高中物理竞赛辅导之数学理论

将C(x)代入 y C( x)ep( x)dx 得通解为
两边积分得 C(x) Q(x)ep(x)dxdx C .
y
Q(
x)e
p(
x)
dxdx
C
e_ p( x)dx .
上式称为一阶线性非齐次程的通解公式.
上述求解方法称为常数变易法,用常数变易法求一阶非齐 次线性方程的通解的步骤为：
微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分 方程．特别当微分方程中所含的未知函数是一元函数时，这时的 微分方程就称为 常微分方程．
微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数的最高 阶数定义为该微分方程的阶数．
微分方程的解：如果将函数 y y ( x ) 代入微分方程后
能使方程成为恒等式，这个函数就称为该微分方程的解．
而另一边只含变量 x 的形式，即
dy f ( x)dx 其中g( y) 0
g ( y)
（2）两边积分：
dy g ( y)
f (x)dx
（3）计算上述不定积分，得通解. （4）依据初始条件，得通解.
例2 求 y' xy 0的通解．
解 方程变形为 dy xy , dx
分离变量得 两边积分得
dy xdx y 0 ,
kt m
)
.
k
由此可见，随着 t的增大，速度 v 逐渐变大且趋于
常数 mg ，但不会超过 mg ，这说明跳伞后，开始阶段
k
k
是加速运动，以后逐渐趋于匀速运动．
第二节 一阶线性微分方程与可降阶的高阶 微分方程
一、一阶线性微分方程 二、可降阶的高阶微分方程
第二节 一阶线性微分方程与可 降阶的高阶微分方程
的任意常数 C1和C2 ．
二、分离变量法
定义 2 形如 dy f ( x ) g ( y ) 的方程，称为可分离
dx
变量的方程.
可分离变量方程的特点：等式右边可以分解成两个函数之 积，其中一个只是 x 的函数，另一个只是 y 的函数．
可分离变量方程的解法：
（1）分离变量：将该方程化为等式一边只含变量 y ，
常微分方程
数学基本理论
第一节 常微分方程的基本概念与分离变量法
第二节 一阶线性微分方程与可降阶的高阶微 分方程 第三节 二阶常系数线性微分方程
忻州一中 解鸿志
第一节 常微分方程的基本概念与分离变量法
一、微分方程的基本概念 二、分离变量法
第一节 常微分方程的基本概念与分离变量法
一、微分方程的基本概念
dt
v |t0 0,
对上述方程分离变量得
dv dt ,
mg kv m
两边积分得
dv mg
kv
dt m
，
R kv P mg
可得 整理得
1 k
ln
|
mg
kv
|
t m
C1
，
v
mg
Ce
kt m
C
1
e
kC1
.
k
k
由初始条件得0 mg Ce0，即C mg ，故所求特解为
k
k
v
mg
(1
e
y
dy y
xdx
,
所以
求积分得
ln
|
y
|
1 2
x2
C1 ,
|
y |
e1 2
x
2
C1
e e C1
1 x2 2
,
即
y
源自文库
eC1
e
1 2
x
2
1 x2
Ce 2 (C
eC1 ) ,
方程通解为
y
1 x2
Ce 2
（
C
为任意常数）.
例 3 设降落伞从跳伞塔下落，所受空气阻力与速度
成正比，降落伞离开塔顶(t 0) 时的速度为零．求降落
微分方程的解有两种形式：一种不含任意常数；一种 含有任意常数．如果解中包含任意常数，且独立的任意常 数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为常微分方程 的通解，不含有任意常数的解，称为微分方程的特解．
初始条件：用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值 作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件．
一阶常微方程的初始条件为 y( x0 ) y0 ,其中 x0 ，
由初始条件 y(0) 0，我们得C1 C2 0，由初始条件 y(0) 1，得
C1 2C2 1. 所以C2 1，C1 1．于是，满足所给初始条件的特解为
y ex e2x ．
定义1 （线性相关，线性无关）设 函 数 y1( x), y2 ( x) 是 定 义 在区间(a,b)内的函数，若存在两个不全为零的数k1, k2，使得对于
y0 是两个已知数.
二阶微分方程的初始条件为
y(x0 ) y( x0 )
y0 , y 0 .
例 1 验证函数 y C1ex C2e2x ( C1,C2 为任意常数)
为二阶微分方程 y 3y 2 y 0 的通解，并求该方程满
足初始条件 y(0) 0, y(0) 1的特解． 解 y C1ex C2e2x , y C1ex 2C2e2x ,
(a,b)内的任一 x恒有
k1 y1 k2 y2 0
成立，则称函数 y1, y2在(a,b)内线性相关，否则称为线性无关．
y1
,
y2
线性相关的充分必要条件是y1 y2
在(a, b) 区间内
恒为常数．若 y1 y2
不恒为常数，则y1, y2 线性无关．当
y1
与 y2 线性无关，函数 y C1 y1 C2 y2 中含有两个独立
y C1ex 4C2e2x , 将 y, y, y代入方程 y 3y 2 y 0左端，得
C1ex 4C2e2x 3(C1ex 2C2e2x ) 2(C1ex C2e2x ) (C1 3C1 2C1 )e x (4C 2 6C 2 2C 2 )e 2 x 0 ,
所以，函数 y C1ex +C2 e2x 是所给微分方程的解．又因为，这个解中有两个独立 的任意常数，与方程的阶数相同，所以它是所给微分方程的通解．
伞下落速度与时间 t 的函数关系.
解 设降落伞下落 速度为 v(t) 时伞所受空气阻力为
kv（负号表示阻力与运动方向相反，k 为常数）．另外，
伞在下降过程中还受重力 P mg 作用，故由牛顿第二定律
得m
dv dt
mg
kv
且有初始条件：v
|t 0
0
于是，所给问题归
结为求解初值问题 m dv mg kv,
一、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的解法 （1） 先求齐次线性方程的解
分离变量得
dy P(x)dx , y
两边积分得 ln | y | P(x)dx C1, 即 y CeP(x)dx .
（2）常数变易法求非齐次线性方程的通解
令
y
C
(
x)e
P( x)dx
为非齐次线性方程的解,
代入得 C(x)e P(x)dx Q(x) ，即C(x) Q(x)eP(x)dx .