探索性问题的常见类型及其求解策略

探索性问题的常见类型及其求解策略

在近几年的高考试题中，有关探索性问题频频出现，涉及代数、三角、几何，成为高考的热点之一。正因如此，初等数学中有关探索性问题也就成为大家研究的热点。多年来笔者对此也做了一些探讨。

探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。

探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。每一种类型其求解策略又有所不同。因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。下面分别加以说明：

一、条件追溯型

这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。

例1．（2002年上海10）设函数)(,2sin )(t x f x x f +=若是偶函数，则t 的一个可能值是 。

分析与解答：∵是偶又)().22sin()(2sin )(t x f t x t x t x f ++=+=+函数 ∴ )22sin()22sin()()(t x t x t x f t x f +-=++-=+即。由此可得

)(2)22(222222Z k k t x t x k t x t x ∈++--=+++-=+πππ或∴)(4

1

2Z k k t ∈+=

π 评注：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力．

二、结论探索型

这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。

例2． （2020年上海文12）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”。设

{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列{}n a 的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的

是第 组。（写出所有符合要求的组号）。 ①S 1与S 2；②a 2与S 3；③a 1与a n ；④q 与a n . 其中n 为大于1的整数，S n 为{}n a 的前n 项和。 分析与解答：（1）由S 1和S 2，可知a 1和a 2。由

q a a =1

2

可得公比q ，故能确定数列是该数列的“基本量”。

（2）由a 2与S 3，设其公比为q ，首项为a 1，可得

211132

112,,q a q a a S q

a a q a a ++==

= ∴q a a q

a S 222

3++=

∴

0)(23222=+-+a q S a q a

满足条件的q 可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列{}n a 的基本量。

（3）由a 1与a n ，可得1

11

1,a a q q

a a n

n n n =

=--，当n 为奇数时，q 可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量。 （4）由q 与a n ，由1

11

1,--=

=n n

n n q

a a q a a 可得，故数列{}n a 能够确定，是数列{}n a 的一个基本量。 故应填①、④

评注：数学需要解题，但题海战术绝对不是学习数学的最佳策略。本题考查确定等比数列的条件，要求正确理解等比数列和新概念“基本量”的意义。如何能够跳出题海，事半功倍，全面考察问题的各个方面，不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解． 例3（2002上海）．规定()()11!

m

x x x x m C m --+=

L ，其中x R ∈，m 是正整数，且0

1x C =，

这是组合数m

n C （n ，m 是正整数，且m n ≤）的一种推广． （Ⅰ）求5

15C -的值；

（Ⅱ）组合数的两个性质：①m n m n n C C -=；②11m m m

n n n C C C -++=

是否都能推广到（x R ∈，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；

（Ⅲ）我们知道，组合数m

n C 是正整数．那么，对于m

x C ，x R ∈，m 是正整数，是否也有同样的结论？你能举出一些m x C R ∈成立的例子吗？

分析与解答：（Ⅰ）()()()5

15151619116285!

C ----=

=-L ．

（Ⅱ）一个性质是否能推广的新的数域上，首先需要研究它是否满足新的定义．从这个

角度很快可以看出：性质①不能推广．例如当x =

1

无意义． 性质②如果能够推广，那么,它的推广形式应该是：11m m m

x x x C C C -++=，其中x R ∈，m 是

正整数．

类比于性质①的思考方法，但从定义上是看不出矛盾的，那么，我们不妨仿造组合数性质的证明过程来证明这个结论．事实上，

当1m =时，101

11x x x C C x C ++=+=．当2m ≥时，

()()()()

()()()()()()()

11

1112!1!121 11!121 !

m m x x m x x x x m x x x m C C m m x x x m x m m m x x x m x m C -+--+--++=+

---+-+⎛⎫

=

+

⎪-⎝⎭

--++=

=L L L L

由此，可以知道，性质②能够推广．

（Ⅲ）从m x C 的定义不难知道，当x Z ∉且0m ≠时，m

x C Z ∈不成立，下面，我们将着眼点放在x Z ∈的情形．

先从熟悉的问题入手．当x m ≥时，m

x C 就是组合数，故m

x C Z ∈．

当x Z ∉且x m <时，推广和探索的一般思路是：能否把未知的情形（m

x C ，x Z ∉且x m <）

与已知的结论m

n C Z ∈相联系？

一方面再一次考察定义：()()

11!

m

x x x x m C m --+=

L ；另一方面，可以从具体的问题入手．

由（Ⅰ）的计算过程不难知道：55

1519C C -=-．另外，我们可以通过其他例子发现类似的结

论．因此，将515C -转化为5

19C 可能是问题解决的途径． 事实上，当0x <时，