第二章弹性力学基础(推荐文档)

第二章弹性力学基础

弹性力学又称弹性理论，它是固体力学的一个分支。弹性力学任务是确定结构或机械零件在外载荷作用或温度改变等原因而发生的应力、位移和应变。

弹性力学与材料力学总的任务是相同的，但弹性力学研究的问题比材料力学要更加深刻和精确，并研究材料力学所不能解决的一些问题。

材料力学-----研究杆状构件（长度>>高度和宽度）在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。

弹性力学-----研究板壳、挡土墙、堤坝、地基等实体结构。对杆状构件作较精确的分析，也需用弹性力学。

结构力学-----研究杆状构件所组成的结构。例如桁架、刚架。

第一节弹性力学假设

在弹性力学中，所研究的问题主要是理想弹性体的线性问题，所谓理想弹性体的线性问题，是指符合以下假定的物体。

1. 假设物体是线弹性的

假定物体服从虎克定律，即应变与引起该应变的应力成正比，反映这一比例关系的常数，就是弹性常数。即该比例关系不随应力、应变的大小和符号而变。

由材料力学已知：

脆性材料的物体：在应力≤比例极限以前，可作为近似的完全弹性体；

韧性（塑性）材料的物体：在应力＜屈服极限以前，可作为近似的完全弹性体。

这个假定，使得物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加载的历史和加载顺序无关。

2. 假设物体是连续性的

假设整个物体的体积都被该物体介质完全充满，不留下任何空隙。有了这一假定决定了应力、应变、位移是连续的，可用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

注：实际上，一切物体都是由微粒组成的，都不能符合该假定。但是由于物体粒子的尺寸以及相邻粒子间的距离，

都比物体自己本身的尺寸小得很多，因此连续性假设不会引起显着的误差。

3. 假设物体是均匀性、各向同性的

整个物体是由同一材料组成的。这样整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，因而物体的弹性常数不随坐标而变化，可以取出该物体的任意一小部分来加以分析，然后把分析所得结果应用于整个物体。

各向同性是指物体内一点的弹性在所的各个方向上都是相同的，故物体的弹性常数不随方向而变化。

对于非晶体材料，是完全符合这一假定。而由木材，竹材等做成的构件，就不能作为各向同性体来研究；钢材构件基本上是各向同性的。

弹性常数？

凡是符合以上三个假定的物体，就称为理想弹性体。

4. 假设物体的位移和应变是微小的

假定物体在载荷或温度变化等外界因素的作用下所产生的位移远小于物体原来的尺寸，应变分量和转角都远小于1。

因此

①在建立物体变形以后的平衡方程时，可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸，而不至于引起显著的误差。

②在研究物体的应变和位移时，其二次幂或乘积，可略去不计。

按照以上四个基本假设研究物体中的应力、应变和位移问题的弹性力学，称为线性弹性力学。

第二节 外力、应力、应变和位移的符

号和记号

介绍弹性力学中常用的基本概念：外力、应力、应变和位移。

一、 外力

作用在物体上的外力，可分为两类：体积力和表面力。

1. 体积力（简称体力）

体积力分布在物体体积内部的力。

例如重力和惯性力。

注：

① 在物体内部各点的体积力是不相同的；

② 任一点P 处的单位体积内所作用的体积力，沿着直角 坐标轴x,y,z 三个方向的投影X,Y,Z ，称为该物体在P 点的体积力分量。

体积力只与质量成正比，为位置坐标的函数。一般表示为

T

v Q X Y Z ⎡⎤⎣⎦=

规定：体积力分量X,Y,Z 以坐标轴的正方向为正。 量纲：[力]/[长度]3

2. 表面力（简称面力）

作用在物体表面上的外力。

例如：压力容器所受到的内压、水坝所受的静水压力、

物体与物体之间接触压力及摩擦力等等。

注：

① 物体在其表面各点的表面力是不相同的；

② 在物体表面上任一点P 处的单位表面上的表面力，沿 着直角坐标轴x,y,z 三个方向的投影X ,Y ,Z ，称为该物体在P 点的表面力分量。

通常情况下，表面力是位置坐标的函数。一般用下式来表示

T s Q X Y Z ⎡⎤⎣

⎦= 规定：X ,Y ,Z 以坐标轴的正方向为正（弹性力学的规

定）。 量纲：[力]/[长度]2

二、应力(stress)

弹性体在外力作用下，其内部将要产生应力。

某一点P 处的应力状态：取PA=dx ，PB=dy ，PC=dz 的一个无穷小的正六面体，如图2-1所示。

将一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行。即每个面上的应力都可用三个应力分量来表示。

图2-1 直角坐标系下的应力分量

正应力(normal stress)：用σ表示。角标表示正应力的作用面和作用方向。例如σx是作用在垂直x轴的面上，同时沿x轴方向的正应力。

剪应力(shear stress)：用τ表示，加上两个角标。第一个角标表示作用面垂直哪一个坐标轴，第二个角标表示作用方向沿哪一个坐标轴。例如τxy是作用在垂直x轴的面上、而

沿y轴方向的剪应力。

应力分量的符号规定

（1）当某一截面的外法线与坐标轴正方向相同，称为正面 （如上面、右面和前面）。正面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。

（2）当某一截面的外法线与坐标轴负方向相同，称为负面（如下面、左面和后面）。负面上的应力分量以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。

注意：

（1）图中所示的应力分量全部为正（黑色为正面应力，红色为负面应力）；

（2）对于正应力，其符号规定与材料力学中的规定相同（拉应力为正，压应力为负）；

（3）对于剪应力，其符号规定与材料力学中的规定不完全相同；

（4）六个剪应力存在互等关系，即：

,,xy yx yz zy zx xz ττττττ===

（5）可以证明：如果x σ，y σ，z σ，xy τ，yz τ，zx τ这六个量在P 点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。

一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而