概率论与数理统计初步(第一节随机事件与概率)

第七章 概率论与数理统计初步第一节 随机事件与概率1．1 随机试验与随机事件1．随机现象与随机试验自然界和社会上发生的现象是多种多样的。

有一类现象在一定的条件下必然发生或必然不发生，称为确定性现象。

例如，沿水平方向抛出的的物体，一定不作直线运动。

另一类现象却呈现出非确定性。

例如，向地面抛一枚硬币，其结果可能是“正面向上”，也可能是“反面向上”。

又如在有少量次品的一批产品中任意地抽取一件产品，结果可能抽得一件正品，也可能是抽得一件次品。

这类现象可看作在一定条件下的试验或观察，每次试验或观察的可能结果不止一个，而且在每次试验或观察前无法事先知道确切的结果。

人们发现，这类现象虽然在每次试验或观察中具有不确定性，但在大量重复试验或观察中，其结果却呈现某种固定的规律性，即统计规律性，称这类现象为随机现象。

概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。

定义1 在概率统计中，我们把对随机现象的一次观测称为一次随机实验，简称试验。

概率论中研究的试验具有如下特点：（1）可以在相同的条件下重复进行；（2）每次试验的结果具有多种可能，并且事先能明确试验的所有可能结果；（3）每次试验之前不能确定该次试验将出现哪种结果。

例1 掷一枚均匀 了，观察出现的点数。

试验的所有可能的结果有6个：出现点1，出现点2，出现点3，出现点4，出现点5，出现点6。

分别用1，2，3，4，5，6表示。

例2 将一枚均匀的硬币抛掷两次，观察出现正面、反面的情况。

试验的所有可能结果有4个：两次都出现正面，两次都出现反面，第一次出现正面而第二次出现反面，第一次出现反面而第二次出现正面。

分别用“正正”、“反反”、“正反”、“反正”表示。

2．随机事件在随机试验中，每一个可能的基本结果称为这个试验的一个基本事件。

全体基本事件的集合称为这个试验的样本空间，记为Ω。

在例1中，该随机试验有6个基本事件，分别为1，2，3，4，5，6，故该试验的样本空间}6,5,4,3,2,1{=Ω。

例2中的样本空间Ω= {“正正”，“反反”，“正反”，“反正”}。

在随机试验中，每一个可能的结果称为随机事件，简称事件，它是由随机试验的样本空间Ω中的部分基本事件组成的集合，常用大写字母A 、B 、C 等表示。

如在例1中 “出现奇数点”就是一随机事件，它是由3个基本事件1，3，5所组成的Ω的一子集。

显然，任何试验的每一个基本事件都是随机事件，它们是最简单的随机事件，而一般的随机事件是由若干个基本事件组成的。

在一次试验中，一个随机事件可能发生也可能不发生。

在每次试验中，当且仅当组成随机事件的若干个基本事件中的一个基本事件发生时，称该随机事件发生。

例如，在例2中，随机事件“两次出现的面不同”在一次试验中可能发生也可能不发生，当且仅当组成它的两个基本事件“反正”和“正反”中的一个发生时，则“两次出现的面不同”这一随机事件在这次试验中发生了。

有两种极端的情况：一是由样本空间Ω中的所有元素即全体基本事件组成的集合，称为必然事件，通常用Ω表示，它在每次试验中是一定会发生的；另一种是不含任何基本事件的空集合，称为不可能事件，通常用Φ表示，它在每次试验中一定不会发生。

在概率论中，我们是通过随机试验中的随机事件来研究随机现象的。

3．事件间的关系与运算由于事件是样本空间的某种子集，所以事件之间的关系和运算与集合的关系和运算是完全相同的。

设随机事件E 的样本空间为Ω，A 、B 、)2,1(Λ=i A i 是E 的事件。

（1）事件的包含与相等若事件A 的发生必然导致事件B 发生，则称事作B 包含事件A ，记为B A ⊂。

显然有,A A ∅⊂⊂Ω。

事件间的包含关系如图1.1所示。

若B A ⊂且A B ⊂，则称事件A 与B 相等，记为B A =。

（2）事件的和（或并）事件A 与事件B 至少有一个发生所构成的事件称为事件A 与B 的和事件，也称为事件A 与B 并，记为B A ⋃。

事件A 与B 的和事件B A ⋃如图1.2阴影部分所示。

B A ⋃ 图1.2,事件n A A A Λ,,21中至少有一个发生所构成的事件称为n A A A Λ,,21这 n 个事件的和事件(或并)，记为Y Λni i n A A A A 121==⋃⋃⋃。

（3）事件的积（或交）事件A 和B 同时发生所构成的事件称为事件A 与事件B 的积事件，也称为它们的交。

记为B A I （或AB ）。

事件A 与事件B 的交如图1.3阴影部分所示。

一般地，推广到 n 个事件，事件n A A A Λ,,21同时发生所构成的事件称为n A A A Λ,,21这 n 个事件的积事件（或交），记为I I ΛI I ni i n A A A A 121==。

B A - B A I图1.3图1.4 （4）事件的差若事件A 发生，而事件B 不发生所构成的事件，称为事件A 与事件B 的差，记为B A -。

事件A 与事件B 的差如图1.4所示.（5）互不相容（互斥）事件若事件A 和B 的积是不可能事件，即有φ=AB ，则称事件A 与事件B 互不相容，或称为互斥事件。

如图1.5所示。

一般地，若n 个事件n A A A Λ,,21中任意两个事件都互不相容，那么称这n 个事件是两两互不相容的，记为)(j i A A j i ≠Φ=。

A B =图1.5 图1.6（6）对立事件若事件A 和B 的和事件是必然事件，即Ω=B A Y ，并且事件A 和B 的积事件是不可能事件，即Φ=AB ，则称事件A 和B 是对立事件，或称互补事件，记为B A =或A B =。

如图1.6所示。

显然，事件A 的补事件A 就是从必然事件Ω中减去事件A 的差事件，即A A -Ω=。

由以上定义，显然可知，两个互为对立的事件一定是互不相容的，反之不一定成立。

4．事件运算的性质设A 、B 、C 是同一随机试验E 的事件，那么满足下列性质：性质1 交换律 A B B A Y Y =，BA AB =；性质2 结合律 )()(C B A C B A Y Y Y Y =，)()(BC A C AB =；性质3 分配律 AC AB C B A Y Y =)(，))((C A B A BC A Y Y Y =性质4 德摩根律（对偶律）B A B A =Y ，B A AB Y =性质5 对立律 Ω=+A A ，Φ=A A 。

例3 掷一骰子的试验E ，观测出现的点数：以事件A 表示“偶数点数”，事件B 表示“小于4的奇数点数”，事件C 表示“大于2的点数”，用集合语言表示下列事件：C A B A BC C B B A C B A Y Y ,,,,,,,,-Ω解 根据题意知}6,5,4,3,2,1{=Ω， }6,4,2{=A ，}3,1{=B ，}6,5,4,3{=C },6,4,3,2,1{=B A Y }1{=-C B ， }3{=BC ，}3,1{=B A ，}6,5,4,3,1{=C A Y例4 随机地抽取三件产品，设A 表示“三件产品中至少有一件是废品”，B 表示“三件中至少有两件是废品”,C 表示“三件都是正品”，问A ，B ，C A +，AC ，B A -各表示什么事件？解 A =“三件都是正品”； B =“三件产品中至多有一件废品”；C A +=Ω（必然事件）；Φ=AC （不可能事件）；B A -=“三件中恰有一件废品”。

例5 向目标射击两次，用A 表示事件“第一次击中目标”，用B 表示事件“第二次击中目标“，试用A 、B 表示下列各个事件：（1）只有第一次击中目标； （2）仅有一次击中目标；（3）两次都未击中目标； （4）至少一次击中目标。

解 显然，同题意可得：A 表示第一次未击中目标，B 表示第二次未击中目标。

（1）只有第一次击中目标隐含着第二次未击中目标，因此表示为B A 。

（2）仅有一次击中目标意味着第一次击中目标而第二次未击中目标或者第一次未击中目标而第二次击中目标，因此表示为B A B A Y 。

（3）两次都未击中目标显然可以表示为B A 。

（4）至少一次击中目标包括只一次击中目标或两次都击中目标，因此可以表示为AB B A B A Y Y 或B A Y 。

1．2 随机事件的概率1 频率定义2 对于事件A ，若在n 次试验中，事件A 发生的次数为n μ，则称nA A F n n 试验总次数发生的次数事件μ=)( 为事件A 在n 次试验中发生的频率，n μ称为事件A 在n 次试验中的频数。

容易理解，频率反映了事件A 在一次试验中发生的可能性的大小，频率大，则事件A 在一次试验中发生的可能性大；频率小，则事件A 在一次试验中发生的可能性小。

从频率的定义可看出频率具有下列性质：（1）非负性：0≤)(A F n ≤1；（2）规范性：1)(=Ωn F ；（3）可加性：若Φ=AB ，则)()()(B F A F B A F n n n +=Y 。

若n A A A Λ,,21是E 中两两互不相容事件，即有)(j i A A j i ≠Φ=，则)()()()(2121n n n n n n A F A F A F A A A F +++=ΛY ΛY Y 。

当试验次数不多时，频率)(A F n 具有随机性。

当试验次数增多时，事件A 的频率就会呈现出稳定的趋势；而当试验次数充分大时，事件A 的频率将在一个确定的常数附近作微小的摆动，这就是频率的稳定性。

频率的稳定性揭示了随机现象中的规律性即统计规律性。

2．概率频率的稳定性说明事件在一次试验中发生的可能性大小是事件本身所固有的，因此，我们可以对这种可能性的大小进行度量，为此引进概率的概念。

定义3 对于事件A ，用一个数)(A P 来度量该事件发生的可能性的大小，这个数)(A P 称为事件A 的概率。

概率)(A P 是怎样规定的呢？我们首先介绍概率的统计定义，然后再介绍概率的古典定义。

定义4 在同样条件下进行大量的重复试验，当试验次数充分大时，事件A 发生的频率必然稳定在某一确定的数p 附近，则P 称为事件A 的概率，记为)(A P ，即有p A P =)(。

以上定义称为事件概率的统计定义。

根据此定义和频率的有关性质可知概率具有以下性质：性质1 0≤)(A P ≤1；性质2 1)(=ΩP ；性质3 0)(=ΦP ；性质4 若事件A 与事件B 互不相容，则)()()(B P A P B A P +=Y 。

这一性质可以进行推广：设n A A A Λ,,21为两两互不相容的n 个事件，则)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=ΛY ΛY Y称以上性质为概率的有限可加性。

性质5 对事件A 及其对立事件A ，有)(1)(A P A P -=。

性质6 设A ，B 为两个事件，则有)()()()(AB P B P A P B A P -+=Y 。