微分方程第2章习题解

∂( μ(xy)M ) = ∂( μ(xy)N )
∂y
∂x
即
μ(xy)(∂M − ∂N ) = N ∂μ(xy) − M ∂μ(xy)
∂y ∂x
∂x
∂y
µ(xy)(∂M − ∂N ) = ( yN − xM ) dµ(xy) ，
∂y ∂x
d (xy)
∂M ∂N −
∂y
∂x
dµ ( xy)
=
⋅
1
= g(xy) ，
µ(x, y) =
1
。
xM (x, y) + yN (x, y)
方法 3 用定义求积分因子。
由积分因子的定义，只需证明二元函数 µ(x, y) =
1
满足
xM (x, y) + yN (x, y)
∂(µM ) ∂(µN )
=
即可。为此，我们计算
∂y
∂x
∂( M )
∂(µM ) xM + yN
=
∂y
∂y
仅依赖于 x 的积分因子。 证 必要性。若方程 dy − f (x, y)dx = 0 为线性方程，则方程可写为
dy − (P(x) y + Q(x))dx = 0，令
M = −(P(x) y + Q(x)) , N = 1 ，
∂M ∂N
−
∂M
∂y
由题有 连续，
∂x = −P(x) ，
∂y
N
由定理 2-2 的结论 1 方程有积分因子 e∫ −P( x) dx ，仅依赖于 x 。
x m{[M (1,u) + N (1, u)u]dx + xN (1,u)du} = 0 ，
可以看出上方程为可分离变量的方程，只要给上式乘以积分因子
µ(x, y)
=
1 x m+1[M (1, u) + uN (1,u)]
=
1 xM (x, y) +
yN(x, y)
，
方程就可变量分离，即化为恰当方程，因此，齐次方程的积分因子是
yN − xM d(xy) µ(xy)
因此方程具有形如 µ( xy) 的积分因子的充要条件是
∂M ∂N −
∂y ∂x = g (xy) 。 yN − xM
评注：利用对称形式的微分方程的系数容易判断方程是否具有特殊形式的积分因子，从 而给出求积分因子的思路。
2-6 设 f (x, y) 及 ∂f 连续，试证方程 dy − f (x, y)dx = 0 为线性方程的充要条件是它有 ∂y
分离变量，可求得
f (x) = ± 1 ， 2(x + C)
1
代入原方程可得 C = 0 ，从而 f (x) 的一般表达式为 f (x) =
。
2x
评注：本题中常数的确定不能直接通过所给积分方程得到，而是需将通解代回原方程来 确定。
2-2 求具有性质 x(t + s) = x(t) + x(s) 的函数 x(t) ，已知 x′(0) 存在。 1 − x(t)x(s)
有积分因子 µ = (xy[ f (xy) − g(xy)])−1 。
证 方法 1 用积分因子定义证明。
令 M = yf (xy) , N = xg(xy)
∂(M ⋅ μ) − ∂(N ⋅ μ)
∂y
∂x
f ′( f − g) − ( f ′ − g ′) f g ′( f − g ) − ( f ′ − g ′)g
解 由题得
dx = xy + x3 y3 ， dy 这是以 x 为未知函数和以 y 为自变量的迫努利方程，则有 x −3 dx = x −2 y + y 3 ，
dy
令 z = x −2 ，
dz = −2 yz − 2 y3 ， dy
而 dz = −2 yz 的解为 z = C~e− y 2 。 dy
充分性。设方程 dy − f (x, y)dx = 0 有仅依赖于 x 的积分因子 µ(x) ，即
µ(x)dy − µ(x) f (x, y)dx = 0
为恰当方程，有
∂(−µ(x) f (x, y)) = dµ(x) ，
∂y
dx
− µ(x) ∂f (x, y)) = dµ(x) ，
∂y
dx
∂f (x, y) 1 dµ(x)
解 由导数的定义可得
x′(t) = lim x(t + s) − x(t)
s →0
s
x(s) + x 2 (t)x(s) = lim
s→0 [1 − x(t)x(s)]s
1 + x 2 (t) x(s)
= lim
⋅，
s→0 1 − x(t)x(s) s
显然可得 x(0) = 0 ，故
x′(t) = [1 + x 2 (t)]⋅ lim x(s) − x(0) = x′(0) ⋅[1 + x 2 (t)]
g
x
(
y x
)
=
−
y x2
g′
=
1 N2
(M x N
− NxM)，
y gy ( x)
=
1 x
g′ =
1 N2
(M y N
− MN y ) ，
∂(µM )
− ∂(µN )
=
−N2
xy x2
g′+ N2
y g′ x
=
N2(y x
−
y)g′ x
= 0，
∂y
∂x
(xM + gN )2
(xM + gN )2
因而 µ 是齐次方程的积分因子。
=
( xM
1 +
yN ) 2
[ ∂M ∂y
( xM
+
yN )
−
∂(xM + ∂y
yN )
M
]
=
( xM
1 + yN)2
[ yN
∂M ∂y
−
yM
∂N ∂y
− NM ]，
∂( N )
∂(µN) = xM + yN
∂x
∂x
=
( xM
1 +
yN ) 2
[ ∂N ∂x
(xM
+
yN ) −
∂(xM + ∂x
yN )
采用常数变易法，令 z = C~( y)e−y2 代入 dz = −2zy − 2 y3 中得 dy
C~( y) = − y 2 e y 2 + e y 2 + C ， 故 z = − y 2 + 1+ Ce−y2 ，
从而原方程的解为
x2 (− y 2 +1 + Ce−y2 ) = 1 。 评注：在微分方程中，变量 x 与 y 具有同等的地位，对同一个方程，既可以就 y 求解， 也可以就 x 进行求解，如果方程 dy = f (x, y) 就 y 求解比较困难，可以尝试将原方程变化
dx − dy = d ln x ，
xy
y
所以原方程变为
1
x
{(M (x, y)x + N (x, y) y)d ln(xy) + (M (x, y)x − N (x, y) y)d ln } = 0 。
2
y
用 µ(x, y) =
1
乘上式两边，得
M (x, y)x + N (x, y) y
1 d ln(xy) + 1 M (x, y)x − N (x, y) y d ln x = 0 ，
子的充要条件是
∂[μ(x + y)M (x, y)] ∂[ μ(x + y)N (x, y)]
=
。
∂y
∂x
则有
μ(x +
y)( ∂M
−
∂N ) =
N
∂μ(x +
y) − M
∂μ(x +
y)
，
∂y ∂x
∂x
∂y
即
μ(x +
y)( ∂M
−
∂N ) =
N
dμ(x +
y)
−M
dμ(x +
y)
，
∂y ∂x
d(x + y)
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
∂M
中的函数满足关系
− ∂N
=
Nf (x) − Mg ( y) ，其中
f (x), g( y) 分别为
x和
y 的连续函
∂y ∂x
∫ ∫ 数，试证方程 M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 有积分因子 µ = exp( f (x)dx + g ( y)dy) 。
=−
，
∂y
µ(x) dx
上式右端仅为 x 的函数，令其为 P (x) ，积分上式，得
f (x, y) = P(x) y + Q(x) ，
故该方程为线性方程。 评注：一阶线性方程一般用常数变易法求解，此例给出了线性方程的又一种求解方法， 即积分因子法。
2-7 设函数 f (u), g(u) 连续、可微且 f (u) ≠ g(u) ，试证方程 yf (xy)dx + xg(xy)dy = 0
N]
=
( xM
1 + yN)2
[ xM
∂N ∂x
−
xN
∂M ∂x
−
NM ] ，
∂(µM ) − ∂(µN )
∂y
∂x
= x(NM x − MN x ) + y(NM y − MN y ) ， (xM + yN )2