第十三章电磁场与麦克斯韦方程组习题解答和分析

第十三章习题解答

13-1 如题图13-1所示，两条平行长直导线和一个矩形导线框共面，且导线框的一个边与长直导线平行，到两长直导线的距离分别为r 1，r 2。已知两导线中电流都为0sin I I t ω=，其中I 0和ω为常数，t 为时间。导线框长为a 宽为b ，求导线框中的感应电动势。

分析：当导线中电流I 随时间变化时，穿过矩形线圈的磁通量也将随时间发生变化，用法拉第电磁感应定律d d i t

Φ

ε=-

计算感应电动势，其中磁通量s B d S Φ=⎰，B 为两导线产生

的磁场的叠加。

解：无限长直电流激发的磁感应强度为02I

B r

μ=

π。取坐标Ox 垂直于直导线，坐标原点取在

矩形导线框的左边框上，坐标正方向为水平向右。取回路的绕行正方向为顺时针。由场强的

叠加原理可得x 处的磁感应强度大小

00122()

2()

I

I

B r x r x μμ=

+

π+π+， 垂直纸面向里

通过微分面积dS adx =的磁通量为

00122()2()I I d B dS B dS adx r x r x μμππ⎡⎤

Φ===+⎢⎥++⎣⎦

通过矩形线圈的磁通量为

000122()2()b

I I adx r x r x μμΦ⎡⎤=+⎢⎥π+π+⎣⎦

⎰ 012012ln ln sin 2a r b r b I t r r μω⎛

⎫

++=

+ ⎪π⎝⎭

感生电动势

012012012012d ln ln cos d 2()()ln cos 2i a r b r b I t t r r a

r b r b I t r r μωΦ

εωμωω⎛⎫++=-

=-+ ⎪π⎝⎭⎡⎤

++=-

⎢⎥π⎣⎦

0i ε>时，回路中感应电动势的实际方向为顺时针；0i ε<时，回路中感应电动势的实际方

向为逆时针。

题图13-1 题图13-2

13-2 如题图13-2所示，有一半径为r=10cm的多匝圆形线圈，匝数N=100，置于均匀磁场B中（B=0.5T）。圆形线圈可绕通过圆心的轴O1O2转动，转速n=600rev/min。求圆线圈自图示的初始位置转过/2

π时，

(1) 线圈中的瞬时电流值（线圈的电阻为R=100Ω，不计自感）；

(2) 感应电流在圆心处产生的磁感应强度。

分析：应用法拉第电磁感应定律求解感应电动势。应用载流圆环在其圆心处产生的磁场公式求出感应电流在圆心处产生的磁感应强度。

解：(1) 圆形线圈转动的角速度

2

=20

60

n

π

ωπ

=rad/s

设t=0时圆形线圈处在图示位置，取顺时针方向为回路绕行的正方向。则t时刻通过该回路的全磁通

2

cos cos

NB S NBS t NB r t

ψωπω

===

电动势2

d

sin

d

i

NB r t

t

ψ

επωω

=-=

感应电流

2sin

i

i

NB r t

I

R R

επωω

==

将圆线圈自图示的初始位置转过/2

π时，

2

t

π

ω=

代入已知数值得：0.99

i

I A

=

(2) 感应电流在圆心处产生的磁感应强度的大小为

4

0 6.2210T

2

i

i

I

B N

r

μ

-

==⨯

i

B的方向与均匀外磁场B的方向垂直。

13-3 均匀磁场B被限制在半径R=10cm的无限长圆柱形空间内，方向垂直纸面向里。取一固定的等腰梯形回路abcd，梯形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如题图13-3所示。设磁场以

d

1T/s

d

B

t

=的匀速率增加，已知6cm

Oa Ob

==，

3

π

θ=，求等腰梯形回路abcd感生电动势的大小和方向。

分析：求整个回路中的电动势，采用法拉第电磁感应定律，本题的关键是确定回路的磁通量。解：设顺时针方向为等腰梯形回路绕行的正方向.则t时刻通过该回路的磁通量

题图13-3 题图13-4

B S BS Φ==

其中S 为等腰梯形abcd 中存在磁场部分的面积，其值为

2211

()sin 22

S R oa θθ=

- 电动势

d d d d i B S

t t Φε=-

=-2211d ()sin 22d B

R oa t

θθ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦ 代入已知数值 3

3.6810V i ε-=-⨯

“–”说明，电动势的实际方向为逆时针，即沿adcba 绕向。用楞次定律也可直接判断电动势的方向为逆时针绕向。

13-4 如题图13-4所示，有一根长直导线，载有直流电流I ，近旁有一个两条对边与它平行并与它共面的矩形线圈，以匀速度v 沿垂直于导线的方向离开导线.设t =0时，线圈位于图示位置,求：

(1) 在任意时刻t 通过矩形线圈的磁通量m Φ； (2) 在图示位置时矩形线圈中的电动势i ε。

分析：线圈运动，穿过线圈的磁通量改变，线圈中有感应电动势产生，求出t 时刻穿过线圈的磁通量，再由法拉第电磁感应定律求感应电动势。

解：(1) 设线圈回路的绕行方向为顺时针。由于载流长直导线激发磁场为非均匀分布，

02I

B x

μπ=

。因此，必须由积分求得t 时刻通过回路的磁通量。 取坐标Ox 垂直于直导线，坐标原点取在直导线的位置，坐标正方向为水平向右，则在任意时刻t 通过矩形线圈的磁通量为

00d d ln

22b vt

S

a vt

I Il b vt

l x x a vt

μμΦππ+++===+⎰⎰

B S （2）在图示位置时矩形圈中的感应电动势

00

()

d d 2i t Ilv b a t

ab

μΦ

επ=-=-

=

电动势的方向沿顺时针绕向。

13-5 如题图13-5所示为水平面内的两条平行长直裸导线LM 与L M '',其间距离为l ,其左端与电动势为0ε的电源连接.匀强磁场B 垂直于图面向里，一段直裸导线ab 横嵌在平行导线间（并可保持在导线上做无摩擦地滑动）,电路接通，由于磁场力的作用，ab 从静止开始向右运动起来。求:

(1) ab 达到的最大速度;

(2) ab 到最大速度时通过电源的电流I 。

分析：本题是包含电磁感应、磁场对电流的作用和全电路欧姆定律的综合性问题。当接通电源后，ab 中产生电流。该通电导线受安培力的作用而向右加速运动，由于ab 向右运动使穿过回路的磁通量逐渐增加，在回路中产生感应电流，从而使回路中电流减小，当回路中电流