电动力学-静电场答案

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第1章 静电场

1. 证明均匀介质部的极化电荷体密度p ρ，总等于自由电荷体密度f ρ的 －（1－

ε

ε0

）倍。

f ρ=⋅∇D

E])[(E)(P 00εεεχρ-⋅-∇=⋅-∇=⋅-∇=e P

f P ρε

ε

εεερ)(D])[(

001--=-⋅-∇=

2. 有一外半径分别为21和r r 的空心介质球，介质的介电常数为ε，使介质均匀带静止自由电荷f ρ，求 （1）空间各点的电场；

（2）极化体电荷和极化面电荷分布。 解 1）

由电荷分布的对称性可知：电场分布也是对称的。电场方向沿径向 故：1r r

<时

040

2

==⎰dV r r f

V ερπ)E( 或 0=)E(r

21r r r <<时 球壳体：

dr r r D r ds r

r f ⎰

⎰⎰==⋅1

2

2

44πρπ)(n D ])([)(3113r r r

r D f -=

ρ ])([)()(310013r

r r

r D r E f -==ερε 在2r r

>的球形外：

)()(21220

2023441

42

1

r r dr r r E r r r

f -=

=

⎰ρεπ

πρεπ )()(21222

03r r r

r E -=

ερ

式中 r εεε0= 写在一起

⎪⎪⎪⎩⎪⎪

⎪⎨⎧>-<<-<=)

(r )()(r

])([)(E 2212230

21310

13130r r r r r r r r r r r r f ερερ

2） r ])([)

(E D P 310013r

r

f --=-=ερεεε f p ρε

εερ0

--

=⋅-∇=P （与第一题相符） 表面：

013031

10101

1

=-=--⋅-=-⋅-===])([]E )[(n )p (p n 12r r r f r

r r r p ερεεσ 外表面：

222

210001302

2

r r r r

r r r p )()(E])([n )p (p n 12--=--⋅-=-⋅-===ερεεεεσ

3. 证明：当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的偏折 满足：

1

2

12tan tan εεθθ= 式中1ε和2ε分别为两介质的介电常数，

1θ和2θ分别为界面两侧电场线与法线的夹角。

证明：绝缘介质分界面上自由电荷密度0=f σ，故边值关系为：

t t E E 12=,n n D D 12= （012=-⨯)E (E n ,f σ=-⋅)D (D n 12）

若两种介质都是线性均匀的，即111E D ε=，222E D ε= ； 上边两式为:1122θθsin sin E E =，111222θεθεcos cos E E = 于是得： 1

2

12tan tan εεθθ=

4. 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面。 证明：设介质1为导体，介质2为绝缘体。

静电情况下：0=1E ,0=1D

由边值关系：012=-⨯)E (E n ,f σ=-⋅)D (D n 12 可得：t t E E 12=,f n n D D σ=-12 即，02=t E ，f n D σ=2 对于各向同性线性介质E D ε=

所以，n E ε

σf

= 即导体外的电场线垂直于导体表面

1 导体

2 绝缘体

5. 如图1，有一厚度为a 2，电荷密度为0ρ的均匀带电无限大平板，试用分离变量法求空间电势的分布。

解：以O 原点建立如图坐标系，为根据问题的对称性， 电势分布仅与x 有关，即一维问题。容易写出定解问题：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=)()

(a x dx d a x dx d i i 01

2

2

00

22ϕρεϕ

a x =时 e i ϕϕ= x

x e

i ∂∂=

∂∂ϕϕ 0=x 时 0=)(x i ϕ

直接求解得

2

02x i ερϕ-

= )(a x a e --

=220

ερϕ

图1

6. 半径a ，外半径为b 的两个同心导体球壳，令球接地，外球带电量Q ，试用分离变量法求空间电势分布。

解.根据球对称性，空间电势分布ϕ仅与r 有关，定结问题为：

⎩⎨⎧>=∇<<=∇)

()

(b r b r a 0

022

12ϕϕ

01==a r ϕ

r=b 时 21ϕϕ=

Q ds r

r =∂∂-∂∂⎰)(2010

ϕ

εϕε 02=∞→r ϕ

求解得

)(r a

b Q -

=

1401πεϕ )(b

a r

Q -

=

1401πεϕ