统计学(第六版)贾俊平 公式整理

E ( X ) x1 p1 x 2 p 2 x n p n xi pi
2 D( X ) [ xi E ( X )]2 pi
PX x C p x q n x E ( X ) np E ( X ) npq
x n i 1
P( X )
n n
( z 2 ) 2 2 E2 ( z 2 ) 2 (1 ) E2
假设检验
名称 总体均值检验的统计量（正态总体， 已知） z 总体均值检验的统计量（ 未知，大样本） 公式
x 0
z
/ n x 0
s/ n x 0 p 0
总体均值检验的统计量（正态总体， 未知， t 小样本） s/ n 总体比例检验的统计量
z
0 (1 0 )
n (n 1) s 2
总体方差检验的统计量 两个总体均值之差检验的统计量（ 1 ， 2 已 知）
2 2
2
z
02
12
n1
2 2
( x1 x2 ) ( 1 2 ) n2
两个总体均值之差检验的统计量（ 1 ， 2 未 知但相等，小样本）
x e
x！

E ( X ) xf ( x)d ( x) D ( X ) [ x E ( X ) ]2 f ( x ) d ( x ) 2
2 ( x )2 1 f ( x) e 2 2 1
标准正态分布的概率密度函数
1 x2 ( x) e 2
n 个两两互斥事件 A1 ， A2 ，… An 之和
的概率 事件 A 与其逆事件 A 之和的概率 两个任意事件之和的概率 概率的乘法公式 两个独立事件之积的概率
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P（An ) P ( A） P( A ) 1 P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( A B ) P ( AB) P ( B ) P ( A B ) P ( AB) P ( A) P ( B ) P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ) P ( B ) P ( Ai ) P ( B Ai )
( n 1) ( n 2) ( n 3) s4 K
ns3
分组数据的峰态系数
(M
i 1
k
i
x)4 fi
ns 4
3
概率与概率分布
名称 公式
概率的古典定义
概率的统计定义 两个互斥事件之和的概率
事件 A所包含的基本事件个数 P ( A) 样本空间所包含的基本 事件个数 m n m P ( A) p n P ( A B ) P ( A) P ( B )
多元回归估计标准误差 一元回归线性关系检验的统计量 多元回归线性关系检验的统计量
一元回归系数检验的统计的统计量
SSE MSE n k 1 n k 1 SSR / 1 MSR F ~ F (1, n 2) SSE /(n 2) MSE SSR / k F ~ F (k , n k 1) SSE /(n k 1) ˆ t 1 sˆ
0 1
ˆ y ˆx 0 1 y 0 1 x1 2 x2 k xk ˆ ˆ x ˆ x ˆ x ˆ y 0 1 1 2 2 k k ˆ 1 n xi y i xi y i
i 1 i 1 i 1 n 2 i n 2 n n n
回归方程的斜率（回归系数）
判定系数
n x xi i 1 i 1 ˆi y )2 SSR ( y R2 SST ( yi y ) 2
一元回归估计标准误差
se se
(y (y
i
ˆi )2 y ˆi )2 y
n2
i

SSE MSE n2
均值之差的置信区间：独立小
2 12 和 2 样本， 未知且不相等， ( x1 x2 ) t 2 ( ) 1 2 n1 n2 两个样本的容量不相等
s2
s2
均值之差的置信区间：匹配大 样本 均值之差的置信区间：匹配小 样本
d z 2
d
n sd n
2
d t 2 (n 1)
两个样本比例之差检验的统计量 （检验两个总 体比例相等的假设）
z
( p1 p2 ) 1 1 p (1 p )( ) n1 n2 ( p1 p2 ) ( 1 2 ) p1 (1 p1 ) p2 (1 p2 ) n1 n2 s12 12 2 2 s2 2
1
多元回归系数检验的统计的统计量
ti
ˆ
i
i
sˆ
~ t (n k 1)
y 的平均值的置信区间
ˆ 0 t 2 s e y
(x x)2 1 n 0 n ( xi x ) 2
i 1
y 的个别值的预测区间
残差 标准化残差 修正的多重判定系数
( x0 x ) 2 1 ˆ 0 t 2 se 1 n y n ( xi x ) 2
2

n s n s n
总体均值的置信区间 （ 未知， x z 大样本） 一个总体 参数的区 间估计 总体均值的置信区间（正态总 体， 未知，小样本） 总体比例的置信区间
x t 2 p z 2
总体方差的置信区间 均值之差的置信区间：独立大 样本， 1 和 2 已知
2 2
多重比较的 LSD
相关与线性回归分析
名称 相关系数
r
t r
2 n x2 ( x) n y2 ( y)2
n xy x y
公式
相关系数检验的统计量 一元线性回归模型 估计的一元线性回归模型 一元线性回归方程的截距 多元线性回归模型 估计的多元线性回归模型
n2 ~ t (n 2) 1 r2 y 0 1 x ˆ ˆx ˆ y
两个样本均值之差抽样分布的期望值 两个样本均值之差抽样分布的方差
E( X ) D( X )
2
n E ( X 1 X 2 ) 1 2 D( X 1 X 2 )
12
n1

12
n2
参数估计
名称 总体均值的置信区间（正态总 体， 已知） 公式
x z 2
两个总体比例之差的区间估计 （p1 p2 ) z 两个总体方差比的置信区间
p1 (1 p1 ) p2 (1 p2 ) n1 n2
2 s12 s2 2 s2 s2 12 1 2 F 2 2 F1 2
估计总体均值时的样本容量 样本量的 确定 估计总体比例时的样本容量
i
x
n x fi
加权平均差
Md
M
i 1 n
n
简单样本方差
s2
(x
i 1 n
i
x)2
n 1
简单样本标准方差
s
k
(x
i 1
i
x)2
n 1
加权样本方差
s2
(M
i 1
i
x)2 fi
n 1
加权样本标准差
s
(M
i 1
k
i
x)2 fi
n 1
均值之差的置信区间：独立小 样本，
2 1 和

2 2 已知
( x1 x2 ) t 2 (n1 n2 2) s 2 p
1 1 n1 n2
均值之差的置信区间：独立小 样本， 1 和 2 未知但相等
2 2
两个总体 参数的区 间估计
2 s12 s2 ( x1 x2 ) t 2 (n1 n2 2) n1 n2
两个样本比例之差检验的统计量 （检验两个总 体比例之差不为零的假设）
z
两个样本方差比检验的统计量
F
列联分析
名称 公式
2 统计量 统计量
列联相关系数
2
( f0 fe ) fe
2
2 n
c
2 2 n
2
n min[( R 1), (C 1)]
相关系数
标准分数 离散系数 未分组数据的偏态系数
zi
xi x s s vs x
3
SK
n xi x (n 1)(n 2) s
分组数据的偏态系数
SK K
M i
1
k
i
x fi
3 2
未分组数据的峰态系数
n(n 1) (xi x )4 3 (xi x )2 (n 1)
i 1
ˆi ei yi y zei ˆi ei yi y se se n 1 n k 1
2 R称 环比增长率 公式
定基增长率
Yi 1 Yi 1 Y Y0 Yi Gi i 1 Y0 Y0 Gi
G n Y Y Y1 Y2 n 1 n n 1 Y0 Y1 Yn1 Y0
GA ( Yi m n ) 1 Yi 1
n i 1 i
平均增长率
年度化增长率
平均预测误差
ME
(Y
Fi )
平均绝对预测误差
MAD
n Yi Fi n
n i
均方预测误差

方差分析
名称 组间方差 组内方差 方差分析的检验统计量 关系强度的测量 公式
组间平方和 SSA 自由度 k 1 组内平方和 SSE MSE 自由度 nk MSA F ~ F ( k 1, n k ) MSE SSA(组间SS ) R2 SST (总SS ) MSA LSD t 2 MSE ( 1 1 ) ni n j