ξ为落点的位置（数轴上的 坐标），求ξ的分布函数。
0 F ( x) P( x) x 4 6 1
4 x 10 ,则 其它
x4 4 x 10 x 10
p(a b) p(a b) f ( x)dx a 例题7
P( X 1)
p(1 p)
P( X 2) p 2 (1 p) P( X 3) p3 (1 p) P( X 4)
p4
back
例题3
4.一门大炮对目标进行轰击,假定此目标必须被击中 r 次才能被摧毁. 若每次击中目标的概率为p (0 < p < 1), 且各次轰击相互独立,一次次地轰击直到摧 毁目标为止.求所需轰击次数 X 的概率分布.
k P( k ) C1000 (0.005)k (0.995)1000k
k 0,1,..., 1000
P( 10)
10
k k 1000 k C ( 0 . 005 ) ( 0 . 995 ) 1000 k 0
10
5 k 5 e 0.986 ( np 5) k 0 k!
性质
五、性质 （1）对于任意一个 x∈[-∞，+∞]， 0≤F(x)≤1 。 （2）F(x)是x的不减函数。 （3）F(-∞)=limF(x)=0；F(+∞)=limF(x)=1。 （4）F(x)至多有可列个间断点，且在其间断 点处右连续。
例题2
例题2 1.设一口袋中有依次标有-1，2，2，2，3，3数字的六 个球。从中任取一个球。记随机变量ξ为取得的球上 标有的数字。求ξ的分布函数，并画出其图形。 解： ξ -1 2 3 P 1/6 1/2 1/3
常用离散型分布 ——泊松分布
3.泊松分布 如果r.v.ξ的概率函数为
p( k ) e (k 0,1,2,...) k ! 则称ξ～P(λ)。
k
注（1）如果r.v.ξ表示为数众多的个体中出 现的个数。每个个体是否出现彼此独立，每个 个体出现的概率相同且值非常小，则ξ～P(λ)。 [稠密性问题] （2）当n比较大，p很小时，可用poission 分布近似代替二项分布，其中λ=np。 例题6
back
例题6 2.每分钟通过某交叉路口的汽车流量ξ服从 poission分布，且已知在一分钟内无车辆通过与 恰有一辆车通过的概率相同。求在每一分钟内 至少有两辆车通过的概率。 解： 0 1
P( 0)
1
1 1 2 e P( 2) 1 P( 0) P( 1)
(1) F ( x) P( x)
1/ 4 1 x 2
3/ 4 2 x 3
1
3 x
(2) P( 1 / 2) P( 1) 1 / 4 F (1 / 2) P(3 / 2 5 / 2) P( 2) 1 / 2 F (5 / 2) F (3 / 2) P(2 3) P( 2) P( 3) 3 / 4 F (3) F (2) P( 2)
1.从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗。假设在各 个交通岗遇到红灯的事件是相互独立，并且概率都为 1/4。 设ξ为途中遇到红灯的次数。求r.v.ξ的分布律，以及至多 遇到一次红灯的概率。 解： (1) ~ B(3,1 / 4)
1 k 3 3 k P( k ) C ( ) ( ) 4 4
解： ξ 表示一包中次品个数，则 ~ B(10,0.01)
k P( k ) C10 (0.01)k (0.99)10k
k 0,1,..., 10
P( 1) 1 P( 0) P( 1)
0 1 1 C10 (0.01) 0 (0.99)10 C10 (0.01)1 (0.99)9

(3) p(a b) f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a
b
a
b
分布函数与密度函数
十一、分布函数F(x)与密度函数f(x) （1）F(x)是连续函数，且在F(x)的连续点处 有F′(x)=f(x)。 （2）p(ξ=x)=0，其中x∈[－∞ ，＋∞ ]。 （3）f(x) ≠ p(ξ=x)。[f(x)表示点x 处概率分 布的密集程度] （4）p(a b) p(a b)
其中0<p<1，则ξ～R(0,1)。
例题4
例题4 1.一批产品的废品率为5%。从中任意抽取一个 进行检验，用r.v.ξ描述废品出现的情况。
2.一批产品分一、二、三级。其中一级品是二 级品的两倍，三级品是二级品的一半。从这批 产品中随机抽取一个检验质量，用r.v.ξ描述 检验的可能结果，写出它的概率函数。
1 若取f ( x) 6 0
Baidu Nhomakorabea
F( x) f (t )dt

x
1 若取f ( x) 6 0
4 x 10 ,求 其它

x

f (t )dt
x x4 0dt 0 4 x x1 x4 解： 4 x 10 f (t )dt 0dt 4 6 dt 6 10 1 x 4 0dt dt 0dt 1 x 10 4 6 10
六、离散型随机变量的分布律 如果随机变量ξ只取有限个或可列个可能 值，且以确定的概率取这些不同值，则称ξ为 离散型随机变量。即， p(ξ=xk)=pk(k=1,2,…)称为随机变量ξ的 概率函数，其中{ ξ=x1} ,{ ξ=x2} ,…,{ ξ=xk},… 构成一个完备事件组。即， ξ的分布律为