三角形法计算截面特性

面积
惯性矩 中性轴
21
结构设202计0年原3月理22日星期日
6
7
8 13
5
14 3
4
12
11 16
15
9
10 1
2
节 点123 4 5 6 7 8
X 0 1 1 1.5 1.5 -1.5 -1.5 -1
Y 0 0 1 1 1.2 1.2 1 1
节 点 9 10 11 12 13 14 15 16
X -1 0 0 -0.8 -0.8 0.8 0.8 0
x3 y3
x2 y2
y1
y2
x2
x1
y3
y2
1 2
x3
x2
y1
y2
x1
x2
y3
y2
1 2
x2
x1
y3
y1
x3
x1
y2
y1
6
结构设202计0年原3月理22日星期日
运用梯形公式计算任意三角形对底边的面积矩
Y 3
H
2
h
1 O
4
w
X
123
Sw
143
Sw
142
Sw
H2 3
0
w 2
h2 3
0
w 2
A123
0 A123 0
x22 y22 x32 y32 0
11
结构设202计0年原3月理22日星期日
8 9
10 5
11 4
12
3
1
2
7 6
A
n1
Ai
i 1
S
x
n1 i 1
Ai
d
i x
Yx
Sx A
n1
n1
I
o
i1
I oi
i1
Ai
d
i x
Yx
2
12
结构设202计0年原3月理22日星期日
第一章 断面几何特性计算
1
2020年3月22日星期日
本节主要内容
1、引言（说明计算结构截面特性的必要性）。 2、介绍三角形法计算截面性质整体思路。 3、推导任意三角形截面性质计算方法和公式。 4、归纳三角形法计算截面性质步骤及方法。 5、给出三角形法计算截面性质程序流。 6、复习使用CAD计算截面性质。
Y 0 0 0.2 0.2 1 1 0.2 0.2
第一种划分方 面积 惯性矩 中性
法 截面性质
1.0600 0.1908 0.7836
序号 三角形 面积 惯性矩 中性轴
1
△ 1 2 3 0.5000 0.0278 0.3333
2
△ 1 3 4 -0.2500 -0.0139 0.6667
3
△ 1 4 5 0.1500 0.0103 0.7333
序号 三角形 面积 惯性矩 中性轴 1 △11415 0.1600 -0.0004 0.1333
sin 0 sin cos cos sin 0
sin y3 cos x2
x32 y32 x32 y32
y3
x2 x3
y2 0
x2 y3 x3 y2 A1230
x32 y32 x22 y22
x32 y32 x22 y22
x22 y22 x32 y32
H
hH
3
h
w 2
1 2
H
h
w
H
3
h
A
1 3
y2
y3
2
y1
7
结构设202计0年原3月理22日星期日
运用梯形公式计算任意三角形对底边的惯性矩
Y 3
H
2
h
1
4
w
O
X
123
Iw
143
Iw
142
Iw
H3 4
0
w 3
h3 4
0
w 3
H 3 h3 4
w 3
1 2
H
h
w
H 2 Hh h2
16
结构设202计0年原3月理22日星期日
坐标原点选取
不存在梯形法计算截面性质时，当截面截面存在宽度突变时，需 要在突变点出增加一条划分线的问题。
17
结构设202计0年原3月理22日星期日
坐标原点的选取
6
7
8 10
9 1
5
11 3
4
12 2
6
7
8 13
5
14 3
4
12 9
11 16 10 1
15 2
面积
惯性矩 中性轴
序号 三角形 面积 惯性矩 中性轴 1 △11415
序号 三角形 1 △11112 2 △11213 3 △11314
面积
惯性矩 中性轴
面积 惯性矩 中性轴
面积 惯性矩 中性轴
面积 惯性矩 中性轴
24
结构设202计0年原3月理22日星期日
6
7
8
9
10 1
5
3
4
2
12
13
11
14
1
10 △ 11112 0.0800 0.0002 0.1333
11 △ 11213 -0.3200 -0.0149 0.4000
12 △ 11314 -0.8000 -0.0444 0.6667
13 △ 11415 -0.3200 -0.0149 0.4000
14 △ 11516 0.0800 0.0002 0.1333
18
结构设202计0年原3月理22日星期日
6
7
8 10
5
11 3
4
9 1
12 2
节 点1 2 3 4 5 6
X 0 2 2 2.5 2.5 -0.5
Y 0 0 1 1 1.2 1.2
节 点 7 8 9 10 11 12
X -0.5 0 0.2 0.2 1.8 1.8
Y 1 1 0.2 1 1 0.2
A
H 2 Hh h2
1 A 6
y32 y2 y3 y22
8
结构设202计0年原3月理22日星期日
计算任意三角形中性轴位置和绕中性轴惯性矩
Y 3
中性轴
H
2
h
1
4
w
O
X
Y 123 x
S 123 w
A123
A123 1 3
y2 A123
y3
2 y1
1 3
y2 y3 2 y1
A 18
y32 y2 y3 y22
1
2
三角形
A Io Yx
1 △123
0.5 0.1111 0.6667
2 △134 -0.625 -0.1823
1.5
3 △145
2.5 0.8681 1.6667
4 △156 -0.75 -0.2188
1.5
A 1.625m2 Yx 1.5m Io 0.9948m4
5
4
6
3
A123
1 2
x2 y3 x3 y2
Yx123
1
3
y2
y3
I 123 0
A 18
y32 y2 y3 y22
1
2
节点 1
X
0
Y
0
2
3
4
5
6
0.5 0.5 1.25 -0.75 0
0
2
2.5 2.5
2
14
结构设202计0年原3月理22日星期日
4 5
6
3
A123
1 2
x2 y3 x3 y2
T形算例
5
4
A123
1 2
x2 y3 x3 y2
6
3
Yx123
1 3
y2 y3
I
123 x
A123 6
y32 y2 y3 y22
1
2
A
n1
Ai
i 1
Sx
n1 i 1
Ai
d
i x
Yx
Sx A
n1
Байду номын сангаас
n1
I
o
i1
I oi
i1
Ai
d
i x
Yx
2
13
结构设202计0年原3月理22日星期日
A 18
y32 y2 y3 y22
10
结构设202计0年原3月理22日星期日
Y
证明：逆时针编写三角形节点可确保截面
面积为“正”！
3
2
证明：设α=∠X12，β= ∠X13
1O
X
因为节点1、2、3按逆时针方向编写，显然有α＞ β， α -β ＞0
因为α -β 为三角形内角，得α -β ＜2π
因为0＜ α -β ＜ 2π，得sin(α -β )＞0
中性轴
0.3333 0.6667 0.7333 0.8000 0.7333 0.6667 0.4000 0.4000 0.6667 0.4000
20
结构设202计0年原3月理22日星期日
6
7
8 13
5
14 3
4
12 9
11 16 10 1
15 2
节 点123 4 5 6 7 8
X 0 1 1 1.5 1.5 -1.5 -1.5 -1
123
Io
123
Iw
AYx2
1 A 6
y32 y2 y3 y22
A1 9
y2 y3 2 y1 2
9
结构设202计0年原3月理22日星期日
任意三角形截面性质计算公式汇总
Y
H
1 O
Y
3 中性轴
A123
1 2
x2 x1 y3 y1 x3 x1 y2 y1
2
面积
1.0000 -0.2500 0.2500 1.8000 0.0500 -0.2500 -0.1000 0.0800 -0.8000 -0.7200
惯性矩
0.0556 -0.0139 0.0172 0.1440 0.0034 -0.0139 -0.0047 0.0037 -0.0444 -0.0336
序号 1 2 3 4 5 6 7 8
9
10
三角形 △123 △134 △1 4 5 △156 △167 △178 △1 8 9 △ 1 910
△ 11011
△ 11112
面积
惯性矩 中性轴
19
结构设202计0年原3月理22日星期日
6
7
8 12
5
11 3
4
9
1
节 点1 2 3 4 5 6 X 0 2 2 2.5 2.5 -0.5 Y 0 0 1 1 1.2 1.2
y1
y2
x2
x1
H y3 y1
5
h y2 y1 结构设202计0年原3月理22日星期日
Y
H
1 O
计算任意三角形面积
3
A123 A143 A142 1 w H 1 w h
2
2
1 2
wH
h
1 2
w
y3
y2
2
h
w
4
w
x3 y3
x2 y2
y1
y2
x2
x1
X
A123
1 2
Yx123
1 3
y2
y3
2
y1
w
h
4
I
123 x
1 6
A
y32 y2 y3 y22
A1 9
y2 y3 2 y1 2
X
将坐标轴取在1点 x1 0, y1 0
3
H
1O
中性轴
2
w
h
4
X
A123
1 2
x2 y3 x3 y2
Yx123
1 3
y2 y3
I
123 x
4
△ 1 5 6 1.8000 0.1440 0.8000
5
△ 1 6 7 0.1500 0.0103 0.7333
6
△ 1 7 8 -0.2500 -0.0139 0.6667
7
△ 1 8 9 0.5000 0.0278 0.3333
8 △ 1 910 0.0000 0.0000 0.0000
9 △ 11011 0.0000 0.0000 0.0000
Y 0 0 1 1 1.2 1.2 1 1
节 点 9 10 11 12 13 14 15 16
X -1 0 0 -0.8 -0.8 0.8 0.8 0
Y 0 0 0.2 0.2 1 1 0.2 0.2
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
三角形 △1 2 3 △1 3 4 △1 4 5 △1 5 6 △1 6 7 △1 7 8 △1 8 9 △ 1 910 △ 11011 △ 11112 △ 11213 △ 11314 △ 11415 △ 11516
节 点 7 8 9 10 11 12 X -0.5 0 0.2 0.2 1.8 1.8 Y 1 1 0.2 1 1 0.2
整个 面积 惯性矩 中性 截面性
质 1.0600 0.1908 0.7836
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
2
三角形
△1 2 3 △1 3 4 △1 4 5 △1 5 6 △1 6 7 △1 7 8 △1 8 9 △ 1 910 △ 11011 △ 11112
2
结构设202计0年原3月理22日星期日
8 9
10 5
7 6
左图为常见T梁横断面。
截面性质具体包括：
中性轴
面积A（m2）
截面惯性矩I （m4）
中性轴位置Ys和Yx（m）
11 4
12
3
由于有翼板和马蹄的存在， 无法直接应用简单的矩形截面 性质计算公式。
1
2
三角形法进行截面性质的计算
把断面划分成若干个有共同顶点的三角形小块，计算每个三角形的截 面性质，然后将每个三角形的性质累加，获得整个断面的截面性质。
3
结构设202计0年原3月理22日星期日
任意三角形截面性质计算
Y 3
H
1 O
2 w
4
h 4
X 结构设202计0年原3月理22日星期日
计算任意三角形面积
Y 3
H
1
O
l23：x
x3 y3
x2 y2
y
y2
x2
2
h
4
w
x4
x3 y3
x2 y2
X
y1 y2
x2
w
x4
x1
x3 y3
x2 y2
整个 截面性质
面积 1.3200
惯性矩 中性轴 0.2628 0.6758
22
结构设202计0年原3月理22日星期日
23
结构设202计0年原3月理22日星期日
6
7
8
5
3
4
9
10 1
2
12
13
11
14
1
15
14
1
序号 三角形 1 △123 2 △134 3 △145 4 △156 5 △167 6 △178 7 △189
15
14
1
序号 三角形 1 △123 2 △134 3 △145 4 △156 5 △167 6 △178 7 △189
面积 0.500 -0.250 0.150 1.800 0.150 -0.250 0.500
惯性矩 中性轴 0.028 0.333 -0.014 0.667 0.010 0.733 0.144 0.800 0.010 0.733 -0.014 0.667 0.028 0.333
Yx123
1
3
y2
y3
I 123 0
A 18
y32 y2 y3 y22
1
2
三角 形
A Io Yx
1 △123
2 △134
3
4
△145 △156
15
A Yx Io
结构设202计0年原3月理22日星期日
4 5
6
3
A123
1 2
x2 y3 x3 y2
Yx123
1
3
y2
y3
I 123 0