单位根的性质的应用

单位根的性质的应用

把1的每一个n(n ∈N )次方根叫做n 次单位根，简称单位根．1的n 个单位根表示 数学问题时，可以大大地简化解证题过程．

下面仅把下文中用到的单位根的性质列举如下：

性质1 2110n εεε-++++=L ,进而可推广为若1n z =且z ≠1，则z 的任意连续n 个整数次幂的和为0，本结论可表示为：()110m m m n z z z m ++-+++=∈L Z

性质2 (),mn k k m k εε+=∈Z

下面简要说明单位根性质的应用．

一、在复数计算中的应用

2．计算：219991232000i i i ++++L (答案：－1000(1＋i))

二、在复数证明中的应用

例2 求证：二项方程(),0,,1n x z z z n n =∈≠∈>C N 的n 个根的和为零． (注：本题如应用韦达定理证，也较为简单)

三、在求三角函数式的值方面的应用

练习题：

四、在恒等式证明中的应用

证明：∵ε是1的七次方根，则71ε=．

∴原式得证．

练习题：

x^n=1的根εk =cos(2k π/n)+i*sin(2k π/n)，k=0,1,...,n-1,称为n 次单位根

性质一：n 次单位根的模为1，即|εk |=1

性质二：两个n次单位根εj与εk 的乘积还是一个n次单位根，且εjεk =εj+k

推论1：εj -1=ε-j

推论2：εk m =εmk

推论3：若k除以n的余数为r，则εk=εr

注：它说明εk等价于r=0

推论4：任何一个单位根都可以写成ε1的幂，即εk=ε1k

说明：除了ε1，还有没有另一个单位根εk使任何一个单位根都是εk的幂，回答是肯定的，并称这样的根为n次本原根，n次原根。从而所有n次单位根还可以写作

ε1,ε12,…,ε1n(ε0=1)

推论5：一个n次单位根的共轭也是一个n次单位根，即εk‘=εn-k(‘表示共轭)

因为εk‘εk=|εk|2，εk‘=1/εk=ε-k=εn-k (由推论3)

注：由上证明看到1/εk=εk‘，说明所有虚的n次单位根都成对共轭

推论6：对任意整数k,h，有εk h=εh k

性质三：A=1+ε1m+ε2m+…+εn-1m

当n|m时，A=n，否则A=0

证明：由性质二推论4有

A=1+ε1m+(ε12)m+…+(ε1n-1)m

=1+ε1m+(ε1m)2+…+(ε1m)n-1

=[1-(ε1m)n]/( 1-ε1m)=[1-(ε1n)m]/ (1-ε1m)=(1-1)/ (1 -ε1m)=0

推论1：∑(i从0到n-1) εi=0

推论2：设εk≠1，则∑(i从0到n-1) εk i=0

证明：由εk≠1，故n不整除k，由性质二推论4和性质三，

∑(i从0到n-1) εk i=∑(i从0到n-1) εi k=0

性质四：全部单位根将复平面上单位圆n等分。

练习：求1+C n3+C n6+C n9+…+C n3h-3+C n3h

其中3h是不大于n的最大的3的倍数。（[2n+2cos(nπ/3)]/3）

法则一：设f(x)和p(x)是两个已知的多项式，并设存在第三个多项式q(x)使

f(x)=p(x)q(x)

那么(1)若f(x)和p(x)的系数都是复数，则在复数范围内f(x)被p(x)整除

(2)若f(x)和p(x)的系数都是实数，则在实数范围内f(x)被p(x)整除

(3)若f(x)和p(x)的系数都是有理数，则在有理数范围内f(x)被p(x)整除

(4)若f(x)和p(x)的系数都是整数，且p(x)的首项系数是1，则在整数范围内f(x)

被p(x)整除

余数定理：多项式f(x)被x-a除余数为f(a)

法则二：x-a|f(x)等价于f(a)=0

法则三：f(a)=f(b)=0,a≠b,则x2-(a+b)x+ab|f(x)

推论1：若实系数多项式f(x)满足等式f(α+iβ)=0, α,β∈R且β≠0，则

X2-2αx+(α2+β2)|f(x)

推论2：若整系数多项式f(x)满足f(ω)=0, ω=-1/2+i√3/2,则

X2+x+1|f(x)

法则四：若多项式f(x)有f(a1)= f(a1)= f(a2)= …=f(a n)=0,且a i≠a j,i≠j,则

(x-a1)(x-a2)…(x-a n)|f(x)

推论：εk为n次单位根，若整系数多项式f(x)满足一组等式

f(εk)=0,其中k取1,2,…,n/2,n为偶数或取1,2,…,(n-1)/2,n为奇数，则

x n-1+x n-2+…+x+1|f(x)

练习1：f(x)=x3m+1+x3n+2+1,m,n是整数，证x2+x+1|f(x)

2：n是自然数，且f(x)=x n+2+(x+1)2n+1,则对任意整数k，k2+k+1|f(k)

3：求x1001-1被x4+x3+2x2+x+1除得的余式？（-x3+x2）

4：设Q(x),P(x)和R(x),S(x)都是多项式，满足

P(x5)+xQ(x5)+x2R(x5)=( x4+x3+2x2+x+1)S(x)

证明：x-1|P(x) (1976年美国第五届中学生数学竞赛试题)

4：设Q(x),P(x)和R(x),S(x),T(x)都是多项式，满足

P(x5)+xQ(x5)+x2R(x5)+x3T(x5)=( x4+x3+2x2+x+1)S(x)

证明：x-1|P(x)

练习1：x8+x6+x4+x2+1

注意各项系数相等，且x的指数8，6，4，2，0被5除后所得余数为3，1，4，2，0 2：x12+x9+x6+x3+1

3.1：x8+x4+1 (分成3个因式积)

3.2：x5+x+1 (分成2个因式积)

4：1+2a+3a2+4a3+5a4+6a5+5a6+4a7+3a8+2a9+a10

5：a2+(a+1)2+(a2+a)2

利用单位根，可以很容易地导出三次方程的求根公式

设ω是三次虚单位根，则ω+ω2=-1，ω3=1

容易验证

(x+ωy+ω2z)(x+ω2y+ωz)=x2+y2+z2-xy-yz-zx

从而

(x+y+z) (x+ωy+ω2z)(x+ω2y+ωz)=x3+y3+z3-3xyz

由此可见，关于x的三次方程

x3-3yzx+(y3+z3)=0,具有

x1=-(y+z)，x2=-(ωy+ω2z)，x3=-(ω2y+ωz) (1)

因此，如果已知一个三次方程x3+px+q=0 (2)

为了解它，只须令

-3yz=p (3)

y3+z3=q (4)

从(3)式得到

y3z3=-p3/27 (5)

从(4)和(5)式知道，y3和z3是下述一元二次方程的两个根：

X2-qX-p3/27=0

其根是X=q/2 ±√(q2/4+p3/27) (6)

由于(1)式中y和z是对称的，所以(6)式中可取任一个为y3，令一个为z3。因此，可取y=[q/2+√(q2/4+p3/27)]1/3 (7)

z=[q/2-√(q2/4+p3/27)]1/3 (8)

这里y，z可以各取三次方根中的一个，只须保证yz=-p/3即可。将(7)和(8)代入(1)，就得到三次方程(2)的求根公式，即卡丹公式。

练习：求一个有理系数方程，使它的根等于a4+a6+a7+a9,其中a是x13-1=0的根

（(y-4)(y3+y2-4y+1)=0 ）