粤教版高中物理必修一专题 临界问题

高中物理学习材料
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专题 临界问题
一、学法指导
（一） 临界问题
1．临界状态：在物体的运动状态变化的过程中，相关的一些物理量也随之发生变化。

当物体的运动变化到某个特定状态时，有关的物理量将发生突变，该物理量的值叫临界值，这个特定状态称之为临界状态。

临界状态是发生量变和质变的转折点。

2．关键词语：在动力学问题中出现的“最大”、“最小”、“刚好”、“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件。

3．解题关键：解决此类问题的关键是对物体运动情况的正确描述，对临界状态的判断与分析。

4．常见类型：动力学中的常见临界问题主要有两类：一是弹力发生突变时接触物体间的脱离与不脱离、绳子的绷紧与松弛问题；一是摩擦力发生突变的滑动与不滑动问题。

（二）、解决临界值问题的两种基本方法
1．以物理定理、规律为依据，首先找出所研究问题的一般规律和一般解，然后分析和讨论其特殊规律和特殊解。

2．直接分析、讨论临界状态和相应的临界值，找出相应的物理规律和物理值。

二、例题分析
【例1】质量为0.2kg 的小球用细线吊在倾角为 ＝0
60的斜面体的顶端，斜面体静止时，小球紧靠在斜面上，线与斜面平行，如图4-70所示，不计摩擦，求
在下列三种情况下，细线对小球的拉力（取g ＝10 2
/s m ）
(1) 斜面体以232
/s m 的加速度向右加速运动； (2) 斜面体以432
/s m ，的加速度向右加速运动；
【解析】解法1:小球与斜面体一起向右加速运动，当a 较小时，小球与斜面体间有挤压；当a 较大时，小球将飞离斜面，只受重力与绳子拉力作用。

因此要先确定临界加速度ao （即小球即将飞离斜面，与斜面只接触无挤压时的加速度），此时小球受力情况如图4-71所示，由于小球的加速度始终与斜面体相同，因此小球所受合外力水平向右，将小球所受力沿水平
方向和
图4-70
竖直方向分解
解，根据牛顿第二定律有 0cos ma T =θ，mg T =θsin
联立上两式得2
0/77.5s m a =
（1）1a =232/s m ＜5.772
/s m ,
所以小球受斜面的支持力N 1的作用，受力分析如图4-72所示，将T 1,
N 1沿水平方向和竖直方向分解，同理有 111s i n c o s ma N T =-θθ，mg s N T =+θθcos sin 11
联立上两式得T 1＝2.08N, N 1＝0.4N
（2) 2a =432/s m ＞5.772
/s m ,所以此时小球飞离斜面，设此时细
线
与水平方向夹角为0θ，如图4-73所示，同理有 202cos ma T =θ，
mg T =02sin θ
联立上两式得T 2＝2.43N, 0θ＝arctan 1.44
解法2:设小球受斜面的支持力为N ，线的拉力为T ，受力分析如图4-74
所示，将T 、N 沿水平方向和竖直方向分解，根据牛顿第二定律有
ma N T =-θθsin cos ，mg s N T =+θθcos sin
联立上两式得：T ＝m (g sin θ＋a cos θ ) cos θ
N ＝m (g cos θ一a sin θ）
当N ＝0时，即a ＝g cot θ＝5.772
/s m 时，小球恰好与斜面接触。

所以，当a ＞5.772
/s m 时，小球将飞离斜面；a < 5.772
/s m ，小球将对斜面有压力。

（以下同解法1，略）
评注：解法1直接分析、讨论临界状态，计算其临界值，思路清晰。

解法2首先找出所研究问题的一般规律和一般解，然后分析和讨论其特殊规律和特殊解。

本题考察了运动状态的改变与受力情况的变化，关健要明确何时有临界加速度。

另外需要注意的是，当小球飞离斜面时，细线与水平方向夹角不再是斜面倾角。

【例2】如图4-75所示，木块A 、B 静止叠放在光滑水平面上，A 的质量为m ，B 的质量为2m 。

现施加水平力F 拉B ，A 、B 刚好不发生相对滑动，一起沿水平面运动。

若改为水平力F ′拉A ，使A 、B 也保持相对静止，一起沿水平面运动，则F ′不得超过（ ）
A ．2F
B ．F/2
C ．3F
D ．F/3 【解析】水平力F 拉B 时，A 、B 刚好不发生相对滑动，这实际上是
将要
滑动，但尚未滑动的一种临界状态，从而可知此时A 、B 间的摩擦力即为最大静摩擦力。

先用整体法考虑，对A, B 整体：F = (m ＋2m) a
图4-71
图4-72
图4-73
图4-74
图4-75
再将A 隔离可得A 、B 间最大静摩擦力为：m f ＝ma 解以上两方程组得：m f ＝F/3
若将F ′作用在A 上，隔离B 可得：B 能与A 一起运动，而A 、B 不发生相对滑动的最大加速度 a ′＝m f / (2m)
再用整体法考虑，对A 、B 整体： F ′＝(m ＋2m) a ′
由以上方程解得：F ′＝F/2 【答案】B
评注：“刚好不发生相对滑动”是摩擦力发生突变（由静摩擦力突变为滑动摩擦力）的临界状态，由此求得的最大静摩擦力正是求解此题的突破口，同时注意研究对象的选择。

【例3】用细绳拴着质量为m 的重物，从深为H 的井底提起重物并竖直向上做直线运动，重物到井口时速度恰为零，已知细绳的最大承受力为T ，则用此细绳子提升重物到井口的最短运动时间为多少？
【解析】（1)由题意可知，“最大”承受力及“最短”作用时间均为本题的临界条件。

提重物的作用时间越短，要求重物被提的加速度越大，而细绳的“最大”承受力这一临界条件又对“最短”时间附加了制约条件。

显然这两个临界条件正是解题的突破口。

（2)重物上提时的位移一定，这是本题的隐含条件。

(3)开始阶段细绳以最大承受力T 上提重物，使其以最大加速度加速上升；紧接着使重物以最大加速度减速上升（绳子松驰，物体竖直上抛），当重物减速为零时恰好到达井口，重物这样运动所需时间为最短。

开始阶段，细绳以最大承受力T 上提重物，由牛顿第二定律得T 一mg ＝ma 设该过程的时间为t 1，达到的速度为v ，上升的高度为h ，则1at v =，2/2
1at h = 此后物体以速度v 做竖直上抛运劝，设所用时间为t 2，则 t 2＝v / g ， H 一h ＝v 2 /2g 总时间t ＝t 1＋t 2 解以上方程得 )(/2mg T g HT t -=
评注：该题还可以借助速度—时间图线分析何种情况下用时最短。

一般而言，物体可经历加速上升、匀速上升和减速上升三个阶段到达井口，其v －t 图线如图4-76中的图线①所示；若要时间最短，则应使加速上升和减速上升的加
速
度均为最大，其v －t 图线如图4-76中②所示。

显然在图线与坐标轴围成面积一定的条件下，图线②所需时间最短。

三、跟踪训练
1．如图4-77所示，质量分别为m 1= lkg 和m 2＝2kg 的A 、B
两物块并排放在光滑水平面上，若
图4-76
对A 、B 分别施加大小随时间变化的水平外力F l 和F 2，其中F 1＝（9一2t ）N ，F 2＝（3＋2t ）N ，则（1） 经多长时间t 0两物块开始分离？（2） 在同一坐标中画出两物块的加速度a 1和a 2随时间变化的图像。

2．如图4-78所示，质量为m 物体放在水平地面上，物体与水平地面间的动摩擦因数为μ，对物体施加一个与水平方向成θ角的力F ，试求：
（1） 物体在水平面上运动时力F 的值
（2） 力F 取什么值时，物体在水平面上运动的加速度最大？ （3） 物体在水平面上运动所获得的最大加速度的数值。

3．如图4-79所示，轻绳AB 与竖直方向的夹角θ＝0
37，绳BC 水平，小球质量m ＝0.4 kg ，问当小车分别以2.52
/s m 、82
/s m 的加速度向右做匀加速运动时，绳AB 的张力各是多少？（取g ＝102
/s m ）
4．如图4-80所示，A 、B 两个物体靠在一起，放在光滑水平面上，它们的质量分别为M A ＝3kg ，M B ＝6kg 。

今用水平力F A 推A ，同时用水平力F B 拉B ，F A 和 F B 随时间变化的关系是F A ＝9一2t （N ），F B ＝3＋Zt （N ）。

则从t ＝0到A 、B 脱离，它们的位移为多少？
图4-77
图4-78
图4-79
图4-80
5．如图4-81所示，已知两物体A 和B 的质量分别为M A ＝4kg ，M B ＝5kg ，连接两物体的细线能承受的最大拉力为80N ，滑轮的摩擦和绳子的重力均不计，要将物体B 提离地
面，作用在绳上的拉力F 的取值范围如何？（g 取l02
/s m ）
6．因搬家要把钢琴从阳台上降落到地面。

钢琴质量为175 kg ，钢琴的绳索能承受的最大拉力为1785N 。

钢琴先以0.5m/s 匀速降落，当钢琴底部距地面高h 时，又以恒定加速度减速，钢琴落地时刚好速度为零。

问h 的最小值是多少？（g 取l02
/s m ）
7．质量为4kg 的物体，放在水平面上，与水平地面间的动摩擦因数为μ=0.2。

现用一能承受最大拉力为28N 的细绳水平拉该物体。

求物体在细绳牵引下加速度的范围。

（取g ＝102
/s m ）
8．一质量为m 的物体刚好能沿倾角为θ＝0
37的斜面匀速下滑。

现把该物体放在斜面底端，沿斜面向上给物体施加一个恒力F 使物体沿斜面向上加速运动，求该物体运动的加速度大小为多少。

（已知sin 0
37＝0.6）
9．如图4-82所示，木块A 、B 静止叠放在光滑水平面上，A 的质量为m ，B 的质量为2m 。

A 、B 间的最大静摩擦力为f o
（1） 现施水平力F 拉B ，为使A 、B 不发生相对滑动，水平力F 不得超过多少？ （2） 现施水平力F 拉A ，为使A 、B 不发生相对滑动，水平力F 不得超过多少？
10．如图4-83所示，箱子的质量M ＝3.0 kg ，与水平地面间的动摩擦因数为μ＝0.22。

在箱子底板上放一质量为m l ＝2 kg 的长方体铁块；在箱子顶板处系一细线，悬挂一个质量m 2＝2.0 kg 的小球，箱子受到水平恒力F 的作用，稳定时悬线偏离竖直方向θ＝0
30角，且此时铁块刚好相对箱子静止。

求：（取g ＝102
/s m ）
（1） 水平恒力F 的大小。

（2） 铁块与箱子底板间的动摩擦因数。

（设最大静摩擦力等于滑
动摩擦力）
11．将劲度系数为k 的轻质弹簧上端固定，下端挂一质量为m 的物体，物体m 下面用一质量为M 的水平托板托着物体，使弹簧恰维持原长L 。

，如图4-84所示，如果使托板由静止开始竖直向下做加速度为a （a ＜g ）的匀加速运动，求托板M 与物体m 脱离所经历的时间为多少。

12．如图4-85所示，质量为M ＝5 kg 的光滑圆槽放置在光滑的水平面上，圆槽的圆弧所对圆心角为θ＝0
120。

圆槽内放一质量为m ＝l kg 的小球，今用一水平
恒力F 作用在圆槽上，并使小球相对圆槽静止随圆槽一起运动。

取g ＝l02
/s m 则：
（1） 当F ＝60N ，小球与圆槽相对静止时，求槽对小球的支持力 （2） 要使小球不离开槽而能和槽相对静止一起运动，F 不能超过多少？
13．如图4-86所示，三个物块质量分别为m 1 , m 2 、M ，M 与m l 用弹簧联结，m 2放在m l 上，用足够大的外力F 竖直向下压缩弹簧，且弹力作用在弹性限
度
图4-82
图4-83
图4-84
图4-85
以内，弹簧的自然长度为L 。

则撤去外力F ，当m 2离开m l 时弹簧的长度为___________，当M 与地面间的相互作用力刚为零时，m l 的加速度为________。

参考答案：
专题 临界问题
1、（1）2.5s （2）略
2、（1）
θθμθμsin sin cos mg F mg ≤≤+（2）θ
sin mg
（3）ϑcot g 3、（1）5N （2）
5.12N 4、4.17m 5、N F N 14490≤≤ 6、0.73m 7、2
/5s m a ≥ 8、g m
F
a μ2.1-= 9、(1) 3f (2) 1.5f 10、(1)47.84N (2)0.58 11、ka
a g m t )
(2-=
12、(1)14.14N (2)N 360 13、L ,
g m m M 1
1
+。