2004年全国初中数学竞赛辽宁省预赛试题_

2004年全国初中数学竞赛辽宁省预赛试题

一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，将正确答案的序号填入题后的括号内，每小题2分，共20分)

1.下列各式中，最简二次根式为( )

A. B. C. D.

2.方程(x+1)x=0的根是( )

A.x1=1，x2=0

B.x1=-1，x2=1

C.x1=-1，x2=0

D.x1=x2=0

3.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，点C为优弧上一点，∠ACB=60°，则∠APB的度数是( )

A.60°

B.120°

C.30°或120°

D.30°

4.二次函数y=-x2-4x+2的顶点坐标、对称轴分别是( )

A.(-2,6)，x=-2

B.(2,6)，x=2

C.(2,6)，x=-2

D.(-2,6)，x=2

5.已知Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，且AB=2A′B′，则sinA与sinA′的关系为( )

A.sinA=2sinA′

B.2sinA=sinA′

C.sinA=sinA′

D.不确定

6.在下面四种边长相等的正多边形的组合中，能作平面镶嵌的组合是( )

7.如图，点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P做x轴的垂线PQ交双曲线y=于点Q，连结OQ，当点P向右运动时，Rt△QOP的面积( )

A.逐渐增大

B.逐渐减小

C.保持不变

D.无法确定

8.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2和m，圆心距为n，且2和m都是方程x2-10x+n=0的两根，则两圆的位置关系是( )

A.相交

B.外离

C.内切

D.外切

9.将某氢氧化钠溶液加水，则描述溶液pH值与加水量(m)间变化规律的图象大致是( )

10.如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连结OC并延长交⊙O于点D.若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是( )

A.6

B.9-

C.

D.25-3

二、填空题(每小题2分，共20分)

11.已知点P(-3,2)，点P′是点P关于原点的对称点，则点P′的坐标是____.

12.如果把一个圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开，展开在一个平面上，那么它的展开图是一个____形.

13.函数的自变量x的取值范围是_____.

14.方程组的解是_____ .

15.正六边形的半径为1cm，它的边心距等于_____cm.

16.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么直线y=bx+c不经过第____象限.

17.已知圆的直径为13cm，圆心到直线l的距离为6cm，那么直线l和这个圆的公共点的个数有_____个.

18.已知5x2-xy-6y2=0，则的值为_____.

19.△ABC内接于⊙O，D是BC边上的中点，若∠ABC+∠DAC=90°，则△ABC是____三角形.

20.如图，等边△ABC边长为10cm，以AB为直径的⊙O分别交CA、CB于

D、E两点，则图中阴影部分的面积(结果保留π)是_____cm2.

三、(第21小题8分，第22小题12分，共20分)

21.当x=2时，求的值.

22.已知线段AB是⊙O的弦，点P是优弧上一个动点(P不与A、B重合)，直线l是∠APB的平分线.

(1)画图并证明：当点P在优弧上运动时，∠APB的平分线l过定点Q；

(2)当点P在优弧上运动时，△APQ的面积能否取得最大值，如果能，请用尺规作图确定点P在⊙O上的位置；如果不能，请说明理由.

四、(10分)

23.在某文具商场中，每个画夹定价为20元，每盒水彩定价为5元.为促进销售，商场制定两种优惠方案：一种是买一个画夹赠送一盒水彩；另一种是按总价92％付款.一个美术教师欲购买画夹4个，水彩若干盒(不少于4盒).

(1)设购买水彩数量为x(盒)，付款总金额为y(元)，分别建立两种优惠方案中的y与x 的函数关系式；

(2)如果购买同样多的水彩，哪种方案更省钱？

五、(10分)

24.如图，湖心岛上有一凉亭，现欲利用湖岸边的开阔平整地带，测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB(见示意图)，可供使用的工具有测倾器、皮尺.

(1)请你根据现有条件，设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB的方案，画出测量方案的平面示意图，并将测量的数据标注在图形上(所测的距离用m,n,…表示，角用α,β,…表示，测倾器高度忽略不计)；

(2)根据你所测量的数据，计算凉亭到湖面的高度AB(用字母表示).

六、(12分)

25.如图，已知A为优弧中点，且AB=BC，E为劣弧上一点.

(1)求证：AE=BE+CE；

(2)试猜想，当点E在优弧上运动时，线段AE、BE、CE之间具有怎样的关系，画图并证明你的猜想.

七、(12分)

26.甲、乙两辆公共汽车分别自A、B两地同时出发，相向而行.甲车行驶85千米后与乙车相遇，然后继续前进.各车到达对方的出发点等候30分钟立即依原路返回.当甲车行驶65千米后又与乙车相遇，求A、B两地距离.

八、(16分)

27.如图，AB、CD是半径为1的⊙P两条直径，且∠CPB=120°，⊙M与PC、PB及弧

都相切，O、Q分别为PB、弧上的切点.

(1)试求⊙M半径r；

(2)以AB为x轴，OM为y轴(分别以OB、OM为正方向)建立直角坐标系，

①设直线y=kx+m过点M、Q，求k，m；

②设函数y=x2+bx+c的图像经过点Q、O，求此函数解析式；

③当y=x2+bx+c<0时，求x的取值范围；

④若直线y=kx+m与抛物线y=x2+bx+c的另一个交点为E，求线段EQ的长度.

参考答案