误差理论与数据处理-第四章-测量不确定度

uc ( y)
m i1

F xi
2

u2 (xi
)
38
二、有效自由度
合成标准不确定度的自由度称为有
效自由度，一般用 eff 来表示。
设被测量有 m个影响测量结果的分量，记
为 Y Y1 Y2 Ym ，当各分量 Yi 均服从正态分 布，且相互独立时，可根据韦尔奇-萨特思韦特
GUM）。
6
第二节 不确定度的基本概念
7
一、不确定度的定义
测量不确定度 指测量结果的变化的不肯定，是表征测量
的真值在某个量值范围的一个估计，是测量 结果含有的一个参数，用于表征被测量值的 分散性。
8
不确定度的定义(续)
说明：
该参数是一个表征分散性的参数。它可以是标准 差或其倍数，或说明了置信水平的区间半宽度。
19
几种常见误差的分布情形及其标准不确定度估计
（3）示值误差
某些测量仪器是按符合“最大允许误差”要求而制造的，
经检验合格，其最大允许误差为 a
按均匀分布考虑，故标准不确定度为
u(x) a 0.6a 3
（4）仪器基本误差
设某仪器在指定条件下对某一被测量进行测量时，可能
达到的最大误差限为 a
按均匀分布考虑，故标准不确定度为
不确定度的 评定质量
标准差的可 信赖程度
自由度
26
自由度的概念
自由度 计算总和中独立项个数，即总和的项数减去
其中受约束的项数。 情形1 对于一个测量样本，自由度等于该样本数
据中n个独立测量个数减去待求量个数1。 情形2 对某量X进行n次独立重复测量，用贝塞尔
公式估计实验标准差的自由度为n-1。 对于不同计算标准差的方法，其自由度是不同的
u 29
B类评定的自由度
对于B类评定的不确定度，其自由度一般通 过相对标准不确定度来折算。
相对标准不确定度与自由度的关系
相对标准不确定度 0 0.10 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50
自由度
50 12 8 6 3 2
30
四、应用举例
31
例4-2
用游标卡尺对某一试样的尺寸重复测量10次，得 到的测量列如下（单位：mm） 75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09， 75.06，75.02，75.05，75.08 求该重复测量中随机变化引起的标准不确定度分量 及其自由度。
k99 2.60
uRs
a kp

129 2.60
49.615
24
三、自由度
25
研究自由度的意义
由于不确定度是用标准差来表征，因此， 不确定度的评定质量就取决于标准差的可信 赖程度。而标准差的信赖程度与自由度密切 相关，自由度愈大，标准差愈可信赖。所以， 自由度的大小就直接反映了不确定度的评定 质量
ai

F xi
函数 F ( X1, X 2,..., X n )在
(x1, x2 ,...xn )处的偏导数，
称为灵敏系数，在误差合成公式中称其为传递系数；
ij X i 和 X j 在 (xi , x j )处的相关系数
36
不确定度分量合成公式
记
u( yi )
F

xi
随这些量变化的情况而定。用符号uc表示。
11
几个相关的名词与概念(续）
扩展不确定度 规定了测量结果取值区间的半宽度，该区间包
含了合理赋予被测量值的分布的大部分。用符号 U表示。
包含因子
为获得扩展不确定度，对合成标准不确定度所 乘的倍数因子。常用符号k来表示。在国内，有 的也其称为覆盖因子，其取值一般在2与3之间。
u(x) a
置信区间的半宽度
kp
置信水平 p 的包含因子
（2）若由先验信息给出的测量不确定度U为
标准差的k倍时 u(x) U
k
（3）若由先验信息给出测量结果的“置信区
间”及其概率分布
u(x) U k
置信区间的半宽度
置信水平接近1的包含
因子
18
几种常见误差的分布情形及其标准不确定度估计
（1）舍入误差

0.3 x
21
各类分布和包含因子
分布名称 正态 均匀(矩形） 反正弦 三角 直角 椭圆 双三角
方差 σ2 a2/3 a2/2 a2/6 2a2/9 a2/4 a2/2
k 3-2.58 1.73 1.41 2.45 2.12 2 1.41
22
正态分布下置信概率p与包含因子间关系
P(%) 50 68.27 90 95 95.45 99 99.73
该参数一般由若干个分量组成，统称为不确定 度分量 该参数是通过对所有若干个不确定度分量进行 方差和协方差合成得到。所得该参数的可靠程度 一般可用自由度的大小来表示
该参数是用于完整地表征测量结果的
9
三、不确定度评定方法的分类
A类评定
指用对样本观测值的统计分析进行不确定度 评定的方法。
B类评定
指用不同于统计分析的其他方法进行不确 定度评定的方法。
查表得，
d10 3.08
则标准差
u wn 0.0292mm
dn
查表其自由度 7.5
别 8.0 极 7.5 最 6.9
用两种方法估计得到的标准差很接近，但自由度
有明显不同，可见用贝塞尔公式更好一些。
33
第四节 合成不确定度
34
一、 合成公式
合成标准不确定度
当测量结果受多个因素影响而形成若干个不 确定度分量时，测量结果的标准不确定度通过 该多个标准不确定度分量合成得到的。
27
A类评定的自由度
最常用的是按贝塞尔公式计算标准差的自
由度公式
n 1
几种A类评定不确定度的自由度
n ２ 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 1
Bessel 1 公式
23
4
5
6
7 8 9 14 19
最大误差法 1.9 2.6 3.3 3.9 4.6 5.2 5.8 6.4 6.9 8.3 9.5 0.9
在分类上，误差按自身特性和性质可分为随机误差、系 统误差和粗大误差，但各类误差之间并不存在绝对界限， 故在分类计算时不易准确掌握；测量不确定度不按性质 分类，而是按评定方法分类，分为A 评定和B类评定， 可按情况加以选择使用。这就无需考虑其影响因素及来 源，只考虑影响结果的评定方法，从而简化了分类，便 于评定和计算。
kp
0.67 1
1.645 1.960 2
2.576 3
23
例4-1
设校准证书给出名义值10Ω的标准电阻器的电 阻 Rs 10.00074 129 ，测量结果服从正态 分布，置信水平为99％。求其标准不确定度。
【解】 根据题意，该标准电阻器的置信区间
半宽度 a 129
查表得 计算
（Welch- Satterthwaite）公式来计算其合成标
准不确定度的有效自由度。
veff

uc4 (Y ) m u4 (Yi )
v i1
i
39
三、应用举例
40
例4-4
某测量结果含5个不确定度分量，每个分量的大小 及自由度见下表，它们之间的协方差均为零，求其
第四章 测量不确定度
1
教学目标
本章介绍用测量不确定度来评定和表 示测量结果的基本概念和方法，要求正确 掌握测量不确定度的若干名词术语，会分 析不确定度的来源，掌握标准不确定度的 两类评定、合成标准不确定度的求取方法， 还应学会正确表示测量结果的方式。
2
教学重点和难点
不确定度的基本概念 A类不确定度评定 B类不确定度评定 自由度 有效自由度 合成不确定度 扩展（展伸）不确定度 测量结果的表示方法
12
不确定度与误差关系
共同点： 都是评价测量结果质量高低的重要指标，都可 以作为测量结果精度的评定参数。
13
不确定度与误差关系（续）
不同点：
误差是以真值和约定真值为中心，而测量不确定度是以 被测量的估计值为中心，因此，误差是一个理想的概念， 一般不能准确知道，难以定量；而测量不确定度是反映 人们对测量认识不足的程度 ，可以定量评定。
3
第一节 研究不确定度的意义
4
一、研究不确定度的必要性
误差概念和误差分析在用于评定测量
结果时,有时显得既不完备，也难于操
作。
寻 求
一种更为完备合理、可操作性强的评
定测量结果的方法。
诞 生
测量不确定度
5
二、不确定度的由来
1927年德国物理学家海森堡提出测不准关系，也称为不 确定度关系。
1978年国际计量局发出不确定度征求意见书，征求各国 和国际组织的意见。
【解】 本例估计的是重复测量中随机变化引起的
标准不确定度分量，可根据已知样本数据 进行Ａ类评定
32
计算结果
由贝塞尔公式
n
vi2
u s i1
n 1
其自由度 10 1 9
0.00825 0.0303mm 10 1
按极差法求取极差 n xmax xmin 0.09mm
10
四、几个相关的名词与概念
标准不确定度 用标准差表示测量结果的不确定度，一般用符
号u来表示。对于不确定度分量，常在u上加小脚 标进行表示，如u1，u2，…ui …un等。 合成（标准）不确定度
当测量结果由若干个其他量的值求得时，测量结 果的合成标准不确定度等于这些量的方差和（或） 协方差加权和的正平方根，其中权系数按测量结果
m
m
uc
ui2 2 ijuiu j
i 1
1i j
ui第ｉ个标准不确定度分量
m不确定度分量的个数
ij第ｉ和第j个标准不确定度分量之间的相关系数
uc合成标准不确定度
35
间接测量的合成标准不确定度公式
标准不确定度传递公式
uc ( y)
m
（
i 1
F xi
2
u
2
(
xi
)


F xi
u(xi )
u( yi ) 直接测量的不确定度分量
直接测量的不确定度分量的合成公式
m
m
uc ( y) u2 ( yi ) 2 iju( yi )u( y j )
i 1
1i j
37
简单的合成公式
当 xi 和 x j 相互独立时, ij 0 标准不确定度传递公式
1980年，国际计量局提出了实验不确定度建议书INC-1 （1980）。
1986年组成国际不确定度工作组，负责制定用于计量、 生产、科学研究中的不确定度指南。
1993年出版了《测量不确定度表示指南》（Guide to
the Expression of Uncertainty in Measurement，简称
）2u
2
(
xi
)

m
2
1i
ij
j
F xi
F x j
u(xi )u(x j )
m
m

ai2u2 (xi ) 2 ijaia ju(xi )u(x j )
i 1
1i j
uc ( y)输出量估计值 y 的标准不确定度
u(xi ) u(x j ) 输入量估计值 xi 和 x j的标准不确定度
16
二、B类评定方法
B类评定方法获得不确定度，不是依 赖于对样本数据的统计，他必然要设 法利用与被测量有关的其他先验信息 来进行估计。因此，如何获取有用的 先验信息十分重要，而且如何利用好 这些先验信息也很重要
17
1、B类评定的方法
（1）若由先验信息给出测量结果的概率分布，
及其“置信区间”和“置信水平”
14
第三节 标准不确定度评定
15
一、A类评定方法
采用统计分析的方法评定标准不确定度，用 实验标准差或样本标准差表示。
单次测量值作为被测量 x 的估计值
u 单次测量的标准差
当用n次测量的平均值作为被测量的估计值
uxi

i
n
uxi n次测量的标准差
计算标准差的方法：贝塞尔公式，极差法等
u(x) a 0.6a 3 20
几种常见误差的分布情形及其标准不确定度估计(续）
（5）仪器分辨力
设仪器的分辨力为 x ，则其区间半宽度为 a x 2
按均匀分布考虑，故标准不确定度为
u(x)
a 3

x
23

0.3 x
源自文库
（6）仪器的滞后
滞后引起的标准不确定度为
u(x)

x
23
舍入误差的最大误差界限为0.5（末），按均匀分 布考虑，故标准不确定度为
u(x) 0.5(末) 0.3(末) 3
（2）引用误差
测量上限为xm 的 s 级电表，其最大引用误差限 （即最大允许不确定度）为
U (x) xm s% 按均匀分布考虑，故标准不确定度为
u(x) xm s% 3
极差法 0.9 1.8 2.7 3.6 4.5 5.3 6.0 6.8 7.5 10.5 13.1
28
自由度的概念
自由度
情形3 按估计相对标准差来定义的自由u 度称为有
效自由度 eff （或 ）


1
2 u
2

u
其中， u 为评定不确定度u的标准差
u 为评定u的相对标准差