练习册-第2章《质点力学的运动定律--守恒定律》答案(1)

第2章 质点力学的运动定律 守恒定律

一、选择题

1(C)，2(E)，3(D)，4(C)，5(C)，6(B)，7(C)，8(C)，9(B)，10(C)，11(D)，12(A)，13(D)

二、填空题

(1). ω2=12rad/s ，A=0.027J (2). 290J (3). 3J (4). 18 N ·s

(5). j t i t 23

23+ (SI) (6). 16 N ·s ， 176 J (7). 16 N ·s ，176 J (8). M k l /0，M

k nm M Ml +0 (9). j i

5- (10).

2m v ， 指向正西南或南偏西45°

三、计算题

1. 已知一质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x 的平方成反比，即2

/x k f -=，k 是比例常数．设质点在 x =A 时的速度为零，求质点在x =A /4处的速度的大小．

解：根据牛顿第二定律

x m t x x m t m x

k f d d d d d d d d 2

v

v v v =⋅==-

= ∴ ⎰⎰-=-=4

/202d d ,d d A A

x mx k

mx x k v v v v v k mA

A A m k 3

)14(212=-=v

∴ )/(6mA k =v

2. 质量为m 的子弹以速度v 0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为Ｋ，忽略子弹的重力，求：

(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式； (2) 子弹进入沙土的最大深度．

解：(1) 子弹进入沙土后受力为－Ｋv ，由牛顿定律

t

m

K d d v

v =- ∴ ⎰

⎰=-=-

v v v v

v

v 0

d d ,d d 0t t m K t m K

∴ m

Kt /0e -=v v

(2) 求最大深度 解法一： t x

d d =

v

t x m

Kt d e

d /0-=v

t x m Kt t

x

d e d /0

00

-⎰

⎰

=v

∴ )e

1()/(/0m

Kt K m x --=v

K m x /0max v =

解法二： x m t x x m t m K d d )d d )(d d (d d v

v

v v v ===- ∴ v d K m

dx -=

v v d d 0

00

max ⎰⎰-=K m

x x

∴ K m x /0max v =

3. 一物体按规律x ＝ct 3

在流体媒质中作直线运动，式中c 为常量，t 为时间．设媒质对物体的阻力正比于速度的平方，阻力系数为k ，试求物体由x ＝0运动到x ＝l 时，阻力所作的功．

解：由x ＝ct 3可求物体的速度： 23d d ct t

x

==

v 物体受到的阻力大小为： 34

32

42299x kc t kc k f ===v 力对物体所作的功为：

⎰=W W d =⎰-l

x x kc 03

43

2d 9 =

7

273

7

3

2

l

kc -

4. 一质量为2 kg 的质点，在xy 平面上运动，受到外力j t i F

2

244-= (SI)的作用，t = 0

时，它的初速度为j i

430+=v (SI)，求t = 1 s 时质点的速度及受到的法向力n F .

解： j t i m F a 2

122/-==

t a d /d v = ∴ t j t i d )122(d 2

-=v

=⎰v v v 0

d ⎰-t

t j t i 0

2

d )122(

∴ j t i t 3

042-=-v v

j t i t j t i t

)44()23(42330-++=-+=v v

当t = 1 s 时， i

51=v 沿x 轴

故这时， j a a y n

12-==

j a m F n n

24-== (SI)

5.一辆水平运动的装煤车，以速率v 0从煤斗下面通过，每单位时间内有质量为m 0的煤卸入煤车．如果煤车的速率保持不变，煤车与钢轨间摩擦忽略不计，试求： (1) 牵引煤车的力的大小； (2) 牵引煤车所需功率的大小；

(3) 牵引煤车所提供的能量中有多少转化为煤的动能？其余部分用于何处？

解：(1) 以煤车和∆t 时间内卸入车内的煤为研究对象，水平方向煤车受牵引力F 的作用，由动量定理： 000)(v v M t m M t F -+=∆∆ 求出： 00v m F =

(2) 2

000v v m F P ==

(3) 单位时间内煤获得的动能： 2

02

1v m E K =

单位时间内牵引煤车提供的能量为 P E =

==2

1

/E E K 50％

即有50％的能量转变为煤的动能，其余部分用于在拖动煤时不可避免的滑动摩擦损耗．

6.一链条总长为l ，质量为m ，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的长度为a ．设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为μ．令链条由静止开始运动，则

(1)到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？

(2)链条刚离开桌面时的速率是多少？

解：(1)建立如图坐标.

某一时刻桌面上全链条长为y ,则摩擦力大小为 g l

y

m f μ=

摩擦力的功 ⎰⎰

--==0

d d a

l a

l f y gy l

m

y f W μ

=

02

2a

l y l

mg

-μ =2)(2a l l

mg

--

μ

(2)以链条为对象，应用质点的动能定理 ∑W ＝

2022

121v v m m -

其中 ∑W = W P ＋W f ，v 0 = 0

W P =⎰l

a x P d =l

a l mg x x l mg l

a 2)

(d 22-=⎰

由上问知 l

a l mg W f 2)(2

--=μ

y a

l -a

v 0

a

-a