函数的单调性 知识点与题型归纳

•高考明方向

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

★备考知考情

1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用．

2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现.

一、知识梳理《名师一号》P15

注意：

研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的

单调区间是定义域的子集单调区间不能并！

知识点一函数的单调性

1

2.单调性、单调区间的定义

若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间.

注意：

1、《名师一号》P16 问题探究问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？

(1)定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值．

(2)函数的单调区间必须是定义域的子集；

(3)定义的两种变式：

设任意x1，x2∈［a，b］且x1

① f (x1)- f (x2)0⇔f(x)在［a，b］上是增函数；

f(x

1)- f (x

2

)0 ⇔f(x)在［a，b］上是减函数．

x- x

②(x1－x2)［f(x1)－f(x2)］>0⇔f(x)在［a，b］上是增函数；

x- x

2

(x1－x2)［f(x1)－f(x2)］<0⇔f(x)在［a，b］上是减函数．

2、《名师一号》P16 问题探究问题2 单调区间的表示注意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

知识点二单调性的证明方法：定义法及导数法《名师一号》P16 高频考点例 1 规律方法

(1)定义法:

利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取

x1、x2∈D，且x1

(“分解因式” 、配方成同号项的和等) ；③依据差式的符号确定其增减性．

(2)导数法:

设函数y＝f ( x ) 在某区间D内可导．如果f′(x )>0 ，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)在区间D 内为减函数．

注意：(补充)

(1)若使得f′(x)=0 的x的值只有有限个，

3

4

则如果f ′(x )0，则f (x )在区间 D 内为增函数； 如

果 f ′(x ) 0 ，则 f ( x ) 在区间 D 内为减函数．

2)单调性的判断方法：

名师一号》P17 高频考点 例 2 规律方法 定义法及导

数法、图象法、 复合函数的单调性 (同增异

减) 、 用已知函数的单调性等

(补充)单调性的有关结论 1．若f (x )，g (x )均为增(减)函

数， 则 f ( x ) ＋g ( x ) 仍为增( 减) 函数．

2．若f (x )为增(减)函数，

则－f ( x ) 为减( 增) 函数，如果同时有 f ( x )>0 ，

3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．

4．y ＝f [g (x )]是定义在M 上的函数，

若 f ( x ) 与 g ( x ) 的单调性相同，

则其复合函数 f [ g ( x )]为增函数；

若 f ( x ) 、g ( x ) 的单调性相反，

则其复合函数 f [ g ( x )]为减函数．

简称” 同增异减”

5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶

函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．

函数单调性的应用 《名师一号》P17 特色专题

(1) 求某些函数的值域或最值．

(2) 比较函数值或自变量值的大小．

1 f ( x ) 为减(增)函数， f (x ) 为增(减)函数．

(3)解、证不等式．

(4)求参数的取值范围或值．

(5)作函数图象．

二、例题分析：

(一) 函数单调性的判断与证明

例 1.(1)《名师一号》P16 对点自测 1 判断下列说法是否正确

(1)函数

f(x)＝2x＋1 在(－∞，＋∞)上是增函数．( ) (2)函数f(x)＝1在其定义域上是减函数．( )

(3)已知f(x)＝x，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数．( )

答案：√ × √

例 1.(2)《名师一号》P16 高频考点例 1( 1)

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（2014·北京卷）下列函数中，在区间（0，＋∞）上为增函数的 是（ ）

A ．y ＝ x ＋1

B ．y ＝（x －1）2

C ．y ＝2－

x D ．y ＝log 0.5（x ＋1） 答案：A.

法一：定义法 设－1

x 11－x 2a ＋x 21

ax 1 x 2＋1 －ax 2 x 1＋1 x 1＋1 x 2＋1 a x 1 －x 2 x 1＋1 x 2＋1

∵－10，x 2＋1>0.

∴当 a >0 时，f (x 1)－f (x 2)<0，

即 f ( x 1)

∴函数 y ＝f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．

同理当 a <0 时，f (x 1)－f (x 2)>0，

即 f ( x 1)>f ( x 2) ，

∴函数 y ＝f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．

法二：导数法

例 2.（1）《名师一号》P16 判断函数 f （x ）＝ ax 在（－1， 高频考点 例 1（2） ＋∞）上的单调性，并证明．