初二全等三角形,轴对称图形习题
1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．求∠AEB的大小；（2）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大
（1）：根据已知条件可知，可得出三个全等的等边三角形。即OCD\OAB\OBC
在三角形CDA中，O是AD的中点，CD=OC=1/2AD,所以三角形DCA是特殊直角三角形，角CAD＝30度。所以角BAC也得30度，角DBA是直角，所以角AEB=60度。
（2）：只要证明三角形OBC与三角形OBD全等即可。条件为“边角边”
即：OA=OB
OC=OD
角AOC=角BOD(提示：角BOC是它们的公共角)
当证出两个三角形全等后，即可得出角OBD=角OAC,而在原等边三角形OAB中，角OAB+角OBA=60+60=120,即可推出在三角形BEA中，角EAB+角EBA=120度，故角ABE=60.
结论：无论如何旋转，只要不重叠，均为60度。
1.以下有4个命题:1.两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定是全等三角形
2.两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形不一定是全等三角形
3.两边和第三边上的高对应相等的两个三角形是全等三角形
4.两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形。其中正确的是哪两个？
2.在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为AC的中点，AE⊥BD交BC于E，连接ED，若
角BDE=α,∠ADB的大小是多少（用含α的式子表示）
3.△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，∠C的大小是多少？（求∠C的度数）
答案：1.1和42.90°－α／23.20°如图，AB=AC。点D.E是BC的三等分点，AD=AE求证：三角形ABE全等于三角形ACD
如图：AD//BC.AB//DC.MN=PQ.求证：DP=BN
1
∵AB=AC,点D.E是BC的三等分点,AD=AE
∴BD=EC
∴BD+DE=CE+DE即BE=CE
△ABE≌△ACD
2
∵AB//DC,AD//BC
∴∠MPD=∠QNB,∠M=∠Q
∵MN=PQ
∴MN+NP=PQ+NP即MP=NQ
∴△MDP≌△QBN
∴DP=BN
如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，CE=BF，求证AE=DF。向左转|向右转
解：因为：AE垂直于BC，DF垂直于BC
所以：角CFD=角DFE=角AEB=90度
所以：三角形AEB与三角形DFC为直角三角形
又：CE=BF
所以：CE-EF=BF-EF
所以：BE=CF
在直角三角形AEB与直角三角形DFC中：
AB=CD
BE=CF
所以：直角三角形AEB全等于直角三角形DFC（HL）所以：AE=DF
如图所示，A、B、C、D在同一直线上且△ABF≌△DCE
求证，AF∥DE，BF∥CE，AC=BD
∵△ABF≌△DCE
∴∠A=∠D
∴AF∥DE（内错角相等，两直线平行）
∵△ABF≌△DCE
∴∠ABF=∠DCE,
180-∠ABF=180-∠DCE
∠FBC=∠BCE
∴BF∥CE（内错角相等，两直线平行）
∵△ABF≌△DCE
∴AB=CD
AB+BC=CD+BC
∴AC=BD
如图，AB//DC，点E、F在BD上，BE=DF。求证：AE//CF
AB=DC
∵AB//CD
∴∠ABE=∠CDF
又∵BE=DF
∴△ABE、△CDF全等
∴∠AEB=∠DFC
∴∠AEF=∠CFE
∴AE//CF
在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，EF∥AD，交AC于E，交BA的延长线于F。求证：△AEF为等腰三角形
EF∥AD，
所以∠F=∠BAD (同位角相等)，且∠AEF=∠CAD(内错角相等)
AD平分∠BAC交BC于D，
所以∠CAD=∠BAD
综上，∠F=∠BAD=∠CAD=∠AEF
△AEF为等腰三角形
如图,已知OA=OB,AC=BD,且∠A=∠B=90°,M为CD的中点,求证:OM⊥CD
证明：如图，连接OC，OD，
在△AOC和△BOD中
OA=OB，
∠A=∠B=90°，
AC=BD，
∴△AOC≌△BOD（SAS）
∴OC=OD
在等腰三角形COD中，M为CD的中点
所以OM是底线的中线，也是高（三线合一）
所以OM⊥CD
轴对称：
点(x,y)关于x轴对称点的坐标为_________,点(x,y)关于y轴对称点的坐标为__________,点(x,y)关于直线x=a的对称点的坐标为___________。
点(x,y)关于x轴对称点的坐标为：（X,-y）
点(x,y)关于y轴对称点的坐标为：(-x,y)
点(x,y)关于直线x=a的对称点的坐标为：
(2a-x,Y) 说明：关键是横坐标
（X，Y),(a,Y),(?,Y)三点的横坐标成等差数列，x+?=2a,?=2a-x
A、B两点在直线l的同侧,点A’与A关于直线l对称,连接A’B交l与P点,设A’B=a
(1)求AP+PB；（2）若点M是直线l上异于P点的任意一点，求证：AM+MB＞AP+PB
1.AP=A'P
AP+PB=A'P+BP=A'B=a
2.连接BMA'
AM=A'M
BM+A'M>AP+PB(三角形两边之和大于第三边）
BM+AM>AP+PB(等量代换）
如图在三角形ABC中，AB=AC，DE分别在AB,AC上，且BD=DE=AE，BE=BC，你能求出角A的度数吗
解：设∠DBE＝x
∵BD=DE
∴∠ADE=2x
∵DE=AE
∴∠A=∠ADE=2x
∴∠BEC =∠ABE +∠A =3x
∵BE=BC
∴∠C =∠BEC =3x
∵AB =AC
∴∠ABC =∠C =3x
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°
∴2x+3x+3x=180°
8x=180°
∴2x=45°
∴∠A=45°
如图，点A是BC上的一点，△ABD、△ACE都是等边三角形。
求证：（1）AM=AN
(2) MN∥BC
（1）证明：
∵△ABD和△ACE都是等边三角形
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=60°
∵∠BAC是平角，
∴∠DAE=60°
∠BAD+∠DAE=∠EAC+∠DAE=60°+60°
∠BAE=∠DAC=120°
∴在△ABE和△DAC中﹛BA=DA ﹜
﹛∠BAE=∠DAC ﹜＝＞△ABE≌△DAC (SAS)
﹛EA=AC ﹜
∴∠EBA=∠CDA ﹜
∵∠BAM=∠DAN=60°﹜∴△BAM≌△DAN (ASA)
BA=DA ﹜
∴AM=AN
（2）证明：
∵AM=AN，∠MAN=60°
∴△ANM是等边三角形
∴∠AMN=∠BAM=60°
∴MN∥BC （内错角相等两直线平行)
已知△ABC中，AB=AC∠BAC=120°,EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E,求证：bf=1/2FC。
连接AF
∵∠BAC=120°,AB=AC
∴∠B=∠C=30°
∵EF垂直平分AB
∴AF=BF
∴∠BAF=∠B=30°
∴∠CAF=90°
∴AF=1/2×CF
∴BF=1/2×CF
1.已知直角坐标系中两点A（k，-2），B（2，t）。求下列条件下k，t的值：
（1）点A，B关于x轴对称
（2）点A，B关于y轴对称
⑴关于X轴对称，横坐标相等，纵坐标相反。
∴k=2 t=2
⑵关于Y轴对称，横坐标相反，纵坐标相等。
∴k=－2 t=－2
在△ABC中，∠C为直角，BC=AC，BD是∠ABC的平分线，AE⊥BD,垂足为E，求证：BD=2AE
作DE⊥AB
因为DE⊥AB,BD为∠B的角平分线,所以CD=DE
又因为在直角三角行ADE中,角CAB=45度,则DE=AE
因为BC=BE,CD=DE=AE,所以(CD+BC)^2=(BE+EA)^2=BA^2=2BC^2
则CD^2-BC^2+2CD*BC=0
则BC^2+CD^2=2BC^2-2CD*BC=2(BC-CD)*BC=2AD*BC
又由三角形ABD面积得BD*AE=AD*BC
所以BD^2=2AE*BD
则BD=2AE
如图所示，已知三角形abc中，角acb=90度，d是bc延长线上的一点，e是ab上的一点，且在bd的垂直平分线eg上de交ac于f，试判断三角形aef的形状
因为EM是BD垂直平分线，所以BE=DE。所以角B等于角D.又因为角ABC等于90度，所以角B加角D等于90度角D加角DFC等于90度。又因为角DFC等于角AFE,所以角A加角AFE等于90度。所以三角形AEF是直角三角形
已知在数轴上点A对应的数为5，点B对应的数为2，若点A与点B关于数轴上的点C对称，则点C对应的数是_____。
5-2等于两点绝对距离
平分为1.5
5-1.5=2+1.5
为3.5
如图，△ABC中，D在AB上，E在AC的延长线上，BD=CE，DE和BC交于点M，DM =ME，求证：△ABC是等腰三角形。
解：过E作EF∥AB且交BC延长线于F．
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB
∵EF∥AB
∴∠F=∠B
∵∠ACB=∠FCE
∴∠F=∠FCE
∴CE=EF
∵BD=CE
∴BD=EF
在△BDM与△FEM中，
∠B=∠F\\∠DMB=∠EMF\\BD=EF
∴△BDM≌△FEM（AAS），
∴MD=ME．
在三角形ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，AQ=PQ,PR=PS,求证：(1)AS=AR(2)PQ平行AR
证明：连AP
因为PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS,
所以AP是角BAC的平分线，
所以三角形ARP全等于三角形AQP,
所以AR=AS,
因为AQ=PQ,
所以角PAQ=角APQ
又角BAP=角PAQ
所以角BAP=角APQ,
所以PQ平行AR
如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120堵的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN。探究：线段BM、M N、NC之间的关系，并加以证明。
延长AB到E使BE=NC 易证三角形BED全等三角形CND
再证明EDM全等NDM（用SAS MD=MD ED=ND 角MDN=角MDE 因为角MDN=60 角BDM+角NDC 角EDB=角NDC 所以角MDN=角MDE）
所以EM（BE+mb)=MN 既MN=BM+NC
直线a、b相交于点O，点A、B关于a对称，点B、C关于b对称，OA=OB。点A、O、C在一条直线上吗？为什么？
线段AB交a于D，线段BC交b于E
1、那么角AOD+角A=90 度，角BOD+角OBD=90度
因为AO=OB所以角A=角OBA，所以角AOD+角BOD=90度
2、又因为点B、C关于b对称，所以BE=CE，所以RT三角形OEB 与RT三角形OEC 全等（边角边），所以OB=OC，所以（证法与1相同）角BOE+角EOC=90度
3、所以角AOD+角BOD+角BOE+角EOC=180度，因此AOC在一条直线上
在△ABC中,AB=AC,P、Q分别是BC、AB边上的点，且AC=AP=PQ=BQ。求∠B的度数
AB=BC
∠B=∠BPQ=0.5∠APQ=0.5∠AQP
∠C=0.5(180-∠B)=∠APC
由于∠BPQ+∠APQ+∠C=180°
代入解得∠B=36°
如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连结AP交BC于点E，连结BP交AC于点F。
（1）证明：∠CAE=∠CBF（三线合一）
（2）证明：AE=BF（△ACE≡△BCF）
1、
因为ABC是等腰三角形，且CH是高，P是CH上的一点
所以AC=BC,角ACH=角BCH,CP是公共线
边角边，证明三角形ACP=BCP
所以角CAE=CAP=CBP=CBF
2、
因为角CAE=CBF,AC=BC，角ACB是公共角
角边角，所以三角形ACE=BCF
所以AE=BF
如图,在△ABC中,AB=AC,BE平分∠ABC,DE∥BC,求证:DE=EC
解：∵AB=AC ∴∠ABC=∠C
又∵BE平分∠ABC,DE∥BC
∴∠DBE=∠EBC ∠DEB=∠EBC
∴∠DBE=∠DEB ∴DE=DB
∴AB-AD=AC-AE
DB=EC
∴DE=EC
在梯形ABCD中，AD平行BC，AD=1，BC=4,∠C=70°,∠B=40°，则AB的长为？过D做DE//AB交BC于E
所以∠EDC=70
BE=1
EC=3=DE=AB
如图，在等边△ABC中，点D.E分别在BE,AB上，且BD=AE，AD与CE交于F （1）求证：AD=CE
（2）求∠DFC的度数
(1)证明：因为△ABC是等边三角形，所以AB=BC=CA,∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°
在△ACE和△BAD中，
AB=AC,∠BAC=∠ABC,BD=AE.
所以△ACE≌△BAD（SAS）
所以AD=CE
(2)解：由（1）知：∠ACE=∠BAD,
又因为∠DFC=∠ACE+∠DAC （外角等于不相邻的两个内角之和）
所以∠DFC=∠BAD+∠DAC=60°
如图，点D，E在三角形ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE。求证BD=CE。
因为AB=AC 所以三角形ABC是等腰三角形，角ABC=角ACB
同理可得。三角形ADE是等腰三角形
所以角ADE=角AED，
所以角ADB=角AEC
又因为角ABC=角ACB
所以角BAD=角EAC
又因为AB=AC
所以三角形ABD全等三角形ACE
所以BD=CE
如图，在△ABC中，AB=AC，点C是BC的中点，点E在AD上。（1）求证：△ABD≌△ACD
（2）求证：BE=CE。
(1)因为AB=AC
所以角ABD=角ACD（等边对等角）
因为点D是BC中点（这里你打错了我就自动脑补了）
所以BD=CD
在三角形ABD与三角形ACD中
AB=AC
角ABD=角ACD
BD=CD
所以：△ABD≌△ACD（SAS）
（2）因为：△ABD≌△ACD
所以角BAD=角CAD
所以AD平分角BAC
所以BE=CE（角平分线上的点到线段两端点距离相等
如图，已知△ABC为等边三角形,延长AC至E,使CE=AC ，过C作CD//AB 。连接DB、CE 求证△DBE为等腰三角形。
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AC，
又CE=AC，
∴BC=CE.
∵∠ACB=60度，
∠ACB=∠AEB+∠CBE,∵
∴∠CBE=30
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90
延长DC交BE于F
∵CD//AB
∴∠DFB=90
∴BF=EF
在△DFB和△DFE中
BF=EF
∠DFB=∠DFE=90
DF=DF
∴△DFB≌△DFE
∴DB=DE
∴△DBE为等腰三角形
AC平分∠DAB AD=AB 求证：△CDE全等于△CBE
∵AC平分∠DAB
DA C=∠BAC
在△ACD和△ABC 中
AD=AB
∠DA C=∠BAC
AC=AC
∴△ACD≌△ABC
∴DE=BE，CD=CB
在△CDE和△CBE
DE=BE
CD=CB
CE＝CE
∴△CDE≌△CBE
如图已知△ABC,∠C=90°,D、F分别为AC,AB上的点,且AD=BD,AE=BC,DE=DC,求证:DE ⊥AB
∵AD=BD，AE=BC，DE=DC
∴△ADE≌△BCD （三边相等的三角形是全等的三角形）
∴∠AED=∠BCD（全等三角形的对应角相等）
即DE⊥AB
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC且AD⊥BC，垂足为D。求证：AB=AC,DB=DC.
初二数学全等三角形证明经典例题.docx
初二数学全等三角形证明经典例题 1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD A A 1 2 1 2 A F B E C D B C E D CFD B 第 1题图第 2题图第 3题图 2、已知： BC=DE，∠ B=∠E，∠ C=∠D，F 是 CD中点，求证：∠ 1=∠2 3、已知：∠ 1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证： EF=AC A B C D 第 4题图第 5题图第 6题图 4、已知： AD平分∠ BAC，AC=AB+BD，求证：∠ B=2∠C 5、已知： AC平分∠ BAD，CE⊥AB，∠ B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 6、已知： AB=4，AC=2， D 是 BC中点， AD是整数，求 AD 7、已知： AD平分∠ BAC，AC=AB+BD，求证：∠ B=2∠C A A D B D C B C 第 7题图第 8题图第 9题图 8、如图，四边形 ABCD中， AB∥DC， BE、CE分别平分∠ ABC、∠ BCD，且点 E 在 AD上。求证： BC=AB+DC。 9、已知： AB=CD，∠ A=∠D，求证：∠ B=∠C C D A D C P F B A B E 第 10题图第 11题图第 12题图 10、 P 是∠ BAC平分线 AD上一点， AC>AB，求证： PC-PB 12、已知， E 是 AB 中点， AF=BD ，BD=5，AC=7，求 DC P C A E D E O D A B B C 第 13题图 第 14题图 第 15题图 第 16题图 13、如图，在△ ABC 中， BD DC ，∠ ∠ ，求证： AD ⊥BC ． = 1= 2 、．如图， OM 平分∠ POQ ，MA ⊥ OP MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足， AB 交 OM 于点 N ． 14 , 求证：∠ OAB ∠OBA = 15、如图，已知 AD BC PAB CBA E CE 的连线交 AP D ∥ ，∠ 的平分线与∠ 的平分线相交于 ， 于 ．求 证： AD+BC=AB ． 16．已知：如图， DC ∥AB ，且 DC=AE ，E 为 AB 的中点， （1）求证：△ AED ≌△ EBC ． （2）在不添辅助线的情况下， 除△ EBC 外，请再写出两个与△ AED 的面积相等的三角形．（直 接写出结果，不要求证明） ： 17．如图，△ ABC 中，∠ BAC 度， AB AC ， BD 是∠ ABC 的平分线， BD 的延长线垂直于过 C 点 =90 = 的直线于 E ，直线 CE 交 BA 的延长线于 F ． BD CE ． 求证： =2 F A A D E F C A E F D B D C B C M B A B E C 第 17题图 第 18题图 第 19题图 第 20题图 18、如图： DF=CE ，AD=BC ，∠ D=∠ C 。求证：△ AED ≌△ BFC 。 19、如图： AE 、BC 交于点 M ，F 点在 AM 上， BE ∥CF ， BE=CF 。求证： AM 是△ ABC 的中线。 20、如图：在△ ABC 中， BA=BC ， D 是 AC 的中点。求证： BD ⊥ AC 。 21、 AB=AC ，DB=DC ，F 是 AD 的延长线上的一点。求证： BF=CF A A B D F B C E F C D D E A C F B 第 21题图 第 22题图 第 23题图 第 24题图 第 25题图 22、如图： AB=CD ，AE=DF ， CE=FB 。求证： AF=DE 。 23、 . 公园里有一条“ Z ”字形道路 ABCD ，如图所示，其中 AB ∥CD ，在 AB ，CD ， BC 三段路旁各 有一只小石凳 E ，F ，M ，且 BE ＝CF ，M 在 BC 的中点，试说明三只石凳 E ，F ， M 恰好在一条直线 上. 24．已知：点 A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ ABE ≌△ CDF ． 25. 已知：如图所示， AB ＝AD ， BC ＝DC ，E 、F 分别是 DC 、 BC 的中点，求证： AE ＝AF 。 2 全等三角形知识梳理 一、知识网络 ??????????→?????????????? ???对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； > (4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角。 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等（即对应元素相等） 3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等（SSS）。 （2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）。 （3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。 ， （4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。 注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 尺规作图 < （二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等， 因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找 初二数学全等三角形证明题专题训练 1.如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证： ACF BDE ???。 2.如图，在ABC ?中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。求证：21C ∠=∠+∠。 3.如图，在ABC ?中，AB BC =，90ABC ∠=。F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。求证：AE CF =。 4.如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。 5. 如图，,AP CP 分别是ABC ?外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P 。求证：BP 为MBN ∠的平分线。 6.如图，D 是ABC ?的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ?的中线。求证：2AC AE =。 7.如图，在ABC ?中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。 求证：AB AC PB PC ->-。 8.直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α ∠=∠=∠． （1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图1，若90,90BCA α∠=∠=，则 AF -（填“>”，“<”或“=”号）； ②如图2，若0 180BCA <∠<，若使①中的结论仍然成立，则 α∠与BCA ∠ 应满足的关系 是 ； （2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数 量关系，并给予证明． 9.已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。 (!)求证：BF =AC ； A B C E F D D A B C E F A D F C E B 图1 图2 图3 人教版八年级上册第十二章全等三角形证明精编40题 1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 3已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 D A B A D B C 4已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 5已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 6已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 7已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD C D B B A C D F 2 1 E A 8. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 9.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C A D B C 10已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 11 .p 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 13已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 14．如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． F A E D C B 全等三角形、轴对称测试题 一、选择题1、下列说法正确的是（ ）． A ．轴对称涉及两个图形，轴对称图形涉及一个图形 B ．如果两条线段互相垂直平分，那么这两条线段互为对称轴 C ．所有直角三角形都不是轴对称图形 D ．有两个内角相等的三角形不是轴对称图形 2、点M （1，2）关于x 轴对称的点的坐标为（ ）． A ．（－1，－2） B ．（－1，2） C ．（1，－2） D ．（2，－1） 3、下列图形中对称轴最多的是( ) ． A ．等腰三角形 B ．正方形 C ．圆 D ．线段 4、若等腰三角形的周长为26cm ，一边为11cm ，则腰长为（ ）． A ．11cm B ．7.5cm C ．11cm 或7.5cm D ．以上都不对 5、如图：D E 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米， 则△EBC 的周长为（ ）厘米． A ．16 B ．18 C ．26 D ．28 6、如图所示，l 是四边形ABCD 的对称轴，AD ∥BC ，现给出下列结论： ①AB ∥CD ；②AB=BC ；③AB ⊥BC ；④AO=OC 其中正确的结论有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫 做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（ ）． A ．对应点连线与对称轴垂直 B ．对应点连线被对称轴平分 C ．对应点连线被对称轴垂直平分 D ．对应点连线互相平行 8、等腰三角形ABC 在直角坐标系中，底边的两端点坐标是(-2，0)，(6，0)，则其顶点的坐标，能确定的是 ( ) ． A C B A ' ' C ' 图2 图1 E D C A l O D C B A 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 A D B C 证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角） ∴△EFD ≌△CGD EF ＝ CG B A C D F 2 1 E 八年级数学全等三角形证 明题 Prepared on 21 November 2021 第十三章全等三角形测试卷 （测试时间：90分钟总分：100分） 班级姓名得分 一、选择题（本大题共10题；每小题2分，共20分） 1．对于△ABC 与△DEF ，已知∠A =∠D ，∠B =∠E ，则下列条件①AB=DE ；② AC=DF ；③BC=DF ；④AB=EF 中，能判定它们全等的有（） A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④ 2．下列说法正确的是() A ．面积相等的两个三角形全等 B ．周长相等的两个三角形全等 C ．三个角对应相等的两个三角形全等 D ．能够完全重合的两个三角形全等 3．下列数据能确定形状和大小的是（） A ．A B =4，B C =5，∠C =60°B ．AB =6，∠C =60°，∠B =70° C ．AB =4，BC =5，CA =10 D ．∠C =60°，∠B =70°，∠A =50° 4．在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D ，AB =DE ，添加下列哪一个条件，依然不能证 明△ABC ≌△DEF () A ．AC =DF B ．B C =EF C ．∠B=∠E D ．∠C=∠F 5．OP 是∠AOB 的平分线，则下列说法正确的是（） A ．射线OP 上的点与OA ，O B 上任意一点的距离相等 B ．射线OP 上的点与边OA ，OB 的距离相等 C ．射线OP 上的点与OA 上各点的距离相等 D ．射线OP 上的点与OB 上各点的距离相等 6．如图，∠1=∠2，∠E=∠A ，EC=DA ，则△ABD ≌△EBC 时，运用的判定定理是（） A ．SSS B ．ASA C ．AAS D ．SAS 7．如图，若线段AB ，CD 交于点O ，且AB 、CD 互相平分，则下列结论错误的是 （） A ．AD=BC B ．∠C=∠D C ．A D ∥BC D ．OB=OC 8．如图，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，AB =CD ，AE =CF ， 则图中全等三角形共有() A ．1对 B ．2对 C ．3对 （第8题） A D C B E F O A D C B （第7题） A C E D （第6题） 2 1 全等三角形与轴对称图形测试题(1) 姓名：_____________ 1. 下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等 的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中正确的个数有()A 、3 个B 、2 个C 、1 个D 、0 个 2. 下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS'来判定全等，那么一定也可以依据“ASA来判 定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要 判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等.正确的是( ) A.①和② B.②和③ C.①和③ D.①②③ 3. 已知：在厶ABC中，AD为/ BAC的角平分线，DE丄AB, F为AC上一点，且/ DFA=100°,贝U ( ) A.DE>DF B. DE 全等三角形证明经典题 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB = 3. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 4. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 5. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB = A D B C C D B B A C D F 2 1 E A 6. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 7. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 8. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 一：如果abc=1,求证 11++a ab +11++b bc +11 ++c ac =1 二：已知a 1+b 1= )(29b a +，则a b +b a 等于多少？ B B A C D F 2 1 E C D B A 9. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 13. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 14.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C 14. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 全等三角形轴对称测试题 班级：_________ 姓名：___________ 小组：__________ 分数：___________ 【错题滚动】 1.锐角三角形中，最大角α的取值范围是（ ） A.6090α?≤2b ），以a 、b 为边作等腰三角形，则（ ） A. 只能作以a 为底边的等腰三角形 B. 只能作以b 为底边的等腰三角形 C. 可以作分别以a 、b 为底的等腰三角形 D. 不能作符合条件的等腰三角形 6.小亮在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近8：00的是（ ） A. B. C. D. 7.如右图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线MN 分别交AC ，AB 于点D ，E ．若∠CBD : ∠DBA =3:1，则∠A 为（ ）． A. 18° B. 20° C. 22.5° D. 30° 8.如图，在△ABC 和△FED 中，AC=FD ，BC=ED ，要利用“SSS”来判定△ABC 全等三角形的判定班级：姓名： 1．已知AD是⊿ABC的中线，BE⊥AD，CF⊥AD，求证BE=CF。2．已知AC=BD，AE=CF，BE=DF，求证AE∥CF 3．已知AB=CD，BE=DF，AE=CF，求证AB∥CD 4．已知在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB，求证AB∥CD 5．已知∠BAC=∠DAE，∠1=∠2，BD=CE，求证⊿ABD≌⊿ACE. 6．已知CD∥AB，DF∥EB，DF=EB，求证AF=CE 7．已知BE=CF，AB=CD，∠B=∠C，求证AF=DE A B C D F E C D E F D C F E A B A D E B C 1 2 A D C E F B A D 8．已知AD =CB ， ∠A =∠C ，AE =CF ，求证EB ∥DF 9．已知M 是AB 的中点，∠1=∠2，MC =MD ，求证∠C =∠D 。 10．已知，AE =DF ，BF =CE ，AE ∥DF ，求证AB =CD 。 11．已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证AC =AD 12．已知∠E =∠F ，∠1=∠2，AB =CD ，求证AE =DF 13．已知ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，BD =EF ，求证BM =ME 。 14．在⊿ABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，且AD =BD ，求证⊿BHD ≌⊿ACD 。 A C D B 1 2 3 4 A B C D E F 1 2 A E H A C M E F B D B A D F E C M A B C D 1 2 D C F E A B 15．已知∠A =∠D ，AC ∥FD ，AC =FD ，求证AB ∥DE 。 16．已知AC =AB ，AE =AD ， ∠1=∠2，求证∠3=∠4。 17．已知EF ∥BC ，AF =CD ，AB ⊥BC ，DE ⊥EF ，求证⊿ABC ≌⊿DEF 。 18．已知AD =AE ，∠B =∠C ，求证AC =AB 。 19．已知AD ⊥BC ，BD =CD ，求证AB =AC 20．已知∠1=∠2，BC =AD ，求证⊿ABC ≌⊿BAD 。 A B C E F D A B C E D F A D E B C A B C D A D E B C 1 2 3 4 全等三角形题型归类及解析 全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。 1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ， 连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。 2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ， ?PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系． 3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ； (2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5， AC=8，求DC 的长。 A B C D E P D A C B M N 二、中点型 由中点应产生以下联想： 1、想到中线，倍长中线 2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形 3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线 4、三角形的中位线 2、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =； （2）求证：1 2 CE BF = D A E F C H G B 3、如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关 系，并证明你的结论。 4、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的 八年级全等三角形分类证明题 一．SAS 1、 如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ，BD=CD 。求证：△ABD ≌△ACD 。 2.如图（2）：AC ∥EF ，AC=EF ，AE=BD 。 求证：△ABC ≌△EDF 。 3.如图（3）：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 4.如图（4）：AB=AC ，AD=AE ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE 。求证：（1）∠B=∠C ， （2）BD=CE 5.如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB=CD ，BC=DE 。求证：AC ⊥CE 6.如图（6）：CG=CF ，BC=DC ，AB=ED ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上。 求证：（1）AF=EG ，（2）BF ∥DG 。 7、如图（7）：AC ⊥BC ，BM 平分∠ABC 且交AC 于点M 、N 是AB 的中 点且BN=BC 。 求证：（1）MN 平分∠AMB ，（2）∠A=∠CBM 。 8、如图（13）△ABC ≌△EDC 。求证：BE=AD 。 9.如图（14）在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，AE 是BC 的中线，过点C 作CF ⊥AE 于F ，过B 作BD ⊥CB 交CF 的延长线于点D 。 （1）求证：AE=CD ，（2）若BD=5㎝，求AC 的长。 （图1）D C B A F E D C B A F E （图3）D C B A E （图4）D C B A E D B A G F E （图6）D C B A N M （图7） C B A E （图13）D C B A F E （图14） D C B A 师：老师这里有两个三角形，我们从直观上来看这两个三角形，觉得是怎么样的？ 生：回答 师：那两个三角形相等，都要具备哪些条件呢？ 生：回答 师：我们刚刚已经猜测了好几种条件，那么我们一起来看一看有哪些比较合适。 一、认识三角形 1、定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角 形。“三角形”可以用符号“Δ”表示。 2 、三角形内角和定理： 三角形的三个内角和等于180度。 3、三角形外角的定义： 三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 三角形的外角性质：（1）三角形的外角和为360°。 （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 （3）三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角。 4、三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边。 5、 等腰三角形：有两边相等的三角形叫做等腰三角形、 等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。 等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。 6、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。三角形的三条中线交于一点。这个点是三角形的重心。 全等三角形及图形轴对称 7、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个 角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。三角形的三条角平分线交于 一点。 8、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足 之间的线段，叫做三角形的高线，简称三角形的高。三角形三条高所在直线交于 一点。 9、锐角三角形的三条高都在三角形的内部，并且交于同一点。 直角三角形有一条高在三角形内部，其余两条高是它的两条直角边，三条高交于 直角顶点。 钝角三角形的三条高不相交，有一条高在三角形内部，其余两条高在三角形外部， 三条高所在直线交于一点。 10、三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S △ =1/2×底×高。 11、三角形具有稳定性 二、图形的全等 1、全等图形：能够完全重合的两个图形称为全等图形。全等图形的形状和大都相同。 2、全等三角形：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。 记作：△ABC≌△A 1B 1 C 1 要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、全能三角形的对应顶点、对应边、对应角 对应顶点：互相重合的顶点叫对应顶点。点A和点A1，点B和点B1，点C和点C1， 对应边：互相重合的边叫对应边。AB和A 1B 1 ，AC和A 1 C 1 ，BC和B 1 C 1 对应角：互相重合的角叫对应角。∠A和∠A 1，∠B和∠B 1 ，∠C和∠C 1 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 三、探索三角形全等的条件 （1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS” （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS” D C B A E D F C B A 八年级数学《全等三角形》证明题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种： 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF 与EF的大小. 例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. 应用： E D C B A D C B A P Q C B A 1、（09崇文二模）以ABC ?的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ?和等腰 Rt ACE ?，90,BAD CAE ∠=∠=?连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与 DE 的位置关系及数量关系． （1）如图① 当ABC ?为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段AM 与DE 的数量关系是 ； （2）将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A 沿逆时针方向旋转?θ(0<θ<90)后，如图②所 示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由． 二、截长补短 1、如图，ABC ?中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC 2、如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AC+BD 3、如图，已知在ABC V 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ， CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分 线。求 证：BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 求证： 0180=∠+∠C A 5、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上 任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC 应用： 三、平移变换 例1 AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点，△ABC 周长记为A P ， △EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P . 例2 如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD=CE ， 初二数学全等三角形证明经典例题 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 第1题图 第2题图 第3题图 2、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 3、已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 第4题图 第5题图 第6题图 4、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 5、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 6、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 7、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 第7题图 第8题图 第9题图 8、 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 9、已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 第10题图 第11题图 第12题图 10、P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 12、已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 13、如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 14、．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ． 求证：∠OAB =∠OBA 15、如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 16．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ． （2）在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 17．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ． 求证：BD =2CE ． 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图 18、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 19、如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。求证：AM 是△ABC 的中线。 20、如图：在△ABC 中，BA=BC ，D 是AC 的中点。求证：BD ⊥AC 。 21、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF 第21题图 第22题图 第23题图 第24题图 第25题图 22、如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。 23、.公园里有一条“Z ”字形道路ABCD ，如图所示，其中AB ∥CD ，在AB ，CD ，BC 三段路旁各有一只小石凳E ，F ，M ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点，试说明三只石凳E ，F ，M 恰好在一条直线上. 24．已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ． 25.已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。 F E D C B A M F E C B A D C B A F D C B A F E D C B A D C A F E P E D C B A O E D C B A F E D C B A 一．选择题 （本题共10小题，每小题3分，共30分。） 1. 下图中的轴对称图形有（ ）． A ．（1），（2） B ．（1），（4） C ．（2），（3） D ．（3），（4） 2．下列两个三角形中，一定全等的是（ ）． （A ）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形（B ）两个等边三角形 （C ）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形 （D ）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形 3．下列条件中不能作出唯一直角三角形的是（ ） A. 已知两个锐角 B. 已知一条直角边和一个锐角 C. 已知两条直角边 D. 已知一条直角边和斜边 4．如图4所示，共有等腰三角形（ ） Ａ．4个 Ｂ．5个 Ｃ．3个 Ｄ．2个 图7 5．如图5，在直角ABC △中，90C =∠，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，且 2E B C E B A =∠∠，则A ∠等于（ ） Ａ．20 Ｂ．22.5 Ｃ．25 Ｄ．27.5 6．如图6所示，已知AB=AC ，PB=PC ，下面的结论：①BE=CE ； ②AP ⊥BC ；③AE 平分∠BEC ；④∠PEC=∠PCE ，其中正确结论 的个数有（ ） A ．1个 B 2个 C 3个 D 4个 7．如图7,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列条件:①AB=AE,②BC=ED,③∠C=∠D,④ ∠B=∠E,其中能使ΔABC ≌ΔAED 的条件有( )个. A.4 B.3 C.2 D.1 8．平面内点A （-1，2）和点B （-1，6）的对称轴是（ ） A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y=4 D ．直线x=-1 9. △ABC 中，AB ＝AC ，三条高AD ，BE ，CF 相交于O ，那么图8中全等的三角形有（ ） 2 1 E D C B A 初二数学 几何证明 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证： EF=AC A D B C 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 7. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD C D B B A C D F 2 1 E A D B C A 8. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 9. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 10. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 11. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 12. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE C D B B A C D F 2 1 E A 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C 14. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C A B C D D C B A F E 轴对称图形 全等三角形 测试卷 姓名___________学校____________ 1在线段、射线、直线、角、直角三角形、等腰三角形中是轴对称图形的有（ ）。 （A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 2、已知直角三角形中30°角所对的直角边为2㎝，则斜边的长为（ ）（A ）2 ㎝ （B ）4 ㎝ （C ）6 ㎝ （D ）8㎝ 3、点M （1，2）关于原点对称的点的坐标为（ ）（A ）（—1，2） （B ）（－1，－2） （C ）（1，－2） （D ）（2，－1） 4、下列说法正确的是( )A ．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B ．顶角相等的两个等腰三角形全等 C ．等腰三角形一边不可以是另一边的二倍D ．等腰三角形的两个底角相等 5、已知∠AOB=30°，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称， 则P ，P1，P2三点构成的三角形是（ ）A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 6、如图，DE 是?ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则?EBC 的周长为（ ）厘米 A ．16 B ．28 C ．26 D ．18 7、等腰三角形的两边长是6和3，周长为______________________。 8、等腰三角形一个角为50°，则此等腰三角形顶角为________________________。 9、在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，则∠A= °。 10、等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15㎝和12㎝，则这个三角形的底边长为 ㎝。 11．腰长为12㎝，底角为15°的等腰三角形的面积为 。 12．到三角形各顶点距离相等的点是三角形 的交点。 13．在直角坐标系内有两点A(-1，1)、B(2，3)是________，MA+MB=________。 14.已知，如图ΔABC 中，AB ＝AC,D 点在BC 来.并求∠B 的度数. 15、如图，已知直线MN 与MN 同侧两点A 、B 16、如图，在⊿ABC 中，∠ACB=90，DE 是AB 度数． 1. A. 两角和一边 B. 两边及夹角 C. 2.下列各图中，不一定全等的是（ ）A B. 周长相等的两个等边三角形 C. D. 3.如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，OE=OF 4.在⊿ABC 和⊿A /B /C /中，AB=A /B /，∠A=∠A /错误的选法是（ ） A. ∠B=∠B / B. 5、如图在△ABD 和△ACE 都是等边三角形，则ΔA. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 6、如图，∠1=∠2，∠C=∠D ，AC 、BD 交于E A. ∠DAE=∠CBE B. CE=DE C.ΔDEA 不全等于Δ 7、如图在ΔABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 的周长是（ ） 8、等腰ABC ?的顶角为?120，腰长为109．如图6，点C 、F 在BE 上，∠1=∠2，BC=EF 使ΔABC ≌ΔDEF 。 10如图幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子（等于右边滑梯水平方向的长度DF ，则∠ABC+∠11.在Rt ΔA BC 中,BE 平分∠ABC,ED ⊥AB 于D,若12、如图，AD ⊥BC 于D ，AD=BD ，AC=BE 。 (1) 请说明∠1=∠C A D全等三角形知识点总结
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