开放性问题的求解策略与教学特征-文档

开放性问题的求解策略与教学特征

近几年高考试题中，出现了不少立意深刻，背景新颖的开放性问题，即条件不完备，结论不确定，解题依据和方法往往不惟一，需要解题者积极探索方可解决的问题.这些问题既有利于考查学生的创新能力，也有利于发掘学生的最大潜能.在数学课堂教学中，积极开展开放式教学，对提高学生创造性地发现、提出、分析、解决问题是很有益的.

1 开放性问题的特点

1.1 问题内容的新颖性：这类问题背景新颖、解法灵活、综合性强，无现成模式可套用．

1.2 问题形式的生动性：这类问题有的追溯多种条件，有的探求多种结论，有的找寻多种解法，有的由变求不变或由变求变，有的以动求静或以动带动，很能体现现代数学气息．

1.3 问题解决的发散性：这类问题往往需要运用观察、类比、猜测、归纳、推断等多种探索活动寻求解题策略，具有广阔的思维空间．

1.4 问题功能的创造性：这类问题有时只给出一种情境，题目的条件和结论要求解题者在情境中自行寻找和设定，解题的模式和方法也是多种多样的，给解题者发挥创新精神、培养创新能力提供了良好的契机．

2 开放性问题的分类及求解策略

解答开放性问题，要能正确辨别题型，分析命题的结构特征，遵循解题的层次要求．开放性问题从知识面看具有综合性和渗透性，从思维方法看，具有灵活性和多向性．

2.1 条件开放型问题

对于只给出问题的结论，需解题者完备条件或探求出使结论成立的充分条件的一类问题，称之为条件开放型问题，这是一类变换思维方向，开拓逆向思维能力的题型．此类题的解题策略有两种：第一，模仿分析法，将题设和结论视为已知条件，分别进行演绎，再有机地结合起来，导出所需寻求条件;第二，

设出题目中指定的探索条件，将此假设作为已知，结合题设条件列出满足结论的等量或不等量关系．通过解方程或不等式，求出所需寻找的条件．

例ABC中，B(0, 6), C(0, -6).当直线AB AC的斜率之积满足什么条件时，A 点的轨迹是双曲线的一部分？分析如果我们想方设法探求两斜率之积需要满足怎样的条件，或者探求使A点轨迹为双曲线的一部分的充要条件，则由于目标太泛,难以得答案.其实,如果换一个角度,假设斜率已知,则问题就等价于已知斜率之积，求点A的轨迹方程”的问题了.

2.2 结论开放型问题

对于只给出条件,没有指出明确的结论或结论不确定,需要解题者探索出结论的一类问题,称之为结论开放型问题.它要求学生充分利用已知条件或图形特征进行大胆猜想透彻分析,从而发现规律,获取结论.此类题着重培养学生分析、归纳综合、推理等诸多能力.

解此类题的策略是：有时可以根据定义和定理,由条件直接进行演绎推理得到结论；有时可以通过具体到抽象特殊到一般的归纳得到结论,再加以证明；有时结论需在两种可能中选取,可采取反证法的思想来确定；有时还可用分类讨论法、数形结合法等.对于没有确定的结论,应由浅入深,多角度进行探讨,力求得到比较有意义的结论.

2.4 信息迁移型问题

以已有知识为基础,并在此基础上进一步引申；或定义新的情景,给出一定容量的新信息,要求依据新信息进行解题的开放题.

解此类问题的策略是：只需在理解新信息本质的基础上,掌握语言的翻译,新旧知识的转化,便可使问题顺利地解决.常用方法有：直接推导、以旧带新、特例和一般、类比和转化等方法.

2.6 存在开放型问题

此类题是指在一定条件下,判断某种数学对象是否存在,或证明一定存在,或一定不存在.它是一类综合性强覆盖面广,已知条件更加隐蔽的题型,要求学生充分根据题设条件,把握特征,对是否存在作出准确的判断和推断.

解此类题的策略是：对于是否存在这类问题，一般先假设结论的某一方面成立，进行演译推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结果，验证后，即可肯定假设正确.

（1）直接探求法将存在性问题当作普通的求解题型来处理，充分利用题设条件，运用有关定理和公式，进行推理和运算，将满足条件的数学对象解出来，整个推导过程就是验证过程.3 开放式问题教学的主要特征

第一,在教学中我们不应追求任何一种强制的统一，即每个学生在学习过程中都应有其一定的自主性，或者说，教师应当允许学生在学习的过程中存在一定“路径差”.

第二,应当给各种不同意见以充分的表达机会，包括让其他学生对所说的不同看法能有一个理解和评价的机会.显然，相对于上述的“路径差”而言，我们在此也应当明确地提出这样的思想：教师在教学中应允许学生在学习过程中表现出一定的“时间差”.

较为一般地说，上述两点也可以被看成通常所说的“对学生的头脑开放”这一提法的主要内涵，应当指明的是，后者并不能被理解为教师在此处于了完全被动的地位，只能消极地去等待各种不同意见的出现,恰恰相反，教师在此应当积极地去拓宽学生的“学习空间”.

第三,教师应当积极地拓宽学生的学习空间，特别是，就教学中问题的提出与表述而言，我们都应十分注意给学生留下充分的自由度.

第四，在学生已经做出多种不同解答的情况下，教师应积极引导学生对此做出进一步的比较和评价,包括通过比较去发现各种不同解答之间可能存在的逻辑联系，对于各种解答的准确性和有效性做出判断并给出必要的论证,以及给出必要的修正和推广；另外，我们又应帮助学生对自己在数学上的收获做出自觉的总结．显然，教师在上述的过程中也应发挥重要的引导作用. “本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”