公式法解一元二次方程(3)
第3讲 一元二次方程的解法-公式法
第3讲 一元二次方程的解法(三)----公式法知识要点梳理1.一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的求根公式：利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.2.根的判别式：ac b 42-=∆① 当b 2－4ac ＞0时，方程有2个不相等的实数根；② 当b 2－4ac ＝0时，方程有2个相等的实数根x 1＝x 2＝ab 2- ③ 当b 2－4ac ＜0时，方程无实数根.经典例题例1.用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0).因为a ≠0，方程两边都除以a ，得_____________________＝0. 移项，得 x 2＋ab x ＝________， 配方，得 x 2＋a b x ＋______＝______－ac , 即 (____________) 2＝___________因为a ≠0，所以4 a 2＞0，当b 2－4 ac ≥0时，直接开平方，得_____________________________.所以x ＝_______________________例2.不解方程，判断方程根的情况。
（1）x 2＋2x －8＝0； （2）3x 2＝4x －1；x ＝aac b b 242-±-( b 2－4 ac ≥0)（3）x（3x－2）－6x2-2＝0；（4）x2＋(3＋1)x＝0；（5）x（x＋8）＝-16；（6）（x＋2）（x－5）＝1；例2. m取什么值时，关于x的方程x2-2x＋m－2＝0（1）有两个相等的实数根？（2）没有实数根?例3. 说明不论ｋ取何值，关于x的方程x2＋(2ｋ＋１)x＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根.例4. 应用公式法解方程：(1)x2－6x＋1＝0； (2)2x2－x＝6； (3)4x2－3x－1＝x－2；(4)3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1). （5）x2+16x-13=0（6）（x＋1）2＝2（x＋1）.经典练习:1、方程x 2-4x ＋4＝0的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；C.有一个实数根；D.没有实数根. 2、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．x 2＋1＝0 B. x 2+x-1＝0 C. x 2+2x ＋3＝0 D. 4x 2-4x ＋1＝03、若关于x 的方程x 2-x ＋k ＝0没有实数根，则（ ）A. k ＜41B. k ＞41C. k ≤41D. k ≥41 4、关于x 的一元二次方程x 2-2x ＋2k ＝0有实数根，则k 的范围是（ ）A. k ＜21B. k ＞21C. k ≤21D. k ≥21 5．一元二次方程x 2-2x-m=0有两个相等的实数根，则m=（ ）． A ．0 B ．1 C ．-1 D ．±16．用公式法解方程4y 2=12y+3，得到（ ）A ．36-±B ．36±C ．323±D ．323-± 7．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且方程a （1+x 2）+2bx-c （1-x 2）=0的两根相等，则△ABC 为（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．任意三角形8．不解方程，判断所给方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．关于x 的一元二次方程x 2+2x+c=0的两根为__________________．（c ≤1）10．用公式法解方程x 2= -8x-15，其中b 2-4ac=___________，x 1=_________，x 2=___________．11．已知一个矩形的长比宽多2cm ，其面积为8cm 2，则此长方形的周长为________．12．当x=_______时，代数式13x +与2214x x +-的值互为相反数． 13．若方程042=+-a x x 的两根之差为0，则a 的值为______________．14．应用公式法解下列方程:(1) 2 x 2＋x －6＝0； (2) x 2＋4x ＝2；(3) 5x 2－4x －12＝0； (4) 4x 2＋4x ＋10＝1－8x.15.小明在一块长18m 宽14m 的空地上为班级建造一个花园，所建花园占空地面积的2116，图中阴影部分表示道路，请你求出图中的x ．16．要建一个面积为150m 2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一堵墙，墙长为am ，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m ．（1）求鸡场的长与宽各是多少？ （2）题中墙的长度a 对解题有什么作用．课后巩固:1．解下列方程；（1）2x2-3x-5=0 （2）2t2+3=7t(3) (x+5)(x-2)＝8；（4）x22x+1=0（5）0.4x2-0.8x=1 （6）23y2+13y-2=02.ｋ取什么值时，关于x的方程4x2-(ｋ＋2)x＋ｋ－１＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.3、某农场要建一个矩形的养鸭场，养鸭场的一边靠墙，墙长25m，另三边用篱笆围成，篱笆长为40m. （1）养鸭场的面积能达到150m2吗？（2）能达到200 m2吗？（3）能达到250m2吗？如果能，要怎么围？。
人教版九年级数学《解一元二次方程(3)——公式法》课前预习任务单和课堂小练习及答案
C.2x－y＝5D.m2－2m＝3
2. (10分)把方程3x(x－2)＝4(x＋1)化为一元二次方程的一般形式是3x2－10x－4＝0.
3. (10分)一元二次方程x2－6x＋9＝0的解为x1＝x2＝3.
4. (10分)用配方法解方程x2＋10x－7＝0，则方程可变形为(x＋5)2＝32.
解：x1＝－2＋ ，x2＝－2－ .
启后
任务三：学习教材第9～12页，解答下列问解：移项，将常数项移到等号右边，得
ax2＋bx＝－c.
二次项系数化为1，得x2＋ x＝－
.
等号左右两边同时加上 2，得x2＋ x＋ 2＝－ ＋ 2
配方，得到形如(x＋n)2＝p的方程：
思考
任务五：请归纳运用公式法解一元二次方程的一般步骤.
解：①将方程化为一般形式；②准确写出a，b，c的值；③计算b2－4ac的值，并与0比较大小；④当b2－4ac≥0时，可代入求根公式求解；当b2－4ac＜0时，方程无实数根.
限时10分钟总分100分得分
非线性循环练
1. (10分)下列方程是一元二次方程的是(D)
5. (10分)若关于x的方程x2＋2mx＋1＝0的一个根是1，则m的值为－1.
当堂高效测
1. (10分)用公式法求解方程2x2－3x－1＝0，先确定a，b，c的值，正确的是(A)
A. a＝2，b＝－3，c＝－1
B. a＝－2，b＝3，c＝1
C. a＝－2，b＝－3，c＝－1
D. a＝2，b＝3，c＝－1
九年级数学课前预习任务单和课堂小练习及答案
第4课时 解一元二次方程(3)——公式法
课前预习任务单
目标
任务一：明确本课时学习目标
2一元二次方程的解法(3)公式法
b2－4ac＝24，
4 24 x 2 6 2
b b 2 4ac 1 49 1 7 x 2a 2 2 4
3 即x1 2, x 2 2
即x1 2 6 , x 2 2 6
(3) 5x2 -4x-12＝0;
解： a 5，b 4，c 12
一元二次方程的解法
公式法
用配方法解一元二次方程
a x ＋bx＋c＝0（a≠0）． ∵a≠0,所以4a2 ＞0, 解:∵a≠0,方程两边都除以a, 当b2－4ac≥0时,直接 b c 开平方,得 得 x x 0
2
2
a
移项,得 配方,得
2
a b c x x a a
2
b b 2 4ac x 2a 2a
1 20t 10 t 2 15 2
(t 1)(t 3) 0 t1 1,t 2 3
即：t 2 4t 3 0
经检验：t1，t2均符合题意
答:经过1s或3s爆竹离地15m.
小结：
公式法适用于所有的一元二次方程，在 使用求根公式的时候一定要先将方程转化成 一元二次方程的一般形式，才能正确地确定 方程的系数.
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的求根公式：
x b
2 2
(a 0)
b 4ac (b 4ac 0) 得方程的 根．这种解方程的方法叫做公式法．
例1 用公式法解下列方程： （1）2x2＋x－6＝0； （2） x2＋4x＝2； 解:(1)∵a＝2,b＝1, c＝－6, b2－4ac ＝ 12－4×2×(－6) ＝1＋48＝49， (2)将方程化为一般式,得 x2＋4x－2＝0． ∵a=1，b=4，c=-2
一元二次方程解法(3)--公式法[下学期]--浙教版
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一般地,对于一元二次方程 ax 2 bx c 0(a
0) ,
2 b b 4ac 2 如果 b 4 ac 0 ,那么方程的两个根为 x 2a 这个公式叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式，
我们可以 由一元二次方程的系数 a、b、c 的值，直接 求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
b c 解 : x x 0. a a b c 2 x x . a a 2 2 b b b c 2 x x . a 2a 2a a 2 b b 2 4ac . x 2 2a 4a
2
2x2-9x+8=0
当 b 4ac 0时，方程有两个相等的实数 根；
2
当 b 4ac 0 时，方程没有实数根.
2
解方程:
2 1 x x 1 x 2 2
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
你能编一个有解的一元二次 方程吗？ 试一试，考考你的同学吧！
用配方法解下列一元二次程
(1) x 15 10x
2
(2) 2x 9x 8 0
2
你能用配方法解一般形式的一元二 次方程ax2+bx+c=0（a≠0)吗？
b b 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
2
当 b 4ac 0 时，方程有实数根吗？
用公式法解下列一元二次方程:
(1) 2 x 5 x 3 0
2
(2) 4 x 1 4 x
2
3 2 1 (3) x 2x 0 4 2
(4) x x 1 0
一元二次方程的解法公式法
一元二次方程的解法公式法
一元二次方程解法公式法：
（一）定义：
一元二次方程是由一个方程组成的形式，其中包含一个独立的变量以
及平方项和恒等于零的常数。
（二）解法：
1. 首先，我们要用一元二次方程解法公式法来求解一元二次方程问题。
公式为：
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
2. 其次，我们把方程中的变量代入到公式中。
一般来说，方程的形式为：$$ax^2+bx+c=0$$
3. 最后，根据公式，可以得出$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
（三）特殊情况：
1. 一元二次方程的实数根有可能为两个相等的数，此时，解的形式会
变成$$x=\frac{-b}{2a}$$
2. 当$b^2-4ac=0$时，表示方程只有一个实数根，这时，解的形式可以
写作$$x=\frac{-b}{2a}$$
（四）应用：
1. 一元二次方程解法公式法可以用来求解各类一元或多元函数的极值。
例如，可以应用这一方法求解二次曲线的极值点、凸函数的极值点等。
2. 同时，一元二次方程解法公式法也可用于求解数学建模问题，包括
求解市场博弈问题、求解应用各类运筹学问题等等。
（五）益处：
1. 一元二次方程解法公式法比较简单明晰，容易理解，易于使用。
2. 可以让人们轻松地解决一元或多元函数求极值问题，以及市场博弈
问题和应用各类运筹学技术来解决复杂的数学问题。
3. 这种方法可以将复杂的数学问题转换为简单的方程，从而节省时间，提高工作效率。
一元二次方程的解法(公式法3种题型)(解析版)
一元二次方程的解法（公式法3种题型）1.了解求根公式的推导过程.（难点）2.掌握用公式法解一元二次方程.(重点）3.理解并会用判别式求一元二次方程的根.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况一、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b acx a a −+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac −≥时，22404b aca−≥利用开平方法，得：x += 即：x = ②当240b ac −<时，22404b ac a −< 这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b acx a a−+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．二、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac −≥时，有两个实数根：1x =2x =这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式． 三、用公式法解一元二次方程一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac −的值（或代数式）；④若240b ac −≥，则把a 、b 、c 及24b ac −的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac −<，则方程无解．四、 根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac −叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆−．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠， 当2=40b ac ∆−>时，方程有两个不相等的实数根； 当2=40b ac ∆−=时，方程有两个相等的实数根；当2=40b ac ∆−<时，方程没有实数根．五、根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题．题型1根的判别式例1.选择：（1） 下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（ ）（A ）012=+x（B ）0122=++x x （C ）0322=++x x（D ）0322=−+x x（2） 不解方程，判别方程25750x x −+=的根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根（3）方程2510x x −−=的根的情况是()（A ）有两个相等实根 （B ）有两个不等实根 （C ）没有实根（D ）无法确定（4） 一元二次方程2310x x +−=的根的情况为（）（A ）有两个不相等的实数根 （B ）有两个相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根【答案】（1）D ；（2）D ；（3）B ；（4）A ．【答案】【答案】【解析】（1）A ：1a =，0b =，1c =，2440b ac ∆=−=−<，方程无实根；B ：1a =，2b =，1c =，240b ac ∆=−=，方程有两个相等实根； C ：1a =，2b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实根；D ：1a =，2b =，3c =−，24160b ac ∆=−=>，方程有两不等实根实根，故选D ；（2）5a =，7b =−，5c =，24510b ac ∆=−=−<，方程无实根，故选D ； （3）1a =，5b =−，1c =−，24290b ac ∆=−=>，方程有两不等实根，故选B ； （4）1a =，3b =，1c =−，24130b ac ∆=−=>，方程有两个相等实根，故选A ．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根． 例2.不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）24530x x −−=； （2）22430x x ++=；（3）223x +=；（4）22340x x +−=．【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根； （4）方程有两不等实根．【答案】【答案】【解析】（1）4a =，5b =−，3c =−，24730b ac ∆=−=>，方程有两不等实根；2a =，4b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实数根；2a =，b =−3c =，240b ac ∆=−=，方程有两相等实根；（4）2a =，3b =，4c =−，24410b ac ∆=−=>，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．题型2用公式法解一元二次方程例3．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）用公式法解方程：22720x x −+=．【答案】12x x ==【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解．【详解】解：22720x x −+=，∴2,7,2a b c ==−=，244942233b ac ∆=−=−⨯⨯=，∴x ==，解得：12x x ==．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 例4．用公式法解下列方程：（1）2320x x +−=；（2）25610x x −++=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x =．【解析】（1）132a b c ===−，，1742=−ac b ，则2173±−=x ，∴12x x ==；（2）561a b c =−==，，，则5642=−ac b ，则101426−±−=x ，∴123355x x −==，．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式x =的运用．例5.用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+−=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x ==【解析】（1）1,66,9=−==c b a ，则18042=−ac b ，则185666±=x ，∴原方程的解为：12x x ==；22,34,2−===c b a ，则6442=−ac b ，则22834±−=x ，∴原方程的解为：12x x ==【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．题型3根的判别式的应用例6．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）关于x 的一元二次方程()21360x k x k +++−=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根不小于7，求k 的取值范围． 【答案】(1)见解析． (2)5k ≤−．【分析】（1）计算根的判别式的值，利用配方法得到()25k ∆=−，根据非负数的性质得到0∆≥，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用求根公式得到13x =−，22kx =−．根据题意得到27k −≥，即可求得k 的取值范围．【详解】（1）解：()()21436k k ∆=+−−2211224k k k =++−+ 21025k k =−+()250k =−≥，∴方程总有实数根； （2）解：∵()250k ∆=−≥，∴()()152k k x −+±−=，解方程得：13x =−，22kx =−，由于方程有一个根不小于7， ∴27k −≥， 解得：5k ≤−．【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．例7．（2023·江苏苏州·统考一模）已知关于x 的一元二次方程22210x mx m −+−=． (1)若该方程有一个根是2x =，求m 的值；(2)求证：无论m 取什么值，该方程总有两个实数根． 【答案】(1)32m =(2)证明见解析【分析】（1）直接把2x =代入到原方程中得到关于m 的方程，解方程即可得到答案； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程22210x mx m −+−=的一个根为2x =，∴224210m m −+−=，∴32m =；（2）证明：由题意得，()()()222242421484410b ac m m m m m ∆=−=−−−=−+=−≥，∴无论m 取什么值，该方程总有两个实数根．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根；一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．例8．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）关于x 的一元二次方程()23220x k x k −+++=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于2，求k 的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)1k <【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；（2）根据公式法求得方程的解，得出122,1==+x x k ，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）证明：关于x 的一元二次方程()23220x k x k −+++=，∴1,(3),22a b k c k ==−+=+ ∵[]224(3)41(22)−=−+−⨯⨯+b ac k k221k k =−+2(1)0k =−≥，∴此方程总有两个实数根； （2）∵()23220x k x k −+++=∵2(1)k ∆=−∴3(1)2+±−==k k x解得:122,1==+x x k ，∵方程有一个根小于2， ∴12k +<， 解得1k <．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．一、单选题1．（2023·江苏徐州·统考一模）关于一元二次方程2430x x ++=根的情况，下列说法中正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【答案】A【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．【详解】解：2430x x ++=其中1a =，4b =，3c =，∴2Δ441340=−⨯⨯=>，∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 2．（2023·江苏徐州·校考一模）关于x 的一元二次方程240x x k −+=有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k −+=有实数根，∴()2440k ∆=−−≥，∴4k ≤，∴四个选项中只有A 选项符合题意， 故选A ．【点睛】本题主要考查次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．3．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程240x x k −−=没有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．5− B ．4− C ．3− D ．2【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k −−=无实数根，∴()2440k ∆=−+<，∴4k <−，∴四个选项中，只有A 选项符合题意， 故A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．4．（2023春·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程220x x k −+=没有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．1−【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程220x x k −+=没有实数根，∴()2240k ∆=−−<，∴1k >，∴四个选项中，只有选项A 符合题意， 故选A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．5．（2023秋·江苏·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程2440x x k −−+=没有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．0k > B ．4k > C ．0k < D ．4k <【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2440x x k −−+=没有实数根，∴()2416440b ac k ∆=−=−−<，解得：0k <故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根． 二、填空题6．（2023·江苏常州·校考一模）若关于x 的一元二次方程()22210k x x −−−=有实数根，则实数k 的取值范围是______． 【答案】1k ≥且2k ≠【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案．【详解】∵关于x 的一元二次方程()22210k x x −−−=有实数根， ∴()()()22024210k k −≠⎧⎪⎨−−−⨯−≥⎪⎩ ∴21k k ≠⎧⎨≥⎩，即1k ≥且2k ≠． 故答案为：1k ≥且2k ≠．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和跟的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和判别式的性质，从而完成求解．7．（2023·江苏常州·统考一模）若关于x 的方程20x x m −+=（m 为常数）有两个相等的实数根，则m =______．【答案】14【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△0=，求出m 的值即可．【详解】解：关于x 的方程20(x x m m −+=为常数）有两个相等的实数根，∴△2(1)40m =−−=，解得14m =．故答案为：14．【点睛】本题考查的是根的判别式，孰知当△0=时，一元二次方程2(0)y ax bx c a =++≠有两个相等的实数根是解答此题的关键．8．（2023·江苏盐城·校考二模）已知关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，则a 的值为________．【答案】5a =−【分析】将1x =代入方程240x ax ++=，解方程即可得到a 的值．【详解】∵关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，∴将1x =代入方程240x ax ++=，得140a ++=，解得：5a =−， 故答案为：5−【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是使得方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．9．（2023·江苏宿迁·模拟预测）关于x 的方程()21210m x x −−+=有实数根，则m 的取值范围是______． 【答案】2m ≤/2m ≥【分析】分当10m −=时，当10m −≠，即1m ≠时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当10m −=时，即1m =时，原方程即为210x −+=，解得12x =，符合题意；当10m −≠，即1m ≠时，∵关于x 的方程()21210m x x −−+= ∴()()22410m ∆=−−−≥，解得2m ≤且1m ≠； 综上所述，2m ≤， 故答案为：2m ≤．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．10．（2023·江苏·模拟预测）请填写一个常数，使得一元二次方程25x x −+____________0=没有实数根．【答案】7（答案不唯一）【分析】设这个常数为a ，根据根的判别式求出a 的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设这个常数为a ，∴方程250x x a −+=没有实数根，∴()2540a ∆=−−<，∴254a >，∴7a =满足题意，故答案为：7（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．11．（2023秋·江苏无锡·九年级校联考期末）请填写一个常数，使得关于x 的方程24x x −+________=0有两个不相等的实数根． 【答案】1（答案不唯一）【分析】根据方程的系数结合根的判别式2=40b ac ∆−>，即可得出关于c 的不等式，求解即可得出答案．【详解】解：1a =，4b =−，设常数为c ，()22=44410b ac c ∆−=−−⨯⨯>4c ∴<故答案为：1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当0∆>时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 三、解答题12．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）求证：关于x 的方程2()0()x m n x mn m n +++=≠有两个不相等的实数根． 【答案】见解析【分析】根据224()41b ac m n mn ∆=−=+−⨯⨯，再判断出的符号，即可得出结论． 【详解】解∶2222()412()m n mn m n mn m n ∆=+−⨯⨯=+−=−，m n ≠()2m n ∴−>∴方程有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式2Δ4b ac =−：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=，方程有两个相等的实数根；当Δ0<，方程没有实数根． 13．（2023·江苏盐城·校考一模）已知关于x 的一元二次方程210x ax a −+−=． (1)求证：方程总有两个实数根；(2)若该方程有一实数根大于4，求a 的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)5a >【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）利用因式分解法解方程求出方程两个根为1211x x a ==−，，再根据该方程有一实数根大于4进行求解即可．【详解】（1）解：∵知关于x 的一元二次方程为210x ax a −+−=，∴()()()222414420a a a a a ∆=−−−=−+=−≥，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵210x ax a −+−=，∴()()110x x a −+−=，∴10x −=或10x a +−=， 解得1211x x a ==−，，∵该方程有一实数根大于4， ∴14a −>， ∴5a >．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，灵活运用所学知识是解题的关键． 14．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）关于x 的一元二次方程2(23)10mx m x m ++++=有两个不等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取最小整数时，求x 的值． 【答案】(1)98m >−且0m ≠(2)10x =，21x =【分析】（1）由0∆>得到关于m 的不等式，解之得到m 的范围，根据一元二次方程的定义求得答案； （2）由（1）知1m =−，还原方程，利用因式分解法求解可得．【详解】（1）解：由题意得：2(23)4(1)0m m m +−+>， 解得：98m >−且0m ≠；（2）由（1）知，m 最小整数为1−，此时方程为：20x x −+=，解得：10x =，21x =．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．【答案】(1)28n m =−(2)见解析【分析】（1）根据根的判别式符号进行求解；（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】（1）由题意得：()242n m ∆=−⋅−28n m ∆=+方程有两个相等的实数根， 0∴∆=280n m ∴+= 28n m ∴=−（2）当2n m =−()228m m ∆=−+2Δ44m m =++()224420m m m ++=+≥∴方程始终有两个实数根【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式．一、单选题1．（2023春·江苏南京·九年级南京市竹山中学校考阶段练习）一元二次方程2440x x +−=的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【答案】B【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意得，()24414320∆=−⨯⨯−=>，∴原方程有两个不相等的实数根， 故选B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．2．（2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程250x ax −−=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．可能有实数根，也可能没有 C ．有两个相等的实数根 D ．没有实数根【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程为250x ax −−=，∴()()22451200a a ∆=−−⨯−⨯=+>，∴关于x 的一元二次方程250x ax −−=有两个不相等的实数根，故答案为：A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．3．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）若关于x 的一元二次方程22(1)0x x k +−−=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．0k > B ．0k ≥ C ．0k < D ．0k ≤【答案】B【分析】根据一元二次方程有实数根，可知240b ac −≥，求出解即可．【详解】∵一元二次方程22(1)0x x k +−−=有实数根，∴240b ac −≥，即224[(1)]0k −−−≥， 解得0k ≥． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握24b ac −与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的关系是解题的关键．即当240b ac −＞时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；当240b ac −=时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根；当240b ac −＜时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．5．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ) A ．1k >−B ．1k <C ．1k >−且0k ≠D ．1k <且0k ≠【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的判别式得出不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根，∴0k ≠且0∆>，即2(2)4(1)0k −−⨯⨯−>， 解得1k >−且0k ≠． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根． 二、填空题5．（2023春·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）请填写一个常数，使得关于x 的方程22+−x x __________0=有两个相等的实数根． 【答案】1【分析】设这个常数为a ，利用一元二次方程根的判别式得出a 的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个常数为a ， ∵要使原方程有两个相等的实数根， ∴()2=240a ∆−−=，∴1a =，∴满足题意的常数可以为1， 故答案为：1．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．6．（2023春·江苏泰州·九年级靖江市靖城中学校考阶段练习）方程220x x m −+=没有实数根，则m 的取值范围是______． 【答案】1m >/1m <【分析】根据一元二次方程无实数根得到Δ0<，代入即可得出答案．【详解】方程220x x m −+=没有实数根，4410m ∴∆=−⨯⨯<， 1m ∴>，故答案为：1m >．【点睛】本题考查一元二次方程有无实数根，熟记判别式24b ac ∆=−是解题的关键．三、解答题7．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程210x ax a ++−=． (1)若该方程的一个根为2−，求a 的值及该方程的另一根； (2)求证：无论a 取何实数，该方程都有实数根． 【答案】(1)3a =，该方程的另一根为1− (2)证明见解析【分析】（1）先根据一元二次方程解的定义把2x =−代入到210x ax a ++−=中求出a 的值，再利用因式分解法解方程即可；（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程210x ax a ++−=的一个根为2−，∴4210a a −+−=， ∴3a =，∴原方程即为2320x x ++=，∴()()120x x ++=，解得=1x −或2x =−， ∴方程的另一个根为1−；（2）解：∵关于x 的一元二次方程为210x ax a ++−=，∴()()222414420a a a a a ∆=−−=−+=−≥，∴无论a 取何实数，该方程都有实数根．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解一元二次方程，一元二次方程判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．8．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若m 为正整数，求出此时方程的根． 【答案】(1)43m ≤且0m ≠(2)11x =，23x =【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式0∆≥，可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围；（2）由（1）的结论，结合m 为正整数，可得出m 的值，再其代入原方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数根，∴()20Δ4430m m ≠⎧⎪⎨=−−⨯⨯≥⎪⎩， 解得：43m ≤且0m ≠，∴m 的取值范围为43m ≤且0m ≠；（2）∵43m ≤且0m ≠，且m 为正整数， ∴1m =，∴原方程为2430x x −+=，即()()310x x −−=， 解得：11x =，23x =．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式0∆≥，找出关于m 的一元一次不等式组；（2）代入m 的值，求出方程的解．9．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程()242440mx m x m +−+−=（m 为常数，且0m ≠）(1)求证：方程总有实数根； (2)若该方程有两个实数根；①不论m 取何实数，该方程总有一个不变的实数根为______； ②若m 为整数，且方程的两个实数根都是整数，求m 的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①2−；②1m =±或2m =±【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；（2）①利用公式法求出方程的两个实数根即可得到答案；②根据①所求两实数根，结合m 为整数，且方程的两个实数根都是整数进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得()()22=442444b ac m m m ∆−=−−−2216164161640m m m m =−+−+=>，∴方程总有实数根； （2）解：①∵关于x 的方程()242440mx m x m +−+−=有两个实数根，∴2422m x m −±==， ∴1224222242222m m m x x m m m −+−−−====−，，∴不论m 取何实数，该方程总有一个不变的实数根为2−， 故答案为：2−；②由①得，方程的两个实数根为12222mx x m −==−，，∵m 为整数，且方程的两个实数根都是整数， ∴2222m m m −=−为整数，∴1m =±或2m =±．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．10．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程2(1)(3)20m x m x +−++=． (1)证明：不论m 为何值时，方程总有实数根； (2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【答案】(1)证明见解析(2)0m =【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m 的值．【详解】（1）（1）证明：①1m =−时，该方程为一元一次方程220x −+=，有实数根1x =；②1m ≠−时，该方程为一元二次方程，2(3)8(1)m m ∆=+−+221m m =−+2(1)m =−，不论m 为何值时，2(1)0m −…， ∴0∆…， ∴方程总有实数根；综上，不论m 为何值时，方程总有实数根．（2）解：解方程得，(3)(1)2(1)m m x m +±−=+， 11x =，221x m =+，方程有两个不相等的正整数根，m 为整数，0m ∴=．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：0∆>⇔方程有两个不相等的实数根；0∆=⇔方程有两个相等的实数根；0∆<⇔方程没有实数根是解题的关键．【答案】22212x x x −−或【分析】根据分式的混合运算法则化简后，再求出x 的值，代入求值即可．【详解】解：221222121x x x x x x x ⎛⎫÷ ⎪⎝⎭−−−−+++()()()()()22112221121x x x x x x x x x x x ⎡⎤=÷⎢⎥⎣⎦+−−−−++++()()()()21211112x x x x x x +=⨯++−−()2211x x x =−− 22221x x x =−−∵210x x −−=，∴21x x −=，∴原式()2221x x x −=−2211x =−⨯12x =−， 对于210x x −−=来说，1,1,1,a b c ==−=−∵()()22414115b ac −=−−⨯⨯−=，∴x =，∴12x x ==，∴当x =时，原式12x =−，当x =时，原式12x =−=．【点睛】此题考查了分式的化简求值，解一元二次方程等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）解下列方程：2231x x +=【答案】x x ==12，【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，然后用公式法求解即可；【详解】解：原方程可化为：22310x x +−=a b c ===−231 ， ，()b ac −=−⨯⨯−=>2243421170x ∴==x x ==12，【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的基本解法是解题的关键． 13．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）已知关于x 的方程220x mx m +−=−．(1)当该方程的一个根为1−时，求m 的值及该方程的另一根；(2)求证：不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【答案】(1)1=2m ，方程的另一根为32(2)见解析【分析】（1）把1x =−代入原方程求得m 的值，进一步求得方程的另一个根即可；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．【详解】（1）解：把1x =−代入方程 220x mx m +−=−得 120m m ++−=∴1=2m ，把1=2m 代入到原方程得 213022x x −−=∴1x =−或3=2x 故答案为：1=2m ，方程的另一根为32；（2）证明：∵方程220x mx m +−=−，∴根的判别式()()()224224m m m ∆=−−−=−+∵()220m −≥∴()2240m ∆=−+> ∴不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的性质，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=−：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当0∆=，方程有两个相等的实数根；当0∆<，方程没有实数根；熟练掌握一元二次方程根的判别式的性质是解本题的关键． 14．（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程：(1)2820x x −−=（配方法）(2)2320x x ++=（公式法）【答案】(1)14x =+24x =−(2)11x =−，22x =−【分析】（1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，再开方，即可得出结果；（2）利用公式法计算即可．【详解】（1）解：2820x x −−=移项，得：282x x −=，配方，得：2228424x x −+=+，即()2418x −=，由此可得：4x −=±14x =+24x =−（2）解：2320x x ++=1a =，3b =，2c =，224341210b ac ∆=−=−⨯⨯=>，方程有两个不等的实数根，3131212x −±−±===⨯，即11x =−，22x =−．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次．。
21.2.4 一元二次方程的解法(三)公式法
一元二次方程的根的情况
ax2 bx c 0 （a 0）
（1）当 b2 4ac 0 时，有两个不等的实数根。
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac ; 2a
（2）当 b2 4ac 0 时，有两个相等的实数根。
b
x1
x2
; 2a
（3）当 b2 4ac 0 时，没有实数根。
x b b2 4ac 2a
利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．
例1 （1）用公式法解方程 5x2-4x-12=0 求根公式：x -b b2 - 4ac
经历求根公式的推导过程. 会用公式法解简单系数的一元二次方程.
1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？
①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.
2.如何用配方法解方程2x2+4x+1=0?
解：移项，得 2x2+4x=－1, 二次项系数化为1，得 x2 +2x
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
.
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
.
问题：接下来能用直接开平方解吗？
问题：接下来能用直接开平方解吗？
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
(x+n)2=p有实数根的条件是（ p≥0 ）
∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ≥0时，方程有实数根.
1.关于x的一元二次方程 x2 2x m 0 有两个实根，则m的取
值范围是 m 1 .
一元二次方程的解法(三)--公式法
一元二次方程的解法（三）
--公式法
【学习目标】
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；
2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；
3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．
【要点梳理】
公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
一元二次方程，当时，.
2.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：．
①当时，原方程有两个不等的实数根；
②当时，原方程有两个相等的实数根；
③当时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
①把一元二次方程化为一般形式；
②确定a、b、c的值（要注意符号）；
③求出的值；
④若，则利用公式求出原方程的解；
若，则原方程无实根.
注：虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.
【典型例题】
1.用公式法解下列方程．
(1) x 2+3x+1=0； (2)2241x x =-； (3) 2x 2
+3x-1=0．
举一反三：
【变式】用公式法解方程：3x 2=4x+1
2．用公式法解下列方程：
(1)2100x -+=； (2)(1)(1)x x +-= ； （3）2x 2﹣2x ﹣5=0
举一反三：
【变式】用公式法解下列方程： 2221x x +=；。
一元二次方程的解法公式法
解：原方程中 a = 1, b = − 1, c = − 3 b − 4 ac = ( − 1) − 4 × 1 × ( − 3) = 13
2 2
− b ± b − 4 ac − 1 ± 13 x= = 2a 2 − 1 + 13 − 1 − 13 ∴ x1 = , x2 = 2 2
2
辨 析
2、解方程：2 x + x − 2 = 0
2
2
当b − 4ac ≥ 0时，它有两个实数根：
+ bx + c = 0(a ≠ 0)
− b + b2 − 4ac − b − b2 − 4ac x1 = , x2 = 2a 2a
这就是一元二次方程 ax +bx+c = 0(a ≠ 0)
2
的求根公式.
在解一元二次方程时，只要把方程化为一般式
ax + bx + c = 0(a ≠ 0)
辨 析
小马虎在学完用公式法解一元二次方程 觉得非常简单,也非常高兴, 后,觉得非常简单,也非常高兴,很快就做好 了作业,可是他马虎的毛病到底改了没有呢? 了作业,可是他马虎的毛病到底改了没有呢? 1、解方程： x − x − 3 = 0
2
解：原方程中 a = 1, b = − 1, c = − 3 b − 4 ac = ( − 1) − 4 × 1 × ( − 3) = 13
2
b − 4ac = (−4) − 4 ×1× 4 = 0
2 2
− b ± b − 4ac 4 ± 0 x= = =2 2a 2 ∴x = 2
2
辨 析
2 4、解方程： x + x + 2 = 0
2
解：原方程中 a = 2, b = 1, c = 2 b − 4 ac = 1 − 4 × 2 × 2 = −15
2.2_一元二次方程的解法公式法正式(4)-
16 2 (1) x 1 25
2
(2) 5x 2x (3)(x - 2) 9x
2
2
2
(4) 3x 1 4x （5）x（2x-7）=2x （6）x² +4x=3
（7）x²-5x=-4 （8）2x²-3x-1=0
这是收获的
时刻，让我 们共享学习 的成果
一、由配方法解一般的一元二
次方程 ax2+bx+c=0 若 b2-4ac≥0 得
(a≠0)
求根公式 : X=
这是收获的
时刻，让我 们共享学习 的成果
二、用公式法解一元二次方
程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。 并写
出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。
3、代入求根公式 :
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解: x1=?, x2=?
用公式法解一元二次方程的步骤:
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值. 2、求出b2-4ac的值. 3、代入求根公式 :
b b 4ac x (a 0, b2 4ac 0) 2a
2
4、写出方程的解x1与x2.
随堂 练习 (1)2x2-x-1=0 解:
1.用公式法解下列方程： (2)x2+1.5=-3x
1、对于方程ax2+bx+c=0的两根为：
X 1= X 2=
（1）从两根的代数式结构上有什么特点？
（2）根据这种结构可以进行什么运算？你发现了什么？
思考题 3、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b， c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
一元二次方程的6种解法
一元二次方程的6种解法
一元二次方程的6种解法如下：
1、因式分解法：将一元二次方程化成 ax^2+bx+c=0 的形式，先将两边同乘以a后，即a(x^2+ b/ax + c/a)，然后将此形式拆解为（x+()）(x+(/))的形式，得到两个一元一次方程，求出x的值，即可求出原方程的解。
2、公式法：用公式法求解一元二次方程，即通过求解公式：x=(-
b±√(b^2-4ac))/2a来求解，此公式中，b和c为方程的系数，a为系数前的系数。
3、图像法：使用图像法求解一元二次方程，即作出ax^2+bx+c=0方程图象，然后根据图象上的交点判断出方程的解。
4、判别式法：此法根据一元二次方程的判别式来求解，即当判别式b^2-4ac>0时，方程有两个不等实根；当判别式b^2-4ac=0时，方程有一个实根；当判别式b^2-4ac<0时，方程没有实根。
5、求根公式法：此法可以用来求解一元二次方程的实根，即用求根公式x1=(-b+ √(b2- 4ac))÷2a和x2=(-b-√(b2- 4ac))÷2a，其中，b 为系数前的系数，a和c分别为方程的系数。
6、特殊值法：此法适用于一元二次方程中特殊的系数或解。
如当
a=0，系数b和c任意时，可将该方程化为一元一次方程，求解即可；当a=b=0时，可直接算出方程的解。
21-2.3 公式法解一元二次方程(3)
解：原方程可化为： 5x2 4 x 1 0
这里的a、b、 c的值分别是 什么？
a 5, b 4, c 1
△ b2 4ac (4) 2 4 5 (1) 36 ＞0
则：方程有两个不相等的实数根 教材导读
b 2 4ac (4) 36 4 6 x 2a 25 10 46 46 1 即： x1 1, x2 10 10 5 结论：当 △ b 2 4ac＞0 时，一元二次方程有两个不 相等的实数根.
（3）当
b 2 4ac 0
b x1 x 2 ; 2a
时，
2 ax bx c 0 （a 0）没有实数根． 一元二次方程
一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的 判别式。通常用希腊字母△表示它，即△= b2-4ac。 由上可知当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方 程无实数根。 一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
ax bx c 0 (a 0)
2
配方得：
2 b b 4ac x 2a 4a 2
2
∵a 0,4a 0 当
2
b 4ac 0
2
2 b b 4 ac x 即 教材导读 2a 2a
特别提醒 一元二次方程 的求根公式
b b 4ac x 2a
2
解:
移项，得
ax bx c
2
方程两边都除以 a
教材导读
b c x x a a
2
2 2 2
配方，得
即
2.3用公式法求解一元二次方程(3)
第二章一元二次方程2.3 用公式法求解一元二次方程课题§ 2.3 用公式法求解一元二次方程教学目标（一）教学知识点1 •一元二次方程的求根公式的推导.2 •会用求根公式解一元二次方程.（二）能力训练要求1 •通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力.2 •会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程.（三）情感与价值观要求通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯. 教学重点一元二次方程的求根公式教学难点求根公式的条件：b2-4ac > 0教学方法讲练相结合教具准备投影片五张第一张：复习练习（记作投影片§ 2 • 3A第二张：试一试（记作投影片§ 2. 3B）第三张：小亮的推导过程（记作投影片§ 2・3 C）第四张：求根公式（记作投影片§ 2 • 3 D）第五张：例题（记作投影片§ 2・3 E）教学过程1・巧设现实情景，引入课题［师］我们前面学习了一元二次方程的解法•下面来做一练习以巩固其解法. （出示投影片§ 2. 3 A）1 .用配方法解方程2X2-7X+3 = 0.［生甲］解：2x-7x+3 = 0,7 3两边都除以2,得X 2 -X+ 2 = 0・7 3移项，得；X2- 2 X=- 2 •7 7 3 7配方，得X- 2 x+(- 4 ) = - 2 +(- 4 )•两边分别开平方，得7 5X- 4 =± 47 5 7 5 即 x- 4 = 4 或 x- 4 =- 4 -1二 x i =3, X 2= 2 •［师］同学们做得很好，接下来大家来试着做一做下面的练习. (出示投影片§ 2. 3 B)、_fx 、_fx .r 1 Z~1试一试，冃疋仃：1 .用配方法解下列关于 x 的方程：2 2(1) x +ax = 1; (2)x +2bx+4ac = 0. ［ 生乙］(1)解 x +ax = 1,a a配方得 x?+ax+( 2 )2= 1+( 2)2,, 2a c 4 a (x+2 )2= 4 •两边都开平方，得-a - /4 a 22=22［ 生丙］(2)解 x -2bx+4ac = 0, 移项，得 x 2+2bx = -4ac . 配方，得 x -2bx+b = -4ac+b , 2 2(x+b) =b -4ac . 两边同时开平方，得 x+b =± . b 2 - 4ac ,即 x+b = .b 2 -4ac , x+b = - b 2 -4ac ••• x 1=-b+、b 2 —4ac , x 2= -b- ，b 2 —4ac ［生丁］老师，我觉得丁同学做错了，他通过配方得到 (x+b) 2= b 2-4ac .根据平方根的性质知道：只有正数和零才有平方根，即只有在 b 2-4ac > 0时，才可以用开平方法解出来.所以，在这里应该加一个条件：b 2-4ac > 0.［ 师］噢，同学们来想一想，讨论讨论，戊同学说得有道理吗 ？［生齐声］戊同学说得正确.因为负数没有平方根，所以，解方程x 2+2bx+4ac = 0时，必须有条件：b 2-4ac >0,才有丁同学求出的解.否则，这个方程就没有实数解. ［师］同学们理解得很正确，那解方程x 2+ax = 1时用不用加条件呢？4 a 22a即 x+ 2 =.4 a22旦...4 a 2 x+ 2 =--22…X 1 =-a 4 a 22x+［生齐声］不用. ［师］那为什么呢？数，所以就不必加条件了.［师］好，从以上解题过程中， 我们发现：利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同 的•因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程 ax 2+bx+c = 0（a 工0），得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多.这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式.n.讲授新课［师］刚才我们已经利用配方法求解了四个一元二次方程， 那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax 2+bx+c = 0（a 丰0）呢？大家可参照解方程 2X 2-7X +3 = 0的步骤进行. ［生甲］因为方程的二次项系数不为 1，所以首先应把方程的二次项系数变为1,即方程两边都除以二次项系数 a ,得2b c x + x =0.a a［ 生乙］因为这里的二次项系数不为 0，所以，方程 ax 2+bx+c = 0（a 工0）的两边都除以a时，需要说明a 工0.［师］对，以前我们解的方程都是数字系数，显然就可以看到：二次项系数不为 0,所以无需特殊说明，而方程 ax 2+bx+c = 0（a 工0）的两边都除以a 时，必须说明a ^0.好，接下来该如何呢？ ［生丙］移项，得x 2+b x 二--a a2 b / b 、2 c / b 、2配万，得x + x （）（）,a 2a a 2a［师］这时，可以直接开平方求解吗 ？［ 生丁］不，还需要讨论.因为0,所以4a 2>0.当b 2-4ac >0时，就可以开平方. 2恒成立，所以只需 b-4ac 是非负数即可.大家来想一想，讨论讨论:2［师］当 b-4ac > 0 时,生齐声］因为把方程 a2 2x +ax = 1配方变形为(x+ ~2 )=，右边就是 个正（x+却b 2-4ac 4a 2［师］对，在进行开方运算时，被开方数必须是非负数,即要求b 2「4ac4a22>0.因为 4a >0因此, 方程(x+ —)2=2ab 2-4ac4a 2的两边同时开方，得2ab 2-4ac 4a 2b 2-4ac 4a 22、b -4ac2ab 2-4ac 2a所以 x+A=± b _4ac2a2a- b 二.b 2- 4ac2ax+A = ±22a ", 4a 2b 2-4ac 丄 b 2-4ac _______ = ± __________2|a|因为式子前面有双重符号“土”，所以无论 a>0还是a<0,都不影响最终的结果：土x 2+b xai2a 丿b 9 b 2-4ac—（x 丁 —） 2 2a 2a 4a如果- 、b 2 - 4ac - 0这样，我们就得到一元 2次方程 ax +bx+c = 0（a 丰0）的求根公式:x 「b b 2-4ac （b 2-4ac , 0）,2a即（出示投影片§ 2. 3 D ） 一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c = 0（a 丰0），当b 2-4ac > 0时，它的根是一 b ± lb 2 - 4ac x=—2a[ 师]用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.（Solving by formular ）由此我们可以看到：一元二次方程 ax 2+bx+c = 0（a 丰0）的根是由方程的系数 a 、b 、c 确 定的.因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在 b 2-4ac >0的前提条件下，把各项系数 a 、b 、c 的值代入，就可以求得方程的根. 2 2 注：（1）在运用求根公式求解时，应先计算 b -4ac 的值；当b-4ac > 0时，可以用公式求出两个不相等的实数 解；当b 2-4ac v 0时，方程没有实数解•就不必再代入公式计算了.a 、 x=-A ±*2-4眩2a2a好，我们来看小亮的推导过程.（出示投影片§ 2. 3 C ）两边都除以a >配方-- T(2) 把方程化为一般形式后，在确定 a 、b 、c 时，需注意符号.［来源:学科网］接下来，我们来看一例题.(出示投影片§ 2. 3 E) ［例题］解方程X 2-7X -18 = 0.分析：要求方程 X 2-7X -18 = 0的解，需先确定a 、b 、c 的值.注意a 、b 、c 带有符号 解：这里 a = 1, b = -7 , c = -18 .••• b 2-4ac=(-7) 2-4 x 1 x (-18)=121> 0,7 - . 121 7 _11 • X= 2 1— 52却 X 1 = 9, X 2 = -2 .［师］好，我们来共同总结一下用公式法解一元二次方程的一般步骤. ［师生共析］其一般步骤是： (1) 把方程化为一般形式，进而确定a 、b ,c 的值.(注意符号)(2) 求出b 2-4ac 的值.(先判别方程是否有根)(3)在b 2-4ac > 0的前提下，把a 、b 、c 的直代入求根公式， 求出 ——b 一 4ac 的值,2a最后写出方程的根.［师］接下来我们通过练习来巩固用公式法求解一元二次方程的方法. 川.课堂练习 (一) 课本P 43随堂练习1、2、3 (二)看课本P41〜P43，然后小结.W.课时小结这节课我们探讨了一元二次方程的另一种解法一一公式法. (1) 求根公式的推导，实际上是“配方”与“开平方”的综合应用.对于 a 工0, b 2-4ac> 0以及由a 丰0,知4a 2>0等条件在推导过程中的应用，也要弄清其中的道理.(2)应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写出a 、b 、c 的数值以及计算b 2-4ac 的值，当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程.V. 课后作业(一)课本P43习题2. 5 1、2 ( 二)预习内容：P44W. 活动与探究1 .阅读材料，解答问题： 阅读材料：为解方程(X 2-1) 2-5(X 2-1)+4 = 0，我们可以将(X 2-1)视为一个整体，然后设 X 2-1 = y ,则 (X 2-1) 2 = y 2，原方程化为 y 2-5y+4=0 .①解得 y 1=4, y 2= 1.2当 y 1 = 4 时，X -1 = 4, ••• X 2 = 5,二 X =± 一 5 .2当 y = 1 时，X -1 = 1, • X 2 = 2,「. X = ± 2 .x 3= 5 , X 4=- 5.解答问题： (1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 _________ 法达到了降次的目的，体现了 _________ 的 数学思想. (2)解方程 x 4-x 2-6 = 0.［ 过程］通过对本题的阅读，让学生在获取知识的同时，来提高学生的阅读理解和解 决问题的能力. ［结果］解：(1)换元转化 (2) 设 x 2 = y ,则 x 4=y 2, 原方程可以化为y2-y-6 = 0. 解得 y i =3, y 2= -2 .当 y i =3 时，x 2 = 3,. x =± . 3 . 当y 2= -2时，x 2=-2，此方程无实根. 原方程的解为x i = •、3 , X 2= - . 3 .板书设计§ 2 . 3公式法2、解：2x-7x+3 = 0, 两边都除以2，得27 3 x - x =0.2 2移项，得27 3 x - x .22配方，得.x i =3, X 2= 1 .X 2-］（三）22472（X-”25416两边分别开平方,2二、求根公式的推导三、课堂练习四、课时小结五、课后作业。
一元二次方程3 公式法
公式法1、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 2、一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； III 当△<0时，一元二次方程没有实数根公式法用配方法解方程如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根。
问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0），试推导它的两个根x 1=，x 2(这个方程一定有解吗?什么情况下有解？)解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a）2即（x+2b a）2=2244b aca - ∵4a 2>0，4a2＞0, 当b 2-4ac ≥0时2244b aca -≥0∴（x+2b a）2=(2a )2直接开平方，得：x+2ba =±2a 即x=2b a -±∴x 1x 2由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2b a-±就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．公式的理解（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1．用公式法解下列方程．（1）2x 2-x-1=0 （2）x 2+1.5=-3x (3) x 2x+ 12=0 举一反三（1）4x 2-3x+2=0 （2）（x-2）（3x-5）=0应用拓展例2．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x++（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程． 你能解决这个问题吗？练习一一、选择题1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）．A ．B ．C ．D ．22的根是（ ）．A ．x 1，x 2B ．x 1=6，x 2C ．x 1x 2D ．x 1=x 23．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）．A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2二、填空题1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．三、综合提高题1、用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，试推导x1+x2=-ba，x1·x2=ca；判别一元二次方程根的情况一、用公式法解下列方程．（1）2x 2-3x=0 （2）3x 2 （3）4x 2+x+1=0 二、探索新知从前面的具体问题，我们已经知道b 2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：求根公式：x=2b a-±，（1）当b 2-4ac>0时，的x 1=2b a -+≠x 1=2b a--，即有两个不相等的实根．（2）当b 2-4ac=0时，•=0，所以x 1=x 2=2ba-，即有两个相等的实根； （3）当b 2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．因此，（结论）（1）当b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不相等实数根即x 1x 2．（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=2b a．（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．例1．不解方程，判定方程根的情况（1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0举一反三判断根的情况（1）2x2-9x+8=0 （2）x2-7x-18=0三、巩固练习不解方程判定下列方程根的情况:（1）x2+10x+26=0 （2）x2-x-34=0 （3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x+116=0（5）x2x-14=0 （6）4x2-6x=0 （7）x（2x-4）=5-8x四、应用拓展例2．若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．练习二一、选择题1．以下是方程3x2-2x=-1的解的情况，其中正确的有（）．A．∵b2-4ac=-8，∴方程有解B．∵b2-4ac=-8，∴方程无解C．∵b2-4ac=8，∴方程有解D．∵b2-4ac=8，∴方程无解2．一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（）．A．a=0 B．a=2或a=-2 C．a=2 D．a=2或a=03．已知k≠1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（）．A．k≠2 B．k>2 C．k<2且k≠1 D．k为一切实数二、填空题1．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________．2．不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是______（•填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．3．已知b≠0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x2-（2a+b）x+（a+ab-2b2）•=0的根的情况是________．三、综合提高题1．不解方程，试判定下列方程根的情况．（1）2+5x=3x2（2）x2-（2．当c<0时，判别方程x2+bx+c=0的根的情况．3．不解方程，判别关于x的方程x2-2kx+（2k-1）=0的根的情况．4．某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金，该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元，2002年销售总额为7.2亿元，求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率课堂总结1、（1）求根公式的概念及其推导过程；（2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程的步骤:1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。
一元二次方程的解法(三)公式法(课件)数学九年级上册(人教版)
8
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4
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2
【分析】∵一元二次方程ax2-x+2=0有实数根，
∴b 4ac -1 -4a 2 1 8a 0 ，且a≠0，
1
解得 a ≤ 且a≠0．
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2
2
例3.已知关于x的一元二次方程 kx 2 (k 3) x 3 0(k 0)．求证：
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
用公式法解下列方程：
(1)x2+x-6=0
(2)x2-
1
3x- =0
4
解：(1) a=1，b=1，c=-6.
Δ=b2-4ac=12-4×1×(-6)=25＞0
方程有两个不等的实数根
b b 2 4ac 1 25 1 5
x
2a
2 1
2
∴
，得 k 且 k 1
4
Δ 1 4(k 1) 0
解得
且 k 1．
【点睛】一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或
两个相等实根两种情况.
已知一元二次方程 ax x 2 0 有实根，a的取值范围是（ B）
1
1
1
1
a≤ 且a 0
A．a ≤
B．
C．a
将x=2代入 x 2 kx k 1 0 有
4-2k+k-1=0
解得k=3
2
则方程为 x 3x 2 0
解得x1=2，x2=1
等腰三角形三边长为2，2，1，符合三角形三边关系．
2
例4.已知关于x的一元二次方程 x kx k 1 0．
（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；
九年级数学《一元二次方程的解法(3)-公式法》课件
第4课时 一元二次方程的解法(3)—— 公式法
1.一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0),当 b2－4ac≥0 时,它的求根
－b± b2－4ac
公式是 x＝
2a
.
2.用公式法解一元二次方程2x2＋3x－1＝0时化方程为一般式
当中的a,b,c依次为( B )
A.2,－3,1
B.2,3,－1
C.－2,－3,－1
D.－2,3,1
3.一元二次方程
x2－x－1＝0
的根是
x＝1±
2
5
.
4.若关于x的一元二次方程2x2－3x＋c＝0的一个根是1,则c的 值是 1 .
5.用公式法解下列方程:
(1)x2－3x－2＝0;
(2)3x2＋5x－2＝0.
(1)x＝3± 17
2
(2)x1＝13,x2＝－2
6
即
x1＝5＋6
13
,x2＝
5－ 6
13,
∴3x2－5x＋1＝3 x－ 5＋ 13 x－ 5－ 13
6
6
＝3 x－ 13＋5 x＋ 13－5 .
6
6
10.一元二次方程 x2＋2 2x－6＝0 的根是 x1＝ 2,x2＝－3 2 .
11.解方程:(x＋1)(x＋3)＝2.
x1＝－2＋ 3,x2＝－2－ 3
12.解方程 x2＝－3x＋2 时,有一位同学解答如下: 解:∵a＝1,b＝3,c＝2,b2－4ac＝32－4×1×2＝1,
－b±
∴x＝
b2－4ac 2a
解:当 x－1≥0,即 x≥1 时,原方程可化为 x2－(x－1)－2＝0,即 x2－
x－1＝0,解得 x＝1± 5.
一元二次方程的解法之公式法
1 一元二次方程的解法（3）--公式法一．知识回顾：用配方法解一元二次方程a x 2+bx+c=0(a ≠0)二．知识点：1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式：042≥-ac b ） 2．用公式法解一元二次方程的关键是解题步骤：①.先写出a ，b ，c ②.再求出ac b 42- ③.最后代入公式当 042≥-ac b 时，有两个实数根；当 042<-ac b 时，方程无实数根。
3．一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 的根的判别式Δ=b 2-4ac ，当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac -<时，方程没有实数根 。
（反过来也成立）4． 例．用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0； （2）5x+2=3x 2 （3）（x-2）（3x-5）=0 ；（4）4x 2-3x+1=0 ； （5）212308x x -+= （6）x 2-2a x-b 2+a 2=0； ．三．自我训练：1．选择题1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）．A ．B ．C ．D ．22的根是（ ）．A ．x 1x 2B ．x 1=6，x 2C ．x 1x 2D ．x 1=x 23．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）．A ．4 B ．-2 C ．4或-2 D ．-4或24．设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，（1）试推导x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=c a ；（2）•求代数式a （x 13+x 23）+b （x 12+x 22）+c （x 1+x 2）的值．。
2.2一元二次方程的解法(3)(333公式法)1
用公式法解下列一元二次方程:
(1) 2x2 5x 3 0
(2) 4x2 1 4x
(3) 3 x2 2x 1 0
4
2
(4) x2 x 1 0
一元二次方程 ax2 bx c 0（a ≠0)
根的情况：
当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实
数根；
当 b2 4ac 0时，方程有两个相等的实数
当 b2 4ac 0 时，方程有实数根吗？
一般地,对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0),
如果 b2 4ac 0,那么方程的两个根为 x b
b2 4ac 2a
这个公式叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式，
我们可以 由一元二次方程的系数 a、b、c的值，直接
求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
若关于x的方程 x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n=-1或4 .
探索发现
一元二次方程 ax2 bx c 0（a ≠0)
X1=
X2=
1、从两根的代数式结构上有什么特点？
2、根据这种结构可以进行什么运算？ 你发现了什么？
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根 为互为相反数？
用公式法解一元二次方程的步骤: 你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
1.变形:化已知方程为一般形式;
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
3.计算: b2-4ac的值; 4.代入:把有关数值代入计算;
x b b2 4ac (a 0,b2 4ac 0) 2a
5.定根:写出原方程的根.
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7.3.3用公式法解一元二次方程
一、素质教育目标
（一）知识教学点：
掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．
（二）能力训练点：
培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．
（三）德育渗透点：
1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；
2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：根与系数的关系及其推导．
2．教学难点：正确理解根与系数的关系．
3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．
三、教学步骤
（一）明确目标
一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x
1=2，x
2
=3，可以发现x
1
＋x
2
=5恰是方程一次项
系数-5的相反数，x
1x
2
＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规
律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．
（二）整体感知
一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为
基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．
本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．（三）重点、难点的学习及目标完成过程
1．复习提问
（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．
（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0．
观察、思考两根和、两根积与系数的关系．
在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？
2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．
设x
1、x
2
是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．
以上一名学生在板书，其它学生在练习本上推导．
由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）
结论1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1
我们就可把它写成
x2+px+q=0．
结论2．如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q．
结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．
练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
（1）x2-2x＋1＝0；（2）x2-9x＋10＝0；
（3）2x2-9x＋5＝0；（4）4x2-7x＋1＝0；
（5）2x2-5x＝0；（6）x2-1＝0
此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系．
3．一元二次方程根与系数关系的应用．
（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．
验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项
（2）已知方程一根，求另一根．
例：已知方程5x2＋kx-6＝0的根是2，求它的另一根及k的值．
此题的解法是依据一元二次方程根与系数的关系，设未知数列方程达到目的，还可以向学生展现下列方法，并且作比较．方法（二）∵ 2是方程5x2+kx-6=0的根，
∴ 5×22＋k×2-6＝0，∴ k＝-7．
∴原方程可变为5x2-7x-6=0
学生进行比较，方法（二）不如方法（一）简单，从而认识到根与系数关系的应用价值．
练习：教材P．34中2．
学习笔答、板书，评价，体会．
（四）总结、扩展
1．一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行．它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础．
2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力．
四、布置作业
1．教材P．33中A1．2．推导一元二次方程根与系数关系．
五、板书设计
12．4 一元二次方程根与系数的关系（一）
一元二次方程根与系数关系
关系
的推导
应用（1）验根
（1）…………（2）已知一根，
求另一根（2）…………
六、作业参考答案
教材P．35中A1
解：设方程的另一根为x2
A2
解：设方程的另一根为x2。