(6)万有引力与天体运动

一、对宇宙中复杂的天体受力运动的
简化
二、引力问题的基本运动方程 三、行星绕日运动的轨道与能量
解题知识与方法研究
一、对宇宙中复杂的天体受力运动的简化 （1）天体通常相距很远，故可将天体处理为质点. （2）很多时候，某天体的所受其他诸天体引力中仅有一个是主要的： a、可将该两天体作为二体问题处理. b、施力天体由于某些原因（如质量相对很大）在某惯性系中可认为几乎不动，这
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中学物理奥赛解题研究
第六专题
解题知识与方法研究
万有引力定律与天体运动
疑难题解答研究
例题1（天体轨道的判定） 例题2（利用万有引力作用下的质点 运动求椭圆曲率半径） 例题3（卫星“怪像”） 例题4（星球运动的阻力） 例题5（飞船着陆问题） 例题6（飞船和宇航站对接问题） 例题7（双星问题）
联立此两式消去vB解得 vr
h v0 97(m / s). R 设喷出的气体质量为Δm2, 对喷气前后的短暂过程，
( m m2 )vr m2 (u vr ) 0
v1
在沿原半径方向上由动量守恒有
A
vA
M o
P
v0 （1）
解得 燃料.
m2 116.4(kg).
显然， m2 m1. 所以选择第一种方式登月较省
m1 32.4(kg).
B M o
v2 vr v0
v0
P
（2） 因沿圆半径向外喷气使飞船在向心方向获 2 的速度vr， 从而飞船的速度变为v2 v0 vr2 . 同样有 角动量和能量守恒方程
vB R v0 ( R h)
（2）
1 Mm 1 2 Mm 2 m(v0 vr2 ) G mvB G 2 Rh 2 R
2GM R1
③
因此，新星体C的轨道为椭圆.
例2（利用引力作用下的质点运动求椭圆曲率半径） 行星绕太阳作椭圆运动，已 知轨道半长轴为A，半短轴为B，太阳质量记为MS. 试用物理方法求椭圆各定点处的曲率 半径. 解 行星运动情况如图.
Mm v 2 只要求得顶点处的速 据 F G 2 m ， r 度问题便不难解决！
v A R v1 ( R h ) v1
1 2 Mm 1 2 Mm mv1 G mvA G 2 Rh 2 R
2 gR 3 1628m / s 联立此两式消去vA解得 v1 ( R r )(2 R h)
A
vA
M o
P
v0 （1）
设喷出的气体质量为Δm1, 对喷气前后的短暂过程， 由动量守恒有 mv0 ( m m1 )v1 m1 (v1 u ) 解得
时问题很简单（我们通常讨论的就是这种情况）.
二、引力问题的基本动力学方程 如图，行星m在太阳M的有心引力作用下运动. 在太阳惯性参照系中，由牛顿运动定律和引力定律 有径向动力学方程
M
太阳
v
vr
v r
m
r
mar m(
dvr Mm r 2 ) G 2 dt r dvr =r ) 等于零. dt
v3
3
v1
C
2 A
v2
S
1
由顶点1、2、3处的机械能守恒和面积速度相等可得
B 4
M m 1 2 M m 1 2 1 2 M m mv1 G S mv2 G S mv3 G S 2 AC 2 AC 2 A 1 1 1 ( A C )v1 ( A C )v2 Av3 sin 2 2 2 B 由图可知 sin ， 代入②式得 A 1 1 1 ( A C )v1 ( A C )v2 Bv3 2 2 2
p L2 2 EL2 r . （其中，p , e 1 2 2 3 ） . 1 e cos GMm 2 G M m
r y
m
r0
m
b
轨道方程为一圆锥曲线方程： （1） E 0时，e 1，为椭圆， M 位于其中一个
焦点 （即开普勒第一定律）；
a
o
c
r
M

x
总能量为：
E
R3 mA R1 mB R2 mA 2mB R1 m A mB mA mB
①
C
ห้องสมุดไป่ตู้
R1
在切向： A、B合并过程中动量也守恒， 则有
(mA mB )vC mAv A mB vB
②
B A vB v C v A
R3 R2
日(M )
研究②式中的vA、vB：
GM 因A作圆运动，故v A . R1
由① ③解得
v1
① ②
③
GM S A C GM S A C GM S , v2 , v3 . B A B A A
求顶点1处的曲率半径ρ1：
m v12
1
F1 G
MSm ( A C )2
v1
A C GM S B A
v3
3
F3 v1
B2 将前面得到的v1代入， 即得 1 . A
例3（卫星怪像问题） 质量为m的人造卫星在绕地球（质量为Me）的飞行过程中， 由于受到微弱的摩擦阻力f（常量），不能严格按圆周轨道运动，而是缓慢地沿一螺旋 形轨道接近地球.因f 很小，轨道半径变化十分缓慢，每一周均可近似处理为半径为r的
圆周轨道，但r将逐周缩短. 试求在r轨道上旋转一周，r的改变量及卫星动能EK的改变量.
2 联立消去，解得b b R v ：
2GMR V2
设气体受到的阻力为f（等于星球所 受阻力），由动量定理知星球在Δt时间内 使气体的动量改变为
b
V
f t { ( b V t )}V
2
A
得到
v
f V 2b2 V 2 ( R 2
2GM R (V ). R
Wf f (2 r )
由功能关系，当卫星旋转一周时，有 W f E. 即
f (2 r )
GM e m r 2r 2
GMm , 2r GMm E . 2r EK
所以卫星每旋转一周，r的改变量为
r 4 r f （r减小） . GMm
3
动能的改变量为
EK E (2 rf ) 2 rf
现在觉得“卫星怪像”还怪不怪？
例4（星体运动的阻力）一个质量为M、半径为R的星球以速度V通过质量密度为
的非常稀薄的气体, 由于它的引力场，此星球将吸引迎面接近它的粒子，并俘获撞在它 表面上的所有的气体分子. 设相对于速度V，分子的热运动速度可忽略. 分子间的相互作 用不计. 求作用在星体上的阻力.
解 卫星的动能、势能、总机械能为
Mm Mm 1 1 EK mv 2 , EP G e , E mv 2 G e . 2 r 2 r 在运行中万有引力作为向心力 Mm v2 m G e2 r r 将此代入EK、E的表达式，可得到 GMm GMm , E 2r 2r 卫星旋转一周摩擦力做功为 EK
2 2
2GMR 2 ) 2 V
b R2 2GMR V2
例5（飞船着陆问题） 一质量为m=12×103kg的太空飞船在围绕月球的圆轨道上运动 ，其高度h=100km. 为使飞船落到月球表面，喷气发动机在图中P点作一短时间发动. 从喷
口喷出的热气流相对飞船的速度为u=10km/s，月球半径为R=170km，月球表面的落体加 速度g=1.7m/s2. 飞船可用两种不同方式到达月球（如图所示）：
行星的横向加速度 ar (
因为引力为有心力，故行星对太阳参考轴角动量 守恒
v
vr
v r
rmv sin rmvr r m 常量
2

m
此式变化后即得开普勒第二定律： 1 1 rv sin r 2 常量 2 2
表明： 开普勒第二定律不过角动量守恒定律的特殊表现. 开普勒第二定律不仅适用于行星的椭圆运动也将 适用于有心引力作用下的任何行星轨道运动.
解 为方便研究问题取星球为参照系.
b
V
气体分子的运动及与星球的碰撞如图所示. 在横截面为 S b 的圆柱体内的分子 才能与星球相碰.
2
A
v
研究圆截面边缘上的一个分子： 设被俘获前的瞬间（A点处） 的速度为v. 由机械能守恒得
1 2 GM 1 2 v V 2 R 2
由角动量守恒得
vR Vb
GMm 2a
y
m
r
b O
（2）E 0时，e 1，为双曲线的一支，M 位于
内焦点
总能量为：
GMm E a
a
M F (c,0)
x
（3）E 0时，e 1，为抛物线，M 位于焦点. 总能量为：
E 0
y
自行计算出上述三个能量值！ （能否不用高等数学？）
m O
M F
x
疑难题解答研究
例1（天体轨道的判定） 如图，太阳系中星体A做半径为R1的圆运动，星体B作抛
（1）向前喷射气流，使飞船到达月球背面的A点 （与P点相对），并相切. （2）向外喷射气流，使飞船得到一指向月球中心 的动量，飞船轨道与月球表面B点相切. 试计算上述两种情况下所需要的燃料量. 求出喷气前、后飞船的 解 喷气后，飞船轨道由圆变成了的椭圆的一部分 速度问题即可解决！ （如图）. 设飞船喷气前的速度v0，月球质量为M， 则有
2 v0 Mm m G ( R h) ( R h) 2
A
M o
P
v0 （1）
B M o
P
v0
月球表面的重力加速度为 g 代入上式，便得
v0
GM R2
gR 2 1652(m/s) Rh
（2）
（1）设飞船在P点向前方喷气后速度减为v1. 到达 A处速度为vA. 则由角动量守恒和能量守恒得
B M o
v2 vr v0
v0
P
题后思考
仔细研究如何计算喷出 的气体相对月球的速度！
GMm 可知，卫星旋转时总机械能的小增量E （实为减少)和轨道半径r 的小 2r 改变r的关系是 M em M m GM e mr GM e m E E (r r ) E (r ) (G r. ) (G e ) (r r )r 2r 2 2(r r ) 2r 由E
B作抛物线运动，机械能为零. 因而有
1 MmB 2 mB vB G 0. 2 R2
C
R1
所以
vB
2GM R2 vC
2GM GM （ v A ） 2 R1 R1
B A vB v C v A
日(M )
将vA、vB代入②得
R2 mA 2mB R3 R1 ① 利用①③，C星体的机械能为 mA mB 1 M (mA mB ) 2 EC (mA mB )vC G 2 RC 题后思考 1 GM M ( m A mB ) ( m A mB ) G 本题能不能直接判断？ m A 2 mB 2 R1 R1 EA<0，EB=0，EA+EB=？ m A mB 1 MmA (mA mB ) EC与(EA+EB )谁大谁小？ G 0. 2 (mA 2mB ) R1 C的轨道是什么？
C
2 A
v2
F1
S
1
求顶点3处的曲率半径ρ3：
B 4
M m M m B m F3 sin G S2 sin G S2 3 A A A
A2 将前面得到的v3代入， 即得 3 . B
2 v3
v3
GM S A
题后小结与思考 椭圆上其他点曲率半径能不能用此方法得到？ 求抛物线任意点的曲率半径、正弦曲线顶点的 曲率半径.
M
太阳
r
又因万有引力为保守力，故“太阳+行星”系统的机 械能守恒
当然，此方程也不限于
1 2 Mm mv (G 2 ) 常量 2 r
行星做椭圆轨道运动！
三、天体绕日运动的轨道与能量 根据万有引力定律和其他牛顿力学定律（角动 量守恒、机械能守恒等）可导出在如图的极坐标下
M
v
的绕日运动的天体的轨道方程：
物线运动. B在近日点处与太阳的相距为R2=2R1，且两轨道在同一平面上，两星体运动方
向也相同. 设B运动到近日点时，A恰好运动到B与太阳连线上. A、B随即发生某种强烈 的相互作用而迅速合并成一个新的星体. 其间的质量损失可忽略. 试证明新星体绕太阳的 运动轨道为椭圆. 解 计算新星体C的机械能. 设C距日R3,三星速度如图. 在径向： 可认为在A、B靠拢过程中质心未动. 所以C到太阳的距离为