数学文化漫谈(1)

2、古希腊认为数学是理念，是关于世界本质的学问。

毕达哥拉斯

在对世界本原的探索中，毕达哥拉斯学派发现，与日常的感性世界相对立的超感性世界是数的世界。“数是世界的本原”

毕达哥拉斯把学派的整个学习内容分为与数相关的四大部分：

㈠算术——数的绝对理论；㈡音乐——数的应用；㈢几何——静止的量；㈣天文——运动的量。合起来称为“四道”或“四艺”

柏拉图

成立欧洲历史上第一所综合性的、传授知识、培养上层统治者的学校(学园)。“不懂几何者不得入内”

认为数学应该划在理念世界之中，数学是研究理念世界的重要方面。强调只有理念在《理想国》中论述了“数”和理念的关系，强调“数”是最高理念善的一个重要方面，宇宙间的一切规律和理念都是合乎数理的，人身内各分子的合成以及星体的运动都可以用数学公式来表示，世界之形成是遵循数学公式的，这些公式或规律的总合就是最高真理的一个方面，是洞见永恒的理念的一个必要的阶梯。

亚里士多德

创立逻辑学(形式逻辑)并理解为论证的学问，被后人奉为演绎推理的圣经，对西方文化的演进影响甚大。提出“三段论法”。他的著作很多：《范畴学》《物理学》《气象学》《形而上学》《政治学》等

欧几里得

《几何原本》被称为数学家的圣经，在数学史，乃至人类科学史上具有无与伦比的崇高地位。

创立公理化方法，成为其后所有数学的样板。

3、数学是关于现实世界的空间形式和数量关系的科学。

1876年，恩格斯《反杜林论》：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系……”。《自然辩证法》：“数学是数量的科学”“我们的几何学是从空间关系出发，我们的算术和代数是从数量出发”。

4、数学具有双重性，它既是一门系统的演绎科学，又是一门实验性的归纳科学。

乔治·波利亚（G·Polya，1887～1985）是当代著名的数学家和数学教育家，美籍匈牙利人，其名著《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》(在我国广泛流传，至今仍对数学教育有着重要的指导意义。

5、数学是模式的科学，数学模型是活的数学

1怀特海（英）：“数学的本质就是研究相关模式的最显著的实例。”2.数学揭示出隐蔽的模式以帮助我们了解周围的世界。3.现代的数学已是一门丰富多彩的学科。现代的数学所处理的是科学中的数据、测量、观测资料；是推断、演绎、证明；是自然现象、人类行为、社会系统的数学模型。

数学模型是活的数学

事实上，每一门数学学科都是一种模型。

1.例如，微积分是物体运动的模型，概率论是偶然与必然现象的模型，欧氏几何是现实空间的模型，非欧几何是超维空间的模型。

2.数学模型是一种具有真实背景的抽象物，数学模型是创造性思维的产物.数学与其他科学不同，数学研究的不是现实世界的事物的模型本身，而是这些模型的一般模式，或者叫模型的模型

6、数学是一种高级语言，它是符号的世界

数学是一切科学的公共语言；数学符号语言的特色；数学是其它科学的工具和语言

7、数学是一种文化体系

数学文化与数学思想

数学不只是事实的堆砌；数学不限于技巧的运用。数学解题不等于创造；数学整体不等于数学杂技。数学考试只是把别人已经做过的题目重做一遍而已。

数学是一种“关系学”

1.数。运算关系，相等关系，序关系

2.形。全等、相似、同构，同胚

3.式。

等式关系 ---- 方程变量依赖关系 ---- 函数向量变换关系 ---- 矩阵最重要的关系：等价关系

重要的两个关系是：方程是未知数与已知数之间的等式关系，函数是变量间的依赖关系。数学和日常生活看不见数学的领域运用数学

1948年的数学地图；1948：美国仙农发表《信息的数学理论》1948：维纳发表《控制论》。

1948：冯·诺依曼：计算机方案形成；拓扑学：哥尼斯堡七桥问题

初唐诗人陈子昂诗云：“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怆然而涕下。”这是古人乃只今天人们对时间与空间的认识。

时间的模型是一条两端无限的直线：诗人处在原点。天地各为两个平面，悠悠地、无限地伸展着。我们的几何就是在这样的空间里展开的。实际上，地球上的几何就超出了这个范围：非欧几何。

对称与对仗：守恒思想

无限

无限是数学文化中的奇葩。数学，只有数学，正面向无限进军。有限过渡到无限：数学归纳法，极限，有理式到无理数。潜无限和实无限。函数处理无限的关系，影响深远。函数单调性的学习困难在于无限。微积分和文学意境：“孤帆远影碧空尽，惟见长江天际流”（极限的意境）“满园春色关不住，一枝红杏出墙来（无界变量的意境）

数学解题意境

“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。”（蝶恋花晏殊）“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。”（蝶恋花柳永）“众里寻他千百度,蓦然回首,那人正在,灯火阑珊处。”（青玉案辛弃疾）

8、数学是科学，它更是一门创造性的理性的艺术

美学四大支柱：诗歌音乐造型艺术数学

科学价值的评价标准：①美学标准②实用标准科学研究的任务判美析理

数学美的欣赏美观美好美妙美思

数学进入了绘画艺术

数学之美好：(a+b)2 = a2+ b2 (2ab) 二次方程求根公式，丑陋但美韦达定理，根与系数的关系数学之美妙：三条高交于一点（美妙）辅助线，代换，变形，对人的冲击。

9、数学是科学，数学也是一门技术

⑴国家的繁荣富强，关键在于高新的科技和高效率的经济管理。⑵数学科学对经济发展和竞争十分重要。

⑶高技术本质上是一种数学技术。

关于信息安全。密码研究涉及国家核心利益；数学是密码学的根基。信息压缩。

王选的汉字激光照排印刷技术；数字化电视大战；小波分析

10、数学是打开机会大门的钥匙

数学提供了有特色的思考方式

从它的学科结构看，数学是模型；从它的过程看，数学是推理与计算；从它的表现形式看，数学是符号；从它对人的指导看，数学是思想方法论；从它的社会价值看，数学是工具。

数学是一种意境

诗词——将世事升华为艺术情操，数学——从直觉跨越至理性意境。数学教育——把学生带入美丽的数学花园