第3章(3.1.1 准备知识-关于复噪声

第3章 加性高斯噪声中数字信号传输

准备知识

—匹配滤波器输出判决变量的统计特性

一、 两个随机过程的正交、不相关与统计独立的关系 1ξ(t ),2ξ(t ) — 平稳复随机过程

111()t ξξ=，221()t ξξτ≡+ — 复随机变量

1()

t ξ2()

t ξ1

ξ2

ξt 1

t 2

τ

1. 若E(1121()()t t ξτξ*

+)=0，或()τξξ21R =0，则1ξ与2ξ正交。

2. 若()τξξ21C ＝0，或()τρξξ21＝0，则1ξ与2ξ线性不相关

相关系数()τρξξ21＝

()2

1

21ξ

ξξξσστC =

()1212

1

2

R m m ξξξξ

ξξ

τσσ*

-

对正交的1t ξ()和2t ξ()，线性不相关的条件是1m ξ和2m ξ至少有一个为0。

注: (){}

12121121()()C E t m t m ξξξξτξτξ**

⎡⎤⎡⎤≡+--⎣⎦⎣⎦

121121()()E t t m m ξξξτξ**⎡⎤=+-⎣⎦ 3. 若1t ξ()与2t ξ()满足：

1) 两者都是高斯随机过程； 2) 线性不相关；

则1t ξ()与2t ξ()相互统计独立。

即，对高斯随机过程1t ξ()和2t ξ()，线性不相关与统计独立是等价的。 【推论】： 对高斯随机过程1t ξ()和2t ξ()，两者相互正交且至少有一个均值为0，

则它们是相互统计独立的。

2013年3月15日星期五讲于此！

二、匹配滤波器输出复高斯噪声的统计特征

2

m f ）

（U Z(t)Nm,Nmr,Nmi ~N(0,2EN 0)

(E)

Z,n c ,n s ~

N(0,N 0)

N 0

设MF 输入为等效低通零均值复白高斯噪声(平稳)

)()()(t jn t n t z s c +=

其一维分布为),0(~,,2σN n n z s c

实际上2~(0,)z CN σ。故有

()01

()()()2

E z t z N t τδτ*=-。 ⎩⎨⎧======2

2220

σ

σσσns nc z ns nc z m m m MF 输出)(t v 仍然为平稳、低通、复高斯过程。 任意时刻抽样值mi mr m jN N N +=为复高斯变量。

其中，0

()()T

m m N z t u t dt *

=

⎰

且 2

2

~(0,),

,~(0,)m m mr mi m N CN N N N σσ

实高斯变量与复高斯变量具有相同的数字特征。

()22

00000

000

11()()()()221()()()()2()()()()()T T m

m m m T T m m T T

m m T

m m E N E z t u t dt z u d E z t z u t u dtd N t u t u dtd N u t u t dt

σττττττ

δτττ******

*⎛⎫⎡⎤== ⎪

⎢⎥⎣⎦⎝⎭==-=⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰

故

2

2

000

()2T

m m N u t dt

EN σ==⎰

其中，2

01()2

T m E u t dt =

⎰

三、 匹配滤波器输出判决变量的统计特性

MF

r(t)(E)

j U ～

0(2,2)

r N E EN ρα0,2)

E EN ρα()

m u t

设发送)(t s m （或)(t u m ），且等能量 接收： ()()()j m r t e u t

z t

φα-=+ 实判决变量：()(){

}

Re T

j j j U e r t u t dt φ*=⎰

复判决变量：()()0

T j j j U e r t u t dt φ*=⎰

1. 复判决变量j

U 的统计特性（发m 收j ） ()()()()()()0

T

T T

j j j j j

j m j j U e r t u t dt e e u t u t dt e z t u t dt φφφφα*-**

==+⎰

⎰⎰

∴ 2j j

U E N αρ=+ 式中，()()01, 2T m j u t u t dt E

ρ*

=

⎰设() m u t 等能量为E 。 ()()()()0

T

j j j j

N e

z t u t dt e z t φ

φ*=⎰

，相位因子折算到的随机相位中 ()()00

~0,2~2,2j j N N EN U N E EN αρ∴

2. 实判决变量j U 的统计特性

()0Re[]2, ~0,2j j r jr jr U U E N N N EN αρ==+ 且 ()0~2,2j r U N E EN αρ∴