第四讲矩阵的运算与逆矩阵

线性代数 第二章 矩阵及其运算
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第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
本次课讲： 1.教材第二章第二节：矩阵的基本运算和关系运算
2.教材第二章第三节：逆矩阵的概念与性质 3.下次上课时交作业：P9－P12 下次课讲： 1.教材第二章第三节（续）：逆矩阵的运算与证明 2.教材第二章第四节：矩阵的分块法 3.教材第三章第一节：初等变换的基本概念
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第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
2）实数运算存在化0因子，即若ab=0,则a,b至少有一个数是0。但矩
阵运算不存在化0因子，即若AB=0,A与B可能都不为0，如下例
例2 求矩阵
A
2 1
42与
B
2 3
46的乘积AB 与 BA.
解
AB
2 1
42
a13b32 )t2 a23b32 )t2
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A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
,2×3
b11
B
b21
b31
b12
b22
b32 3×2
a11b11 a12b21 a13b31 AB
a21b11 a22b21 a23b31
k 1
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注意：只有当左矩阵的列数等于右 矩阵的行数时，
两个矩阵才可以相乘(与顺序有关).
如:
b1
a1, a2 ,L
, an
b2
1n M
a1b1 a2b2 anbn
n
11 ai bi
i 1
bn n1
是一个数.
b1
b2
M
a1, a2 ,L
bn n1
, an 1n
b1a1
b2a1 bna1
b1a2
b2a2
bna2
b1an
b2an
bnan
nn
（3）矩阵运算的性质（与实数运算的对比）
通过以上对矩阵运算的了解，尤其是对矩阵乘法运算的
分析，我们可以对比一下矩阵的代数运算与我们所熟悉
的实数的代数运算，并找出它们之间的本质区别：
x2
b21t1
b22t2
(2)
x3 b31t1 b32t2
求出从 t1 , t2到 y1, y2的线性变换.
y1 y2
(a11b11 (a21b11
a12b21 a22b21
a13b31 )t1 a23b31 )t1
(a11b12 (a21b12
a12b22 a22b22
讲授内容 概念－同型加减－数乘全－乘法行列算、一般不交换 主线 －方阵可算幂－行列式宜单算－转置行列换－引来对
称与伴随，伴随有转置。逆矩阵的概念与性质
作业要 求
练习册 P9-13, 习题110;其中 交：P910,习题： 1－4
内容概括
乘法是行列式对应元素乘积和，交换化零与消去均不 可，方阵可算幂与行列式，行列式注意数乘与积的乘 法，变换导出的逆阵具有唯一、非奇异与单侧性及数 乘转置的运算律。
Em Amn Amn , Amn En Amn . 或简写成 EA = AE = A.
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5)矩阵的乘法虽然一般不能满足交换律，但结合律却总是成立的，
因此，涉及多矩阵连乘时，在不改变左右顺序及相邻矩阵可相乘的 前提下可任意添加或删去括号。
(i) ABC ABC (ii) AB AB AB （其中λ为数）；
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班级：
时间：
年 月 日；星期
教学目的 重点
掌握矩阵的加减、数乘、乘法和幂等基本运算。理解 并熟悉矩阵的转置、对称、共扼等概念，理解伴随矩 阵理解方阵运算，会用方阵运算方法进行相关运算。 掌握逆矩阵的概念性质及伴随矩阵求法
矩阵的基本运算
难点 矩阵的乘法、幂及方阵的运算性质
讲授方法 讲练结合
2 3
46
16 8
32 16
BA
2 3
46
2 1
42
0 0
0 0
3）实数满足消去律，但矩阵乘法消去律不再成立。就是说，若矩阵
A、B、C满足AB=AC，并且A不为0，则不能推出B＝C，例如
若令A
2 3
4 6
,
wk.baidu.com
B
2 2
05,C 10
12
则AB
AC
4 6
1105, A O,但是，B C
4)可相乘的单位矩阵与任意矩阵可交换
(iii) AB C AB AC B C A BA CA
cm
1
c1 j cij cmj
c1n c11 a11b11 a12b21 a1sbs1
s
cin
a1k bk1 k 1
cmn
c12
a11b12 a12b22
s
a1sbs2
a1k bk 2
k 1
s
cij ai1b1 j ai 2b2 j ais bsj aik bkj
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一、矩阵的四则运算 3.矩阵与矩阵相乘（重点是乘的过程与表达式）
（1）乘法的历史
设有两个线性变换:
y1 y2
a11 x1 a21 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
(1)
x1 b11t1 b12t2
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学完本次课达到如下要求
1.会用符号语言表述加减数乘幂、转置对称伴 随等运算。
2.加减数乘幂运算掌握运算律，即了解什么是不 可以的，如乘法不交换不消去不化零。
3.转置、对称、行列式和伴随运算要熟记关系运 算公式，请记住伴随行列式没有加法公式，伴随 运算也没有乘法运算。
并把此乘积记作：C AB 矩阵形式如下：
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a11 a12 a1s
A
ai1
ai2
ais ,
am1
am2
ams
b11 b1 j b1n
B
bi1
bij
bin
bs1
bsj
bsn
c11
则 ：C
ci1
a11b12 a12b22 a13b32 a21b12 a22b22 a23b32 2×2
（2）乘法的定义与运算规律
定义4 设 A aij 是一个 m×s 矩阵,B bij 是一个s×n 矩阵,
那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个m×n 矩阵 C cij ,
s
c 其中 ij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aik bkj i 1,2, , m; j 1,2, , n k 1