微分方程第2章习题解

µ(x, y) =
1
。
xM (x, y) + yN (x, y)
方法 3 用定义求积分因子。
由积分因子的定义，只需证明二元函数 µ(x, y) =
1
满足
xM (x, y) + yN (x, y)
∂(µM ) ∂(µN )
=
即可。为此，我们计算
∂y
∂x
∂( M )
∂(µM ) xM + yN
=
∂y
∂y
分离变量，可求得
f (x) = ± 1 ， 2(x + C)
1
代入原方程可得 C = 0 ，从而 f (x) 的一般表达式为 f (x) =
。
2x
评注：本题中常数的确定不能直接通过所给积分方程得到，而是需将通解代回原方程来 确定。
2-2 求具有性质 x(t + s) = x(t) + x(s) 的函数 x(t) ，已知 x′(0) 存在。 1 − x(t)x(s)
g
x
(
y x
)
=
−
y x2
g′
=
1 N2
(M x N
− NxM)，
y gy ( x)
=
1 x
g′ =
1 N2
(M y N
− MN y ) ，
∂(µM )
− ∂(µN )
=
−N2
xy x2
g′+ N2
y g′ x
=
N2(y x
−
y)g′ x
= 0，
∂y
∂x
(xM + gN )2
(xM + gN )2
因而 µ 是齐次方程的积分因子。
N]
=
( xM
1 + yN)2
[ xM
∂N ∂x
−
xN
∂M ∂x
−
NM ] ，
∂(µM ) − ∂(µN )
∂y
∂x
= x(NM x − MN x ) + y(NM y − MN y ) ， (xM + yN )2
dy
由于
M (x, y)
M
=−
为齐次方程，令
= g( y)
dx N (x, y)
Nx
显然 故
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
∂M
中的函数满足关系
− ∂N
=
Nf (x) − Mg ( y) ，其中
f (x), g( y) 分别为
x和
y 的连续函
∂y ∂x
∫ ∫ 数，试证方程 M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 有积分因子 µ = exp( f (x)dx + g ( y)dy) 。
s →0
s
分离变量，再积分可得
x(t) = tan[x′(0)t + C] ，
再由 x(0) = 0 ，知 C = 0 ，从而 x(t) = tan[x′(0)t]。
评注：本题是函数方程的求解问题，利用导数定义建立微分关系，转化为求解常微分方 程的初值问题。
2-3 若 M (x, y)x + N (x, y) y ≠ 0 ，证明齐次方程 M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 有积分因
评注：注意求积分因子方法的正确运用，对于齐次方程 M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 ，
除了可以化为变量可分离方程以外，我们还可以采用本例中所得到的结果，很快寻找出一个
积分因子 µ(x, y) =
1
，将其转化为恰当方程来求解。
xM (x, y) + yN (x, y)
dy
1
2-4 解方程 dx = xy + x3 y3 。
yN − xM d(xy) µ(xy)
因此方程具有形如 µ( xy) 的积分因子的充要条件是
∂M ∂N −
∂y ∂x = g (xy) 。 yN − xM
评注：利用对称形式的微分方程的系数容易判断方程是否具有特殊形式的积分因子，从 而给出求积分因子的思路。
2-6 设 f (x, y) 及 ∂f 连续，试证方程 dy − f (x, y)dx = 0 为线性方程的充要条件是它有 ∂y
y
y
f (u)du − u ( f (u) − g(u))dy = 0 ， y
这是分离变量方程，只要给两端乘以因子 µ = [u( f (u) − g(u))]−1 就可分离变量，从而变为
恰当方程。
所以原方程的积分因子为 µ = [xy( f (xy) − g (xy))]−1。
评注：求积分因子时，注意整体变量代换。 2-8 假设方程
设 M (x, y), N (x, y) 是 m 次齐次函数，则令 y = ux ， dy = xdu + udx ，有
M (x, y) = M (x, xu) = x m M (1,u), N (x, y) = N (x, xu) = x m N (1, u),
将其代入原方程 M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 中，得
d(x + y)
∂M ∂N −
∂y ∂x = dµ(x + y) ⋅ 1 = f (x + y) ， N − M d(x + y) µ(x + y)
因此方程具有形如 µ( x + y) 的积分因子的充要条件是
∂M ∂N −
∂y ∂x = f (x + y) 。 N −M µ(xy) 是方程 M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 的积分因子的充要条件是
有积分因子 µ = (xy[ f (xy) − g(xy)])−1 。
证 方法 1 用积分因子定义证明。
令 M = yf (xy) , N = xg(xy)
∂(M ⋅ μ) − ∂(N ⋅ μ)
∂y
∂x
f ′( f − g) − ( f ′ − g ′) f g ′( f − g ) − ( f ′ − g ′)g
x m{[M (1,u) + N (1, u)u]dx + xN (1,u)du} = 0 ，
可以看出上方程为可分离变量的方程，只要给上式乘以积分因子
µ(x, y)
=
1 x m+1[M (1, u) + uN (1,u)]
=
1 xM (x, y) +
yN(x, y)
，
方程就可变量分离，即化为恰当方程，因此，齐次方程的积分因子是
dx 为 dx = 1 ，然后就 x 进行求解，有时会取得意想不到的效果，参见典型习题 2-15，4），
dy f (x, y)
和 2-16，4）。
2-5 试导出方程 M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 分别具有形为 µ(x + y) 和 µ(xy) 的积分
因子的充要条件。
解 根据判别准则（定理 2.1）， µ(x + y) 是方程 M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 的积分因
=
−
= 0，
( f − g)2
( f − g)2
故该方程有积分因子 µ = (xy[ f (xy) − g(xy)])−1 。
方法 2 利用变量代换方法证明。
令 u = xy ， du = ydx + xdy ，代入方程消掉一个变量 x ，有
f (u)(du − u dy) + u g(u)dy = 0 ，
∂( μ(xy)M ) = ∂( μ(xy)N )
∂y
∂x
即
μ(xy)(∂M − ∂N ) = N ∂μ(xy) − M ∂μ(xy)
∂y ∂x
∂x
∂y
µ(xy)(∂M − ∂N ) = ( yN − xM ) dµ(xy) ，
∂y ∂x
d (xy)
∂M ∂N −
∂y
∂x
dµ ( xy)
=
⋅
1
= g(xy) ，
仅依赖于 x 的积分因子。 证 必要性。若方程 dy − f (x, y)dx = 0 为线性方程，则方程可写为
dy − (P(x) y + Q(x))dx = 0，令
M = −(P(x) y + Q(x)) , N = 1 ，
∂M ∂N
−
∂M
∂ywenku.baidu.com
由题有 连续，
∂x = −P(x) ，
∂y
N
由定理 2-2 的结论 1 方程有积分因子 e∫ −P( x) dx ，仅依赖于 x 。
采用常数变易法，令 z = C~( y)e−y2 代入 dz = −2zy − 2 y3 中得 dy
C~( y) = − y 2 e y 2 + e y 2 + C ， 故 z = − y 2 + 1+ Ce−y2 ，
从而原方程的解为
x2 (− y 2 +1 + Ce−y2 ) = 1 。 评注：在微分方程中，变量 x 与 y 具有同等的地位，对同一个方程，既可以就 y 求解， 也可以就 x 进行求解，如果方程 dy = f (x, y) 就 y 求解比较困难，可以尝试将原方程变化
充分性。设方程 dy − f (x, y)dx = 0 有仅依赖于 x 的积分因子 µ(x) ，即
µ(x)dy − µ(x) f (x, y)dx = 0
为恰当方程，有
∂(−µ(x) f (x, y)) = dµ(x) ，
∂y
dx
− µ(x) ∂f (x, y)) = dµ(x) ，
∂y
dx
∂f (x, y) 1 dµ(x)
M (x, y)x + N (x, y) y y
y
原方程进一步可改写成
1 d ln xy + 1 F (ln x )d ln x = 0 ，
2
2 yy
它为一个恰当方程，表明 µ(x, y) =
1
为齐次方程的积分因子。
M (x, y)x + N (x, y) y
方法 2 化为分离变量方程求积分因子。
1
子
。
xM (x, y) + yN(x, y)
证 方法 1 用凑微分法求积分因子。 我们有恒等式
M (x, y)dx + N (x, y)dy
=
1
{(M
(x,
y)x
+
N ( x,
y) y)( dx
+
dy )
+
(M
(x,
y)x
−
N
(x,
y)
y)( dx
−
dy )}
2
xy
xy
而
dx + dy = d ln(xy) ， xy
=
( xM
1 +
yN ) 2
[ ∂M ∂y
( xM
+
yN )
−
∂(xM + ∂y
yN )
M
]
=
( xM
1 + yN)2
[ yN
∂M ∂y
−
yM
∂N ∂y
− NM ]，
∂( N )
∂(µN) = xM + yN
∂x
∂x
=
( xM
1 +
yN ) 2
[ ∂N ∂x
(xM
+
yN ) −
∂(xM + ∂x
yN )
2
2 M (x, y)x + N (x, y) y y
由于
M (x,
y)x
−
N (x,
y) y
为零次齐次函数，故它可表成
x
的某一函数，记为
f
(
x )，
M (x, y)x + N (x, y) y
y
y
M (x, y)x − N (x, y) y
=
f (x)
=
x ln
f (e y ) =
F (ln
x )，
解 由导数的定义可得
x′(t) = lim x(t + s) − x(t)
s →0
s
x(s) + x 2 (t)x(s) = lim
s→0 [1 − x(t)x(s)]s
1 + x 2 (t) x(s)
= lim
⋅，
s→0 1 − x(t)x(s) s
显然可得 x(0) = 0 ，故
x′(t) = [1 + x 2 (t)]⋅ lim x(s) − x(0) = x′(0) ⋅[1 + x 2 (t)]
dx − dy = d ln x ，
xy
y
所以原方程变为
1
x
{(M (x, y)x + N (x, y) y)d ln(xy) + (M (x, y)x − N (x, y) y)d ln } = 0 。
2
y
用 µ(x, y) =
1
乘上式两边，得
M (x, y)x + N (x, y) y
1 d ln(xy) + 1 M (x, y)x − N (x, y) y d ln x = 0 ，
解 由题得
dx = xy + x3 y3 ， dy 这是以 x 为未知函数和以 y 为自变量的迫努利方程，则有 x −3 dx = x −2 y + y 3 ，
dy
令 z = x −2 ，
dz = −2 yz − 2 y3 ， dy
而 dz = −2 yz 的解为 z = C~e− y 2 。 dy
=−
，
∂y
µ(x) dx
上式右端仅为 x 的函数，令其为 P (x) ，积分上式，得
f (x, y) = P(x) y + Q(x) ，
故该方程为线性方程。 评注：一阶线性方程一般用常数变易法求解，此例给出了线性方程的又一种求解方法， 即积分因子法。
2-7 设函数 f (u), g(u) 连续、可微且 f (u) ≠ g(u) ，试证方程 yf (xy)dx + xg(xy)dy = 0
第二章 一阶微分方程的初等解法
x
∫ 2-1 已知 f (x) f (t)dt = 1, x ≠ 0, 试求函数 f (x) 的一般表达式。
0
x
∫ 解 对方程 f (x) f (t)dt = 1，两边关于 x 求导得
0
x
∫ f ′(x) f (t)dt + f 2 (x) = 0 ，
0
即
f ′(x) 1 + f 2(x) = 0 ， f (x)
子的充要条件是
∂[μ(x + y)M (x, y)] ∂[ μ(x + y)N (x, y)]
=
。
∂y
∂x
则有
μ(x +
y)( ∂M
−
∂N ) =
N
∂μ(x +
y) − M
∂μ(x +
y)
，
∂y ∂x
∂x
∂y
即
μ(x +
y)( ∂M
−
∂N ) =
N
dμ(x +
y)
−M
dμ(x +
y)
，
∂y ∂x
d(x + y)