(整理)复化梯形法复化矩形法变步长梯形变步长辛普森

陕西科技大学

机械教改班

用C++的积分

其实积分的思想就是,微分—>求和—>取极限，如果是用纯手工法那就是先对一个函数微分，再求出它的面积，在取极限，因为我们的计算速度和计算量有限，现在有了计算机这个速度很快的机器，我们可以把微分后的每个小的面积加起来，为了满足精度，我们可以加大分区，即使实现不了微分出无限小的极限情况，我们也至少可以用有限次去接近他，下面我分析了四种不同的积分方法，和一个综合通用程序。

一．积分的基本思想

1、思路：微分—>求和—>取极限。

2、Newton —Leibniz 公式 ⎰-=b

a a F

b F dx x f )

()()( 其中，)(x F 被积函数

)(x f 的原函数。 3、用计算机积分的思路

在积分区间内“微分—>求和—>控制精度”。因为计算机求和不可以取极限，也就是不可以无限次的加下去，所以要控制精度。

二．现有的理论

1、一阶求积公式---梯形公式

⎰=+-=b a T b f a f a b dx x f )]()([2

)( 他只能精确计算被积函数为0、1次多项式时的积分。 2、二阶求积分公式——牛顿、科特斯公式 ⎰=+++-=b

a S

b f a b f a f a b dx x f )]()2(4)([6)(

他只能精确计算被积函数为0、1、2、3次多项式时的积分。

三．四种实现方法

1.复化矩形法

将积分区间[a,b]等分成n 个子区间:

],[],[],[],[],[112322110n n n n x x x x x x x x x x ---、、、 则h=(b-a)/n,区间端点值k x =a+kh

)hf(x ))f(x x (x I 11121=-=

)()()x (22232x hf x f x I =-=

............................

)()()(111n ---=-=n n n n x hf x f x x I

∑==n

i i x hf T 1n )(

源程序：

#include

#include

double f(double x) //计算被积函数

{

double y;

y=log(1+x)/(1+x*x); //被积函数

return y;

}

double Tn(double a,double b,int n) //求Tn

{

double t=0.0;

double xk; //区间端点值

double t1,t2; //用来判断精度

do

{

double h=(b-a)/n;

for(int k=1;k<=n-1;k++) //每一小段的矩形叠加

{

t1=t;

xk=a+k*h;

t+=h*f(xk);

t2=t;

}

n++; //如果精度不够就对区间再次细分，直到达到精度要求 }

while(fabs(t1-t2)<=1e-7); //判断计算精度

return t;

}

void main()

{

double a=0.0; //积分下线

double b=2.0; //积分上限

int n=1024; //把区间分为1024段

cout<

}

执行结果：

2.复化梯形法

方法和复化矩形法类似，只是把原来的矩形小面积变成了梯形小面积，但是精确度明显提高了，也就是说达到同样的精度需要的时间少了。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∑∑-==111)(2)()(2n k k n

i i x f b f a f h I 变形一下：

∑-=++=11

n )()]()([21n k k x f h b f a f h T 源程序：

#include

#include

double f(double x) //计算被积函数

{

double y;

y=log(1+x)/(1+x*x); //被积函数

return y;

}

double Tn(double a,double b,int n) //求Tn

{

double t=0.0;

double xk; //区间端点值

double t1,t2,h=(b-a)/n; //用来判断精度

do

{

h=(b-a)/n;

for(int k=1;k<=n-1;k++) //余项叠加，相当于每一个小梯形相加 {

t1=t;

xk=a+k*h;

t+=f(xk);

t2=t;

}

n++; //如果精度不够就对区间再次细分，直到达到精度要求

}

while(fabs(t1-t2)<=1e-7); //判断计算精度

t=h*(f(a)+f(b))/2+t*h; //加上初项就是积分结果了

return t;

}

void main()

{

double a=0.0; //积分下线

double b=2.0; //积分上线

int n=1024; //把区间分为1024段

cout<

}

执行结果：

3.变步长梯形法

上面我们在应用复化积分法的时候会对区间进行分割，但是在要求精度是我们也不知道事先应该分割成多少段，分的少了精度达不到，分的多了计算量太大，为了解决这个问题我在上面加了一个循环，来不断地对区间进行再次划分，直到达到精度要求，变步长积分法与我用的方法类似，只不过变步长积分法的区间划分时成倍增加的。

实现方法；

由复化梯形法知道；

∑-=++=11

n )()]()([21n k k x f h b f a f h T 步长h=(b-a)/n

现在将步长分半，即在相邻两节点[]1,+k k x x 的中点)(2

1121

+++=k k k x x x 处增加一个求积节点，那么 []∑∑-=+-=⋅+⋅++=102

1112)(2)(24)()(n k k n n k k n n n x f h x f h b f a f h T 变形一下：