探索性问题的常见类型及其求解策略

探索性问题的常见类型及其求解策略在近几年的高考试题中，有关探索性问题频频出现，涉及代数、三角、几何，成为高考的热点之一。

正因如此，初等数学中有关探索性问题也就成为大家研究的热点。

多年来笔者对此也做了一些探讨。

探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。

要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。

它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。

它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。

探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。

每一种类型其求解策略又有所不同。

因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。

下面分别加以说明：一、条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。

解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。

在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。

例1．（2002年上海10）设函数)(,2sin )(t x f x x f +=若是偶函数，则t 的一个可能值是 。

分析与解答：∵是偶又)().22sin()(2sin )(t x f t x t x t x f ++=+=+函数 ∴ )22sin()22sin()()(t x t x t x f t x f +-=++-=+即。

由此可得)(2)22(222222Z k k t x t x k t x t x ∈++--=+++-=+πππ或∴)(412Z k k t ∈+=π 评注：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力．二、结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。

解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。

在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。

例2． （2020年上海文12）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”。

设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列{}n a 的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 组。

（写出所有符合要求的组号）。

①S 1与S 2；②a 2与S 3；③a 1与a n ；④q 与a n . 其中n 为大于1的整数，S n 为{}n a 的前n 项和。

分析与解答：（1）由S 1和S 2，可知a 1和a 2。

由q a a =12可得公比q ，故能确定数列是该数列的“基本量”。

（2）由a 2与S 3，设其公比为q ，首项为a 1，可得211132112,,q a q a a S qa a q a a ++=== ∴q a a qa S 2223++=∴0)(23222=+-+a q S a q a满足条件的q 可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列{}n a 的基本量。

（3）由a 1与a n ，可得1111,a a q qa a nn n n ==--，当n 为奇数时，q 可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量。

（4）由q 与a n ，由1111,--==n nn n qa a q a a 可得，故数列{}n a 能够确定，是数列{}n a 的一个基本量。

故应填①、④评注：数学需要解题，但题海战术绝对不是学习数学的最佳策略。

本题考查确定等比数列的条件，要求正确理解等比数列和新概念“基本量”的意义。

如何能够跳出题海，事半功倍，全面考察问题的各个方面，不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解． 例3（2002上海）．规定()()11!mx x x x m C m --+=L ，其中x R ∈，m 是正整数，且01x C =，这是组合数mn C （n ，m 是正整数，且m n ≤）的一种推广． （Ⅰ）求515C -的值；（Ⅱ）组合数的两个性质：①m n m n n C C -=；②11m m mn n n C C C -++=是否都能推广到（x R ∈，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；（Ⅲ）我们知道，组合数mn C 是正整数．那么，对于mx C ，x R ∈，m 是正整数，是否也有同样的结论？你能举出一些m x C R ∈成立的例子吗？分析与解答：（Ⅰ）()()()515151619116285!C ----==-L ．（Ⅱ）一个性质是否能推广的新的数域上，首先需要研究它是否满足新的定义．从这个角度很快可以看出：性质①不能推广．例如当x =1无意义． 性质②如果能够推广，那么,它的推广形式应该是：11m m mx x x C C C -++=，其中x R ∈，m 是正整数．类比于性质①的思考方法，但从定义上是看不出矛盾的，那么，我们不妨仿造组合数性质的证明过程来证明这个结论．事实上，当1m =时，10111x x x C C x C ++=+=．当2m ≥时，()()()()()()()()()()()111112!1!121 11!121 !m m x x m x x x x m x x x m C C m m x x x m x m m m x x x m x m C -+--+--++=+---+-+⎛⎫=+⎪-⎝⎭--++==L L L L由此，可以知道，性质②能够推广．（Ⅲ）从m x C 的定义不难知道，当x Z ∉且0m ≠时，mx C Z ∈不成立，下面，我们将着眼点放在x Z ∈的情形．先从熟悉的问题入手．当x m ≥时，mx C 就是组合数，故mx C Z ∈．当x Z ∉且x m <时，推广和探索的一般思路是：能否把未知的情形（mx C ，x Z ∉且x m <）与已知的结论mn C Z ∈相联系？一方面再一次考察定义：()()11!mx x x x m C m --+=L ；另一方面，可以从具体的问题入手．由（Ⅰ）的计算过程不难知道：551519C C -=-．另外，我们可以通过其他例子发现类似的结论．因此，将515C -转化为519C 可能是问题解决的途径． 事实上，当0x <时，()()()()()()()1111111!!m m m mx x m x x x m x m x x C C m m -+---+-+--+-==-=-L L ．①若1x m m -+-≥，即1x ≤-，则1mx m C -+-为组合数，故mx C Z ∈．②若1x m m -+-<，即0x m ≤<时，无法通过上述方法得出结论，此时，由具体的计算不难发现：43C ＝0……，可以猜想，此时0mx C Z =∈．这个结论不难验证．事实上，当0x m ≤<时，在,1,,1x x x m --+L 这m 个连续的整数中，必存在某个数为0．所以，0mx C Z =∈．综上，对于x Z ∈且m 为正整数，均有mx C Z ∈．评注：类比是创造性的“模仿”，联想是“由此及彼”的思维跳跃．在开放题的教学中，引导学生将所求的问题与熟知的信息相类比，进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法、问题的结论等引申、推广或迁移，可由已知探索未知，由旧知探索新知，这既有利于培养学生的创新思维能力，又有利于提高学生举一反三、触类旁通的应变灵活性．三条件重组型这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题。

此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段。

一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求。

应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力。

例4 （1999年全国）α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外 的两条不同的直线，给出四个论断：①m ⊥n ②α⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 。

分析：本题给出了四个论断，要求其中三个为条件，余下一个为结论，用枚举法分四种情况逐一验证。

分析与解答：依题意可得以下四个命题：(1)m ⊥n ， α⊥β， n ⊥β⇒ m ⊥α；(2)m ⊥n ， α⊥β， m ⊥α⇒n ⊥β； (3)m ⊥α， n ⊥β， m ⊥α⇒ α⊥β；(4)α⊥β，n ⊥β，m ⊥α⇒m ⊥n 。

不难发现，命题(3)、(4)为真命题，而命题(1)、(2)为假命题。

故填上命题(3)或(4)。

例5． （2020年北京）已知三个不等式：0,0,0>->->bda c ad bc ab （其中a ，b ，c ，d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3分析与解答：若0,0,0>-=->->abad bc b d a c ad bc ab 则∴00,0>-⇒>->bda c ad bc ab 若0,0,0>->->abadbc b d a c ab 则0,0,00,0,000,0,0>⇒>->->∴>->->->-⇒>->>-∴ab bda c ad bc ab abadbc b d a c ad bc ad bc bda c ab ad bc 即则若即故三个命题均为真命题，选D 。

四、存在判断型这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立。

解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论。

其中反证法在解题中起着重要的作用。

例6、（2020年福建）已知[]11)(324)(32，R x x ax x x f -∈-+=在区间上是增函数。

（1）求实数a 的值组成的集合A ； （2）设关于x 的方程3312)(x x x f +=的两个非常零实根为x 1、x 2，试问：是否存在实数m ，使得不等式2121x x tm m -≥++对任意[]1,1-∈∈t A a 及恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由。