离散数学析取范式与合取范式
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定理（范式存在定理） 任何命题公式都存在着 与之等值的析取范式与合取范式.
求公式A的范式的步骤： (1) 消去A中的, （若存在） (2) 内移或消去否定联结词 (3) 利用分配律
对分配（析取范式） 对分配（合取范式） 公式的范式存在，但不惟一，这是它的局限性.
5
求公式的范式举例
例1.15 求下列公式的析取范式与合取范式: (1) A = ( pq)r 解 (pq)r
1.4 析取范式与合取范式
▪ 简单析取式与简单合取式 ▪ 析取范式与合取范式 ▪ 主析取范式与主合取范式
1
定义 文字:命题变项及其否定的总称. 简单析取式:有限个文字构成的析取式. 如 p, q, pq, pqr, … 简单合取式:有限个文字构成的合取式. 如 p, q, pq, pqr, …
由定义易知：
21
主范式的用途——与真值表相同
(1) 求公式的成真赋值和成假赋值
例如 (pq)r m1m3m5 m6m7， 其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111， 其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.
1. 证明： ⑴ p(qr) (pq)r
⑵ (p q) (p q) p
2. 求主析取范式：
⑴ (p q) r
∑(5)
⑵ ( pq) ( qr ) ∑(0, 1, 3, 7)
(3) ( pq) q r ∑(1, 3, 5, 7)
(4) ( pq) r
∑(1, 3, 4, 5, 7)
（对分配）
(q p)( p r)(q r) （零律,同一律）
8
(2) 求 ( p q) (p r) 的合取范式。
解: ( p q) (p r)
(p q) ( p r)
（消去）
(p q p) (pq r) （ 对 分配）
p q r
（排中律,同一律）
9
极小项
定义 在含有n个命题变项的简单合取式中， 若每个命题变项均以文字的形式在其中出现 且只出现一次，而且第i（1 i n）个文字出 现在左起第 i 位上，这样的简单合取式称为 极小项. 如： p q， p q r
18
例1.19 由( p q) r 的真值表求其主析取范式.
p q r p q ( p q) r
000 0
0
001 0
0
010 1
0
011 1
1
100 1
0
101 1
1
110 1
0
111 1
1
主析取范式为： m3m5m7
19
作业: P36 17(1)(3)，18(1)，19
20
课堂练习：
12
由 p, q, r 三个命题变项形成的极小项:
公式 p q r p q r p q r p q r p q r
p q r p q r pqr
成真赋值 000 001 010 011 100 101 110 111
极小项
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
13
主析取范式
(pq)r m1m3m5 m6m7（主析取范 式）
17
例1.18 求下列公式的主析取范式. (1) (pq) ( p r ) (2) (( p q) r ) p
答案: (1) (pq) ( p r ) m2 m3m5 m7
(2) (( p q) r ) p m2 m4m5 m6m7
1）一个简单析取式为重言式当且仅当它同时含 有一个命题变项及它的否定；
2）一个简单和取式为矛盾式当且仅当它同时含 有一个命题变项及它的否定.
2
析取范式由:有限个简单合取式组成的析取式. A1A2Ar , 其中A1, A2, , Ar 是简单合取式
合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式. A1A2Ar , 其中A1, A2, , Ar 是简单析取式
主析取范式: 由极小项构成的析取范式. 例如，n=3, 命题变项为p, q, r时， (pqr)(pqr) m1m3 是主析取范式 A的主析取范式: 与A等值的主析取范式.
14
定理 任何命题公式都存在着与之等值的主析取 范式, 并且是惟一的.
用等值演算法求公式的主析取范式的步骤： (1) 先求析取范式; (2) 将不是极小项的简单合取式化成与之等值的 若干个极小项的析取，需要利用同一律、排中 律、分配律、等幂律 …… (3) 极小项用名称mi 表示，按角标从小到大顺序
排序.
15
求公式的主析取范式
例1.17 求公式 (pq)r 的主析取范式.
(pq)r
(pq)r , （析取范式） ①
其中 (pq)
(pq)(rr)
(pqr)(pqr)
m6m7 ,
②
16
r
(pp)(qq)r
(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)
m1m3m5m7
③
②, ③代入①并排序，得
(pq)r （消去） pqr （结合律） 这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的 析取式），又是A的合取范式（由一个简单析 取式组成的合取式）
6
(2) B = ( pq)r
解: (pq)r
(pq)r （消去第一个）
(pq)r （消去第二个）
(pq)r
（否定号内移——德摩根律）
这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）
10
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说明：n个命题变项产生2n个极小项，2n个极小
项均互不等值. 用mi 表示第i个极小项，其中i是 该极小项成真赋值的十进制表示, mi 称为极小 项的名称.
11
由 p, q 两个命题变项形成的极小项:
公式 p q p q p q
pq
成真赋值 00 01 10 11
极小项 m0 m1 m2 m3
由定义易知： 1）在析取范式（合取范式）中没有联结词 、 .
2）联结词 只出现在原子命题前面.
3）析取范式（合取范式）是合取式（析取式）的 析取式（合取式）.
3
范式:析取范式与合取范式的总称. 公式A的析取范式: 与A等值的析取范式 公式A的合取范式: 与A等值的合取范式 说明： 单个文字既是简单析取式，又是简单合取式 形如pqr, pqr 的公式既是析取范式， 又是合取范式 (为什么?)
继续： (pq)r
(pr)(qr) （对分配律）
这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）
7
例1.16 (1)求( pq) (p r) 的析取范式;
解: ( pq) (p r)
( pq) ( p r)
（消去）
( pq) ( p r)
（双重否定律）
( p p)(q p)( p r)(q r)
定理（范式存在定理） 任何命题公式都存在着 与之等值的析取范式与合取范式.
求公式A的范式的步骤： (1) 消去A中的, （若存在） (2) 内移或消去否定联结词 (3) 利用分配律
对分配（析取范式） 对分配（合取范式） 公式的范式存在，但不惟一，这是它的局限性.
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求公式的范式举例
例1.15 求下列公式的析取范式与合取范式: (1) A = ( pq)r 解 (pq)r
1.4 析取范式与合取范式
▪ 简单析取式与简单合取式 ▪ 析取范式与合取范式 ▪ 主析取范式与主合取范式
1
定义 文字:命题变项及其否定的总称. 简单析取式:有限个文字构成的析取式. 如 p, q, pq, pqr, … 简单合取式:有限个文字构成的合取式. 如 p, q, pq, pqr, …
由定义易知：
21
主范式的用途——与真值表相同
(1) 求公式的成真赋值和成假赋值
例如 (pq)r m1m3m5 m6m7， 其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111， 其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.
1. 证明： ⑴ p(qr) (pq)r
⑵ (p q) (p q) p
2. 求主析取范式：
⑴ (p q) r
∑(5)
⑵ ( pq) ( qr ) ∑(0, 1, 3, 7)
(3) ( pq) q r ∑(1, 3, 5, 7)
(4) ( pq) r
∑(1, 3, 4, 5, 7)
（对分配）
(q p)( p r)(q r) （零律,同一律）
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(2) 求 ( p q) (p r) 的合取范式。
解: ( p q) (p r)
(p q) ( p r)
（消去）
(p q p) (pq r) （ 对 分配）
p q r
（排中律,同一律）
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极小项
定义 在含有n个命题变项的简单合取式中， 若每个命题变项均以文字的形式在其中出现 且只出现一次，而且第i（1 i n）个文字出 现在左起第 i 位上，这样的简单合取式称为 极小项. 如： p q， p q r
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例1.19 由( p q) r 的真值表求其主析取范式.
p q r p q ( p q) r
000 0
0
001 0
0
010 1
0
011 1
1
100 1
0
101 1
1
110 1
0
111 1
1
主析取范式为： m3m5m7
19
作业: P36 17(1)(3)，18(1)，19
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课堂练习：
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由 p, q, r 三个命题变项形成的极小项:
公式 p q r p q r p q r p q r p q r
p q r p q r pqr
成真赋值 000 001 010 011 100 101 110 111
极小项
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
13
主析取范式
(pq)r m1m3m5 m6m7（主析取范 式）
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例1.18 求下列公式的主析取范式. (1) (pq) ( p r ) (2) (( p q) r ) p
答案: (1) (pq) ( p r ) m2 m3m5 m7
(2) (( p q) r ) p m2 m4m5 m6m7
1）一个简单析取式为重言式当且仅当它同时含 有一个命题变项及它的否定；
2）一个简单和取式为矛盾式当且仅当它同时含 有一个命题变项及它的否定.
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析取范式由:有限个简单合取式组成的析取式. A1A2Ar , 其中A1, A2, , Ar 是简单合取式
合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式. A1A2Ar , 其中A1, A2, , Ar 是简单析取式
主析取范式: 由极小项构成的析取范式. 例如，n=3, 命题变项为p, q, r时， (pqr)(pqr) m1m3 是主析取范式 A的主析取范式: 与A等值的主析取范式.
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定理 任何命题公式都存在着与之等值的主析取 范式, 并且是惟一的.
用等值演算法求公式的主析取范式的步骤： (1) 先求析取范式; (2) 将不是极小项的简单合取式化成与之等值的 若干个极小项的析取，需要利用同一律、排中 律、分配律、等幂律 …… (3) 极小项用名称mi 表示，按角标从小到大顺序
排序.
15
求公式的主析取范式
例1.17 求公式 (pq)r 的主析取范式.
(pq)r
(pq)r , （析取范式） ①
其中 (pq)
(pq)(rr)
(pqr)(pqr)
m6m7 ,
②
16
r
(pp)(qq)r
(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)
m1m3m5m7
③
②, ③代入①并排序，得
(pq)r （消去） pqr （结合律） 这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的 析取式），又是A的合取范式（由一个简单析 取式组成的合取式）
6
(2) B = ( pq)r
解: (pq)r
(pq)r （消去第一个）
(pq)r （消去第二个）
(pq)r
（否定号内移——德摩根律）
这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）
10
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说明：n个命题变项产生2n个极小项，2n个极小
项均互不等值. 用mi 表示第i个极小项，其中i是 该极小项成真赋值的十进制表示, mi 称为极小 项的名称.
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由 p, q 两个命题变项形成的极小项:
公式 p q p q p q
pq
成真赋值 00 01 10 11
极小项 m0 m1 m2 m3
由定义易知： 1）在析取范式（合取范式）中没有联结词 、 .
2）联结词 只出现在原子命题前面.
3）析取范式（合取范式）是合取式（析取式）的 析取式（合取式）.
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范式:析取范式与合取范式的总称. 公式A的析取范式: 与A等值的析取范式 公式A的合取范式: 与A等值的合取范式 说明： 单个文字既是简单析取式，又是简单合取式 形如pqr, pqr 的公式既是析取范式， 又是合取范式 (为什么?)
继续： (pq)r
(pr)(qr) （对分配律）
这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）
7
例1.16 (1)求( pq) (p r) 的析取范式;
解: ( pq) (p r)
( pq) ( p r)
（消去）
( pq) ( p r)
（双重否定律）
( p p)(q p)( p r)(q r)