微分方程习题及答案

合集下载

微分方程基础练习题(简易型)含答案解析

微分方程基础练习题(简易型)含答案解析题目1. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2x$，其中 $y(0)=1$。

2. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} + y = x$，其中 $y(0)=1$。

3. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} - 2y = -4$。

4. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} + 9y = \sin x$。

答案解析1. 对微分方程两边同时积分，得到 $y = x^3+x+c$，其中$c$ 为任意常数。

由 $y(0)=1$ 可求出 $c=1$，所以 $y=x^3+x+1$。

2. 首先解齐次方程 $\frac{dy}{dx} + y = 0$，得到 $y=Ce^{-x}$，其中 $C$ 为任意常数。

对于非齐次方程 $\frac{dy}{dx} + y = x$，设其特解为 $y=ax+b$，代入方程得到 $a=\frac{1}{2}$，$b=\frac{1}{2}$。

因此通解为 $y=Ce^{-x}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$。

由 $y(0)=1$ 可得到 $C=\frac{1}{2}$，所以 $y=\frac{1}{2}(2e^{-x}+x+1)$。

3. 对微分方程两边同时积分，得到 $y = Ce^{2x}+2$，其中$C$ 为任意常数。

4. 首先解齐次方程 $\frac{dy}{dx} + 9y = 0$，得到 $y=Ce^{-9x}$，其中 $C$ 为任意常数。

对于非齐次方程 $\frac{dy}{dx} + 9y= \sin x$，由于 $\sin x$ 不是指数函数 $e^{kx}$ 的线性组合，所以采用常数变易法，设其特解为 $y=A\sin x + B\cos x$，代入方程得到 $A=-\frac{1}{82}$，$B=\frac{9}{82}$。

因此通解为 $y=Ce^{-9x}-\frac{1}{82}\sin x+\frac{9}{82}\cos x$。

数学课程微分方程求解练习题及答案

数学课程微分方程求解练习题及答案微分方程是数学中非常重要的一门课程，它在许多科学领域中有着广泛的应用。

为了更好地掌握微分方程的解题技巧，下面将给出一些微分方程求解的练习题及其答案。

练习一：一阶线性微分方程1. 求解微分方程：dy/dx + y = 2x解答：首先将该微分方程转化为标准形式：dy/dx = 2x - y然后可以使用分离变量的方法进行求解，将变量分离得到：dy/(2x - y) = dx对等式两边同时积分，得到：∫(1/(2x - y))dy = ∫dx通过对右边的积分，得到：ln|2x - y| = x + C1 (其中C1是常数)将等式两边取e的指数，得到：2x - y = Ce^x其中C = e^C1是一个任意常数，所以方程的通解为：y = 2x - Ce^x （其中C为常数）2. 求解微分方程：dy/dx + 2y = e^x解答：将该微分方程转化为标准形式：dy/dx = e^x - 2y然后使用分离变量的方法进行求解，得到：dy/(e^x - 2y) = dx对等式两边同时积分，得到：∫(1/(e^x - 2y))dy = ∫dx通过对右边的积分，得到：(1/2)ln|e^x - 2y| = x + C2 （其中C2是常数）再次将等式两边取e的指数，得到：e^x - 2y = Ce^2x其中C = e^C2是一个任意常数，所以方程的通解为：y = (1/2)e^x - (C/2)e^2x （其中C为常数）练习二：二阶微分方程1. 求解微分方程：d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 4y = 0解答：首先将该微分方程的特征方程写出来：r^2 + 4r + 4 = 0解特征方程，得到特征根为：r = -2由于特征根为重根，所以方程的通解形式为：y = (C1 + C2x)e^(-2x) （其中C1和C2为常数）2. 求解微分方程：d^2y/dx^2 + dy/dx - 2y = 0解答：首先将该微分方程的特征方程写出来：r^2 + r - 2 = 0解特征方程，得到特征根为：r1 = 1，r2 = -2所以方程的通解形式为：y = C1e^x + C2e^(-2x) （其中C1和C2为常数）这里给出了一些微分方程求解的练习题及其答案，通过练习这些题目，相信可以增强对微分方程的理解和掌握。

常微分方程计算题及答案

计算题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。

2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。

7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。

常微分方程试题及答案

常微分方程试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案：A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案：D3. 一阶线性微分方程的一般形式是：A. $ y' + p(x)y = q(x) $B. $ y' = p(x)y + q(x) $C. $ y' - p(x)y = q(x) $D. $ y' + p(x)y = q(x) $ 或 $ y' - p(x)y = q(x) $答案：A4. 已知微分方程 $ y'' - y = 0 $ 的一个特解是 $ y = e^x $，那么它的通解是：A. $ y = C_1e^x + C_2e^{-x} $B. $ y = C_1e^x + C_2 $C. $ y = C_1e^x + C_2e^x $D. $ y = C_1 + C_2e^{-x} $答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 $ y'' + y' + y = 0 $ 的通解是 $ y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} $，其中 $ C_1 $ 和 $ C_2 $ 是常数。

2. 微分方程 $ y'' - 4y = 0 $ 的通解是 $ y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) $，其中 $ C_1 $ 和 $ C_2 $ 是常数。

3. 微分方程 $ y'' + 4y = 0 $ 的通解是 $ y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) $，其中 $ C_1 $ 和 $ C_2 $ 是常数。

高中数学微分方程练习题及参考答案2023

高中数学微分方程练习题及参考答案2023一、填空题1.微分方程 $y'=x^2$ 的通解为 $y=$_____________。

2.微分方程 $y'-2y=\cos x$ 的通解为 $y=$_____________。

3.微分方程 $y''-3y'+2y=0$ 的通解为 $y=$_____________。

4.微分方程 $y''+y=e^x$ 的通解为 $y=$_____________。

5.微分方程 $(x-1)y'-y=3$ 的通解为 $y=$_____________。

二、选择题1.微分方程 $y''-y'-12y=0$ 的解正确的选项是A. $y=c_1e^{4x}+c_2e^{-3x}$B. $y=c_1e^{3x}+c_2e^{-4x}$C. $y=c_1\sinh3x+c_2\cosh4x$D. $y=c_1\sinh4x+c_2\cosh3x$2.对于微分方程 $y''-2y'+y=x^3\mathrm{e}^{2x}$，以下选项正确的是A. 特解应为多项式 $Ax^3+Bx^2+Cx+D$B. 对于其特解应有 $A=0$C. 对于其特解应有 $B=0$D. 对于其特解应有 $B\neq0$3.微分方程 $y''-y'-2y=0$，其中 $y_1(x)=e^{2x}$，$y_2(x)=?$，正确的选项是A. $y_2(x)=e^{-x}$B. $y_2(x)=e^{x}$C. $y_2(x)=e^{-2x}$D. $y_2(x)=\mathrm{e}^{-2x}-4x\mathrm{e}^{-2x}$三、解答题1.求微分方程 $y'+\frac{1}{x}y=2\sin\ln x$ 的通解。

2.求微分方程 $y'-y=x\mathrm{e}^x$ 的通解。

常微分方程第四版课后练习题含答案

常微分方程第四版课后练习题含答案第一章：常微分方程基本概念和初值问题1.2 课后练习题1.2.1（1）y′=2y+3，y(0)=1，求解y(t)；（2）y′+ty=1，y(0)=0，求解y(t)。

解答：（1）该微分方程为一阶线性常微分方程，其通解为$$y(t)=Ce^{2t}-\\frac{3}{2}$$代入初始条件y(0)=1，可得$$C=\\frac{5}{2}$$所以$$y(t)=\\frac{5}{2}e^{2t}-\\frac{3}{2}$$（2）首先设$u(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}y(t)$，则$u'(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}(y'+ty)$。

代入原方程可得$$u'(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}$$对其积分得$$u(t)=\\int e^{\\frac{t^2}{2}} dt +C=\\frac{\\sqrt{2\\pi}}{2}erf\\frac{t}{\\sqrt{2}}+C$$其中$erf(x)=\\frac{2}{\\sqrt{\\pi}}\\int_0^x e^{-t^2} dt$称为误差函数。

进一步解得$$y(t)=e^{-\\frac{t^2}{2}}u(t)-ue^{-\\frac{t^2}{2}}=-\\frac{\\sqrt{2\\pi}}{2}erf\\frac{t}{\\sqrt{2}}e^{-\\frac{t^2}{2}}$$ 代入初始条件y(0)=0即可得到最终解答。

第二章：一阶线性微分方程2.2 课后练习题2.2.1求下列方程的通解：（1）(2x+1)y′+y=1；（2）(x−1)y′−y=2x；（3）$(2+\\cos x)y'-y=2-x\\cos x$。

解答：（1）该微分方程为一阶线性常微分方程，设方程的通解为$y=Ce^{-\\int \\frac{1}{2x+1} dx}+\\frac{1}{2x+1}$。

(完整版)微分方程试题及部分应用题答案整理版

第十章微分方程习题一.填空题：（33）1-1-40、微分方程4233''4''')'(x y x y y =++的阶数是 . 1-2-41、微分方程0'2'2=+-xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、微分方程0d d d d 22=++s x sx s 的阶数是 .1-4-43、x y y y y sin 5''10'''4)()4(=-+-的阶数是 . 1-5-44、微分方程xy x y2d d =满足条件1|'0==x y 的特解是 . 1-6-45、微分方程0d d =+y x y的通解是 .1-7-46、方程y e y x='的通解是 . 1-8-47、方程y y y ln '=的通解是 . 1-9-48、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''=+-y y y 的通解是 .1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221-==r r 则二阶常系数齐次微分方程为1-13-52、微分方程xe y =''的通解为 . 1-14-53、微分方程x e y x sin ''2-=的通解为 . 1-15-54、若0d ),(dx ),(=+y y x Q y x P 是全微分方程, 则Q P ,应满足 . 1-16-55、与积分方程xy x f y x x d ),(0⎰=等价的微分方程初值问题是 .1-17-56、方程0d )2(d )(22=-++y xy x x y xy 化为齐次方程是 . 1-18-57、通解为21221,(C C e C e C y xx +=为任意常数)的微分方程为 .1-19-58、方程yx e y -=2'满足条件00==x y 的特解是 .1-19-59、方程0dy 1dx 2=-+x xy 化为可分离变量方程是1-20-60、方程xy y 2'=的通解是1-21-61、方程x y xy x y x y d d d d 22=+化为齐次方程是1-22-62、若t y ωcos =是微分方程09''=+y y 的解, 则=ω .1-23-63、若ktCe Q =满足Qdt dQ03.0-=, 则=k .1-24-64、y y 2'=的解是1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x -1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为1-26-66、圆222r y x =+满足的微分方程是1-27-67、 axae y =满足的微分方程是1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dyx Q y x P x =+的通解是 .1-29-69、已知特征方程的两个根3,221-==r r , 则二阶常系数线性齐次微分方程为 .1-30-70、方程25x y =是微分方程y xy 2'=的解.1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与之和. 1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''=++qy py y 对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为 .1-33-73、将微分方程0)2()(22=---dy xy x dx y xy 写成齐次微分方程的标准形式为二.选择题：（29）2-1-56、微分方程yx2dx dy=的通解是 ( )A.2x y = B. 25x y = C. 2Cx y = D.Cx y =2-2-57、微分方程0dy 1dx 2=-+x xy 的通解是 ( ) A.21x ey -= B.21x Cey -= C.x C y arcsin = D. 21x C y -=2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )A.0dy dx )(2=--x y x B. 0dy dx =-x y C. 0dy )(1dx )1(=-++xy y xy D.0dy dx )(22=++xy y x 2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( )A.x x e e 32,B.x x 2sin ,2cosC. x x x sin cos ,2sinD.2ln ,ln x x2-5-60、方程03'2''=--y y y 的通解是 ( )A.x x e C e C y 321--+=B. x x e C e C y 321+=C. x x e C e C y 321-+=D. x x e C e C y 321+=-2-6-61、方程0''=+y y 的通解是 ( ) A.x C y sin = B.x C y cos = C.x C x y cos sin += D.x C x C y cos sin 21+=2-7-62、下列方程中是可分离变量的方程是 ( )A. xy y x -=33dx dyB.0dy 2dx )3(2=++xy y e x C. 234dx dy xy y x += D.y x xy y 321dx dy ++= 2-8-63、微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc =2-9-64、已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x +=,则p 的值是 ( )A.1B.0C.21D.412-10-65、微分方程02'=-y y 的通解是 ( )A.C x y +=2sinB.C e y x +=24C.x Ce y 2=D. xCe y =2-11-66、方程xy 2dx dy=的通解是 ( )A.C e x +2B.Cxe+2C. 2Cx eD. 2)(C x e +2-12-67、 xe y -=''的通解为=y ( )A.x e --B. xe - C. 21C x C ex++- D. 21C x C e x ++--2-13-68、微分方程xe 21dx dy -=满足10-==x y 的特解为 ( )A.1221+-=-x ey B. 3221-=-x ey C. C ey x +-=-212 D.212121--=-xe y2-14-69、微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是 ( )A.C y x =-2422B. C y x =+2422C. 02422=-y xD. 12422=+y x2-15-70、微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是 ( )A.222=+y xB. 933=+y xC. 133=+y x D. 13333=+y x2-16-71、过点,0()2-的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )A.32-=x yB. 52+=x yC.53-=x e yD.5-=x Ce y 2-17-72、齐次方程x yxy tandx dy =化为可分离变量的方程, 应作变换 ( ) A. 2ux y = B. 22x u y = C. ux y = D.33x u y =2-18-73、设方程)()('x Q y x P y =+有两个不同的解21,y y ,若21y y βα+也是方程的解,则( )A.βα=B. 0=+βαC. 1=+βαD. βα,为任意常数2-19-74、方程dx 2dx dy y x x =+的通解是 ( )A.x Cx y +=2B. x x C y +=2sinC. C x y +=2cosD.C x y +=22-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )A.x y xy =+2' B .x xy y sin '=+ C .x yy =' D .xy y -=2'2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )A.y x y -=' B. y x y =' C. x y y -=' D. x y y ='2-22-77、方程2)3(,0'==+y y y 的解是 ( )A.x e y -=32B. x e y --=32C. 32-=x e yD. 32--=x e y2-23-78、微分方程x y y ln '=的通解是 ( )A.x x e y ln =B. x x Ce y ln =C. x x x e y -=lnD. x x x Ce y -=ln2-24-79、下列哪个不是方程y y 4''=的解 ( )A. x e y 22=B. x e y 2=C. x e y 2-=D. x e y 2=2-25-80、方程0sin '''653)4(=-+++y y y y x xy y 的阶是 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 32-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x2-，则这条曲线是( )A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 圆2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )A. xy y x dx dy-=33 B.02)3(2=++xydy dx y e x C. xy yx dx dy += D.y x xy y dx dy 321++= 2-28-83、微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc = 2-29-84、已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x +=,则p 的值( )A. 1B. 0C. 21D. 41三.计算题：（59）3-1-52、0d tan sec d tan sec 22=+y x y x y x 3-2-53、 0ln '=-y y xy3-3-54、0d sec )2(d tan 32=-+y y e x y e x x 3-4-55、y x y y x x y 22222')1(=-+- 3-5-56、 y xe y e x dx dy +-=- 3-6-57、 0)1()1(=-++xdy y ydx x3-7-58、 x x y y y x d sin cos d sin cos =,4|0π==x y3-8-59、0)0(,02')1(22==+-y xy y x 3-9-60、 1)(,ln 2'==e y x y y3-10-61、 x x y y y x d sin cos d sin cos =,4|0π==x y3-11-62、 0y)dx -(x dy )(=++y x3-12-63、 )ln (ln dx d x y y yx-=3-13-64、0)2(22=+-dy x dx xy y 3-14-65、x yx y xy tan'=-3-15-66、x yx y x y xy ++=-ln)('3-16-67、dx dy xy dx dy x y =+223-17-68、x y y x y +=', 2|1==x y3-18-69、x y x y y +=', e y e x ==|3-19-70、2|,'122=-=-=x y y x y xy3-20-71、x x y x y sin 1'=+, 1|==πx y 3-21-72、x e x y x y 43'=-3-22-73、 342'x xy y =-3-23-74、x y x y ln 11'=-3-24-75、x e y x x y x 21'=-+ 3-25-76、 x x y y sec tan '=-,|0==x y3-26-77、x x y x y sin 1'=+, 1|==πx y 3-27-78、22112'x y x xy +=+-, 0|0==x y3-28-79、x xy xy ln '=-, e y e x ==|3-29-80、 22d dyxxe xy x -+=3-30-81、)sin (cos d dy2x x y y x -=+ 3-31-82、5d dyxy y x =- 3-32-83、02d dy4=++xy xy x3-33-84、4)21(3131d dy y x y x -=+3-34-85、xy xy x 2d dy 2-= 3-35-86、x y y +='''3-36-87、01)'(''2=++y yy 3-37-88、01''3=+y y3-38-89、y y 3''=, 1|0==x y , 2|'0==x y3-39-90、223''yy =, 1|3==x y , 1|'3==x y3-40-91、02''=+y y 3-41-92、013'4''=++y y y 3-42-93、0'2''=+-y y y 3-43-94、04'5''=+-y y y 3-44-95、04'3''=--y y y ,|0==x y ,5|'0-==x y 3-45-96、029'4''=++y y y , 0|0==x y ,15|'0==x y3-46-97、0'4''4=++y y y , 2|0==x y , 0|'0==x y 3-47-98、0'4''4=++y y y ,2|0==x y ,|'0==x y 3-48-99、013'4''=+-y y y , 0|0==x y , 3|'0==x y3-49-100、04'4''=+-y y y ,|0==x y ,1|'0==x y3-50-101、xe y y y 2'''2=-+3-51-102、x e y y x cos ''+=+ 3-52-103、x e x y y y 3)1(9'6''+=+-3-53-104、'''22xy y y e --=3-54-105、123'2''+=--x y y y 3-55-106、''sin 20y y x ++=, 1|==πx y , 1|==πx y3-56-107、52'3''=+-y y y ,1|0==x y ,2|'0==x y3-57-108、xe y y y 29'10''=+-,76|0==x y ,733|'0==x y 3-58-109、xxe y y 4''=-, 0|0==x y , 1|'0==x y 3-59-110、xxe y y y 26'5''=+-四.应用解答题：（14）4-1-9、一曲线通过点)3,2(, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求这曲线方程.4-2-10、已知⎰--=+xx x y t t y t t 03231d )(12, 求函数)(x y4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x =2.4-4-14、试求x y =''的经过点)1;0(M 且在此点与直线12+=xy 相切的积分曲线.4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程. 4-6-16、已知某曲线经过点)1,1(, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.4-7-17、设可导函数)(x ϕ满足⎰+=+xx t t t x x 01d sin )(2cos )(ϕϕ, 求)(x ϕ.4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为22p Ep EQ-=, 最大需求量为1000=Q , 求需求函数)(p f Q =.4-9-11、设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE E ωsin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰,又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(ddL L A k x -=，（其中0,0>>A k ）, 若不做广告, 即0=x 时纯利润为L , 且AL <<00, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31. 设0=t 时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.五.证明题：（2）5-1-18、设),(1x y )(2x y 是二阶齐次线性方程0)(')(''=++y x q y x p y 的两个解,令)()(')(')()(')(')()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x w -==证明: )(x w 满足方程0)('=+w x p w5-2-19、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dyx Q y x P x =+的3个相异特解,证明 1213y y y y --为一常数.部分应用题答案487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE E ωsin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).解. 设)(t i i =, 由回路电压定律tE dt diLRi ωsin 0=+, 即t L E L R dt di ωsin 0=+∴⎰+⎰⎰=-]sin [)(0C dt te L E e t i t dt LR L Rω=⎰+-]sin [0C dt te L E ett L R LR ω=)cos sin (2220t L t R L R E Cet LR ωωωω-++-将|0==t i 代入通解得2220L R LE C ωω+=∴)cos sin ()(2220t L t R Le L R E t i t LR ωωωωω-++=-488. 设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系解：.物体重力为mg w =, 阻力为kv R -=, 其中g 是重力加速度, k 是比例系数.由牛顿第二定律得kvmg dt dv m-=,从而得线性方程g v m kdt dv =+, 0|0==t v∴ ⎰--+=+⎰⎰=t m kdt dt Ce g k m C dt ge e v km m k ][, 将0|0==t v 代入通解得 g k m C -=∴ )1(tm k e g k m v --=, 再积分得122C ge k m gt k m S t m k++=-,将0|0==t S 代入求得g k m C 221-=∴ )1(22-+=-t m ke g k m gt k m S489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.解：设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y =, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(y x P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q .因鱼雷始终对准敌舰, 故x y t v y --=1'0, 又弧OP 的长度为⎰=-xtv dx y 0022'1,从以上两式消去tv 0得''121''')1(2y y y y x -+=--, 即2'121'')1(y y x +=-根据题意, 初始条件为0)0(=y , 0)0('=y令p y =', 原方程化为2121')1(p p x +=-, 它是可分离变量得方程,解得21)1(112--=++x C p p , 即21)1('1'12--=++x C y y 将0)0('=y 代入上式得11=C , 故21)1('1'2--=++x y y而21)1(''1'1'122--=-+=++x y y y y , 得2121)1()1(21'x x y -+-=-积分得22321)1(31)1(C x x y +-+--=, 将0)0(=y 代入上式得322=C , 所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321+-+--=x x y490．根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系 )(ddL L A k x -=，（其中0,0>>A k ）, 若不做广告, 即0=x 时纯利润为0L , 且A L <<00, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.解：依题意得)(L A k dx dL-=,00|LL x ==, 解可分离变量得微分方程, 得通解 kx Ce A L -+=, 将00|L L x ==代入通解, 得A L C -=0, 所以纯利润L 与广告费x 之间的函数关系为kxe A L A x L --+=)()(.491．在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31.设0=t 时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.解：依题意:y S 101=, dt dy I ⋅=31, 解之得通解t Ce y 103=, 将5|0==t y 代入通解得5=C , 所以国民收入函数为te y 1035=492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型. 解：设在某一时刻t , 商品的价格为)(t p , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格)(t p 的变化率dt dp与需求和供给之差成正比. 记需求函数为),(r p f , 供给函数为)(p g , 其中r 为参数. 于是得微分方程)](),([p g r p f k dt dp-=,0)0(pp =, 其中p 为0=t 时商品的价格, k 为正常数.若需求供给函数均为线性函数, b kp r p f +-=),(, d cp p g +=)(, 则方程为)()(d b k p c k k dt dp-++=,0)0(pp =, 其中d c b k ,,,均为正常数, 其解为c k db ec kd b p t p t c k k +-++--=+-)(0)()(下面对所得结果进行讨论:(1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(=-p g r p f , 即d p c b p k +=+-,则c k db p +-=, 从而价格函数p e p p t p c k k +-=+-)(0)()(,取极限: p t p t =∞→)(lim .它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格p p =0 , 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.(2) 由于t c k k e c k k p p dt dp )(0)()(+-+-=, 所以当p p >0时, 0<dt dp, )(t p 单调下降向p靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.。

第七章常微分方程练习题(含答案)

第7章常微分方程一、单项选择题1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为（ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =二、填空题1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。

微分方程习题和答案

微分方程习题和答案(总42页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。

（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。

§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-；（4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ；（2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y y x xy dx dy ；（2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a .7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了染色，30分钟后剩下，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'；（2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='；（5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解（1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ； (2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y （4）2121xy x xy y +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。

微分方程相关习题和答案

微分方程相关习题和答案微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是函数与其导数之间的关系。

微分方程广泛应用于物理、工程、经济等领域，是解决实际问题的有力工具。

在学习微分方程的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解习题可以加深对微分方程理论的理解和掌握。

下面我将给大家介绍几个微分方程相关的习题和答案。

1. 题目：求解一阶线性微分方程y' + 2xy = 3x。

解答：这是一个一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法求解。

首先，将方程改写成标准形式y' + p(x)y = q(x)，其中p(x) = 2x，q(x) = 3x。

然后，求出齐次线性微分方程y' + 2xy = 0的通解y_h(x)。

通过分离变量法可得y_h(x) =Ce^{-x^2}，其中C为常数。

接下来，我们猜测特解y_p(x)为形如y_p(x) = Ax + B的一次多项式。

将y_p(x)代入原方程，整理得到2Ax + 2(Ax + B)x = 3x，比较系数可得A = 3/2，B = -1/4。

因此，特解为y_p(x) = (3/2)x - 1/4。

最后，将通解和特解相加，得到原方程的通解为y(x) = Ce^{-x^2} + (3/2)x - 1/4，其中C为常数。

2. 题目：求解二阶常系数齐次线性微分方程y'' - 4y' + 4y = 0。

解答：这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，可以使用特征方程法求解。

首先，写出特征方程r^2 - 4r + 4 = 0，并求出其特征根r_1 = r_2 = 2。

由于特征根相等，所以通解形式为y(x) = (C_1 + C_2x)e^{2x}，其中C_1和C_2为常数。

如果题目给出了初始条件，可以利用初始条件求解出具体的解。

例如，若已知y(0) = 1和y'(0) = 2，代入通解中的x = 0和x = 0的导数，得到C_1 = 1和C_2 = 1。

常微分方程习题及答案

第十二章常微分方程(A)一、就是非题1.任意微分方程都有通解。

()2.微分方程的通解中包含了它所有的解。

()3.函数y=3sin x-4cos x就是微分方程y''+y=0的解。

()4.函数y=x2⋅e x就是微分方程y''-2y'+y=0的解。

()5.微分方程xy'-ln x=0的通解就是y=12(ln x)2+C(C为任意常数)。

(6.y'=sin y就是一阶线性微分方程。

()7.y'=x3y3+xy不就是一阶线性微分方程。

()8.y''-2y'+5y=0的特征方程为r2-2r+5=0。

()9.dydx=1+x+y2+xy2就是可分离变量的微分方程。

()二、填空题1.在横线上填上方程的名称①(y-3)⋅ln xdx-xdy=0就是。

②(xy2+x)dx+(y-x2y)dy=0就是。

③x dydx=y⋅lnyx就是。

④xy'=y+x2sin x就是。

⑤y''+y'-2y=0就是。

2.y'''+sin xy'-x=cos x的通解中应含个独立常数。

3.y''=e-2x的通解就是。

4.y''=sin2x-cos x的通解就是。

5.xy'''+2x2y'2+x3y=x4+1就是阶微分方程。

6.微分方程y⋅y''-(y')6=0就是阶微分方程。

7.y=1x所满足的微分方程就是。

)8.y '=9.2y的通解为。

x dx dy +=0的通解为。

y x5dy 2y 10.-=(x +1)2,其对应的齐次方程的通解为。

dx x +111.方程xy '-(1+x 2)y =0的通解为。

12.3阶微分方程y '''=x 3的通解为。

三、选择题1.微分方程xyy ''+x (y ')-y 4y '=0的阶数就是( )。

常微分试题及答案

常微分试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列关于微分方程的描述，错误的是（）。

A. 微分方程是含有未知函数及其导数的方程B. 微分方程的解是未知函数C. 微分方程的通解是包含任意常数的解D. 微分方程的特解是满足初始条件的解答案：B2. 一阶线性微分方程的一般形式是（）。

A. $ y' + p(x)y = q(x) $B. $ y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 $C. $ y'' + p(x)y = q(x) $D. $ y' + p(x)y' = q(x) $答案：A3. 微分方程 $ y'' - y' - 2y = 0 $ 的特征方程是（）。

A. $ r^2 - r - 2 = 0 $B. $ r^2 - r + 2 = 0 $C. $ r^2 + r - 2 = 0 $D. $ r^2 + r + 2 = 0 $答案：A4. 微分方程 $ y'' + 4y = 0 $ 的通解是（）。

A. $ y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) $B. $ y = C_1 \cosh(2x) + C_2 \sinh(2x) $C. $ y = C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x) $D. $ y = C_1 \cosh(4x) + C_2 \sinh(4x) $答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 $ y'' - 4y' + 4y = 0 $ 的通解是 $ y = C_1 $________ + $ C_2 $ ________。

答案：$ e^{2x} $ $ e^{-2x} $2. 微分方程 $ y'' + y = 0 $ 的通解是 $ y = C_1 $ ________ + $ C_2 $ ________。

计算物理学(刘金远)第5章：微分方程(课后习题及答案)

5.1 计算物理学第５章：微分方程课后习题答案初值问题【5.1.1】采用euler 方法求初值问题'2/, 01(0)1y y x y x y =-££ìí=î【解】取0.1h =，1(,)(2/)n n n n n n n n y y hf x y y h y x y +=+=+-x0.00.10.20.3y 1.000 1.1000 1.1918 1.2774【5.1.2】用euler 预测-校正公式求初值问题22', (0)1y x y y ì=-í=î【解】取0.1h =，1(,)n n n n y y hf x y +=+111(,)n n n n y y hf x y +++=+1000(,)0.9y y hf x y =+=221011(,)10.1(0.10.9)0.92y y hf x y =+=+´-=【5.1.3】用euler 公式和梯形公式建立的预测-校正公式求初值问题'23, 0(0)1y x y x y =+£ìí=î取0.1h =，(1)求(0.1)y ;(2)编程计算0:0.01:2x =【解】1111(,)1[(,)(,)]2n n n n n n n n n n y y hf x y y y h f x y f x y ++++=+=++10001000110.1(23) 1.30.05[(23)(23)]1.355y y x y y y x y x y =++==++++=【5.1.4】用显式Euler 方法，梯形方法和预估-校正Euler 方法给出求初值问题1,01(0)1d y y x x dx y ì=-++<<ïíï=î的迭代公式（取步长0.1h =）【解】取0.1h =，,0,1,k x kh k ==L ，（1）显式Euler 方法12(,)(1)(1)k k k k k k k y y hf x y y h y kh y h kh h+=+=+-++=-++1911010010k k k y y +=++（2）梯形方法为1121()2(2)(21)2219112110510k k k k k k k h y y f f h y k h h y hy k +++=++-+++=+=++（3）预估-校正Euler 方法为1111(,)[(,)(,)],20,1,,1x k k k k k k k k k k k y y h f x y h y y f x y f x y k n ++++=+ìïï=++íï=-ïîL 221(1/2)(/2)0.9050.00950.1k k k y y h h kh h h hy k +=-++-+=++【5.1.5】考虑下面初值问题2'''(0)1;'(0)2y y y t y y ì=-++í==î使用中点RK2，取步长0.1h =，求出()y h 的近似值【解】00,0.1t h =='y u y æö=ç÷èø，012u æö=ç÷èø，2''(,)'y u f t u y y t æö==ç÷-++èø，1002(,)1k f t u æö==ç÷èø，2001212 1.111(,)(0.05,0.05)(0.05,)21 2.0522 2.05 2.050.891.1 2.050.05k f t h u hk f f æöæöæö=++=+=ç÷ç÷ç÷èøèøèøæöæö==ç÷ç÷-++èøèø102 1.2052.089u u hk æö=+=ç÷èø，1(0.1) 1.205y y ==【5.1.6】考虑下面初值问题2'''2''(0)1;'(0)0,''(0)2y y y t y y y ì=++í===-î使用中点RK2，取步长0.2h =，求出()y h 的近似值【解】00,0.2t h ==取表示符号'''y u y y æöç÷=ç÷ç÷èø，2''(,)''2''y u f t u y y y t æöç÷==ç÷ç÷++èø，0102u æöç÷=ç÷ç÷-èø，010002000'()0(,)''()262()''()y t k f t u y t y t y t t æöæöç÷ç÷===-ç÷ç÷ç÷ç÷++èøèø200121011(,)(0.1,00.12)2226 10.20.2(0.1,0.2) 1.4 1.41.4 3.9721( 1.4)0.1k f t h u hk f f æöæöç÷ç÷=++=+-ç÷ç÷ç÷ç÷-èøèøæö--æöæöç÷ç÷ç÷=-=-=-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷-´+-èøèøèø1020.960.281.206u u hk æöç÷=+=-ç÷ç÷-èø，(0.2)0.96y =【5.1.7】采用Rk4编程求下列微分方程的初值问题：（1）23'1, (0)0y y x y =++=（2）2'2(1), (1)2y y x y =+--=（3）'', ()0,'()3y y y y p p =-==【5.1.8】求下面微分方程组的数值解2323'2'4(0)1,(0)0x x y t t t y x y t tx y ì=-+--ï=+-+íï==î补充题【5.1.1】对微分方程'(,)y f x y =用Sinpson 求积公式推出数值微分公式【解】{}111111111'(,)4(,)(,)3n n x n n n n n n n n x y dx y y h f x y f x y f x y +-+---++=-=++ò【5.1.2】用标准的4阶龙格库塔方法求初值问题',(0)1y x y y =+ìí=î，取0.1h =，计算出(0.2)y 【解】()1123422/6i i y y h k k k k +=++++1213243(,)(/2,/2)(/2,/2)(,)i i i i i i i i k f x y k f x h y hk k f x h y hk k f x h y hk ==++=++=++'(,)y f x y x y ==+，00(,)(0,1)x y =100200130024003(,)1(/2,/2) 1.1(/2,/2) 1.105(,) 1.2105k f x y k f x h y hk k f x h y hk k f x h y hk ===++==++==++=()10123422/6 1.1103y y h k k k k =++++=，11(,)(0.1,1.1103)x y =111211*********(,) 1.2103(/2,/2) 1.3208(/2,/2) 1.3263(,) 1.4429k f x y k f x h y hk k f x h y hk k f x h y hk ===++==++==++=()2112342(0.2)22/6 1.2428y y y h k k k k y ==++++==然后由22(,)(0.2,1.2428)x y =计算3(0.3)y y =，。

大学数学微分方程练习题及答案

大学数学微分方程练习题及答案微分方程是大学数学中重要的一门学科，它在科学和工程领域中有着广泛的应用。

掌握微分方程的求解技巧对于学生来说至关重要。

以下是一些常见的微分方程练习题及详细解答，希望对你的学习有所帮助。

题目一：求解一阶线性常微分方程给定微分方程：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)$和$Q(x)$分别是已知的函数。

求解该微分方程。

解答一：为了求解上述微分方程，我们可以利用一阶线性常微分方程的常数变易法。

首先将方程写成标准形式：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)$和$Q(x)$分别是已知的函数。

设通解为$y=e^{\int P(x)dx}u(x)$，其中$u(x)$是一个待定的函数。

将该通解代入原微分方程中，经过简化后得到：$u(x)=\int e^{-\int P(x)dx}Q(x)dx+C$，其中$C$是常数。

因此，该微分方程的通解为$y=e^{\int P(x)dx}(\int e^{-\intP(x)dx}Q(x)dx+C)$。

题目二：求解分离变量的微分方程给定微分方程：$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$，其中$f(x)$和$g(y)$是已知的函数。

求解该微分方程。

解答二：为了求解上述微分方程，我们可以利用分离变量的方法。

首先将方程重写为$\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$。

对两边同时积分，得到$\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$。

经过积分运算后可得到$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$，其中$C$是常数。

因此，该微分方程的通解为$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$。

题目三：求解二阶常系数齐次线性微分方程给定微分方程：$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=0$，其中$a$和$b$是已知的常数。

微分方程习题(附答案)

微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。

（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。

§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-；（4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ；（2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y yx xy dx dy ；（2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等27. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'；（2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='；（5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解（1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ； (2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y（4）2121xy x xy y +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。

微分方程试题及部分应用题答案整理版

的阶数是 . .的阶数是的阶数是 . . 的阶数是 . .的阶数是 .. x 的特解是 . . 的通解是的通解是 . . 的通解是的通解是 . .的通解是 . .的通解为的通解为 . .的通解为 . .应满足 . .是 .1-17-561-17-56、方程、方程d )2(d )(22=-++y xy x x y xy 化为齐次方程是化为齐次方程是 . .1-18-571-18-57、通解为、通解为21221,(C C e C e C y xx +=为任意常数为任意常数))的微分方程为 .1-19-581-19-58、方程、方程yx e y -=2'满足条件00==x y 的特解是的特解是 . .1-19-591-19-59、方程、方程0dy 1dx 2=-+x xy 化为可分离变量方程是化为可分离变量方程是1-20-60、方程xy y 2'=的通解是的通解是1-21-611-21-61、、方程x yxy x y xy d d d d 22=+化为齐次方程是化为齐次方程是1-22-621-22-62、、若t y w cos =是微分方程09''=+y y 的解的解, , , 则则=w . 1-23-631-23-63、若、若ktCe Q =满足Qdt dQ03.0-=, , 则则=k .1-24-641-24-64、、y y 2'=的解是的解是1-25-651-25-65、某城市现有人口、某城市现有人口、某城市现有人口50(50(50(万万), ), 设人口的增长率与当时的人口数设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x -1000的积成正比的积成正比, , , 则该城市人口则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为所满足的微分方程为1-26-66、圆222r y x =+满足的微分方程是满足的微分方程是1-27-671-27-67、、 axae y =满足的微分方程是满足的微分方程是1-28-681-28-68、一阶线性微分方程、一阶线性微分方程)()(d dyx Q y x P x =+的通解是的通解是 . .1-29-691-29-69、已知特征方程的两个根、已知特征方程的两个根3,221-==r r , , 则二阶常系数线性齐次微分方则二阶常系数线性齐次微分方程为程为 . .1-30-701-30-70、方程、方程25x y =是微分方程y xy 2'=的解解.1-31-711-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与之和之和之和. . 1-32-721-32-72、、二阶常系数齐次线性微分方程0'''=++qy py y 对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为等实根，则其通解为 . .1-33-731-33-73、、将微分方程0)2()(22=---dy xy x dx y xy 写成齐次微分方程的标准形式为dy 12-x 21x -21x -21x -++2-9-642-9-64、、已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x+=,则p 的值是的值是 ( ) ( )A.1B.0C.21D.412-10-652-10-65、微分方程、微分方程02'=-yy 的通解是的通解是 ( ) ( )A.Cx y +=2sin B.C e y x +=24 C.xCe y 2= D. x Ce y =2-11-662-11-66、方程、方程xy2dx dy =的通解是的通解是 ( ) ( )A.C e x +2B.Cx e+2 C. 2Cx eD. 2)(C x e +2-12-672-12-67、、x e y -=''的通解为=y ( ) A.x e -- B. x e - C. 21C x C e x ++- D. 21C x C e x++--2-13-682-13-68、微分方程、微分方程xe21dxdy-=满足10-==x y 的特解为的特解为 ( ) ( )A.1221+-=-x e y B. 3221-=-xe y C.C e y x+-=-212 D.212121--=-x e y2-14-692-14-69、微分方程、微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是的通解是 ( ) ( )A.Cy x =-2422B. Cy x =+2422C. 02422=-y x D. 12422=+y x2-15-702-15-70、、微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是的通解是 ( ) ( ) A.222=+y x B. 933=+y x C. 133=+y x D. 13333=+y x 2-16-712-16-71、、过点,0()2-的曲线的曲线,,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是曲线方程是( ) ( )A.32-=x y B. 52+=x y C.53-=xe y D. 5-=xCe y2-17-722-17-72、齐次方程、齐次方程x y x ytan dx dy =化为可分离变量的方程化为可分离变量的方程, , , 应作变换应作变换应作变换 ( ) ( )A. 2ux y = B. 22x u y = C. ux y = D. 33xu y =2-18-732-18-73、、设方程)()('x Q y x P y =+有两个不同的解21,y y ,若21yy b a +也是方程的解的解,,则( )A.b a =B. 0=+b aC. 1=+b aD. b a ,为任意常数为任意常数2-19-742-19-74、、方程dx 2dx dy y x x =+的通解是的通解是 ( ) ( )A.x Cx y +=2B. x x C y +=2sinC. C x y +=2cosD.C x y +=22-20-752-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )A.x y xy =+2' B .x xy y sin '=+ C .xyy =' D .xy y -=2'2-21-762-21-76、曲线上任一点、曲线上任一点、曲线上任一点P P 的切线均与的切线均与OP OP OP垂直的曲线方程是垂直的曲线方程是垂直的曲线方程是 ( ) ( ) A.y x y -=' B. y x y =' C. x y y -=' D. x yy =' 2-22-772-22-77、方程、方程2)3(,0'==+yy y 的解是的解是 ( ) ( )A.xe y -=32 B. xe y --=32 C. 32-=x e y D. 32--=x ey2-23-782-23-78、、微分方程x y y ln '=的通解是的通解是 ( ) ( )A.x x e y ln =B. x x Ce y ln =C. x x x e y -=lnD. xx x Ce y -=ln2-24-792-24-79、下列哪个不是方程、下列哪个不是方程y y 4''=的解的解 ( ) ( )A. x e y 22=B. x e y 2=C. x e y 2-=D. x e y 2=2-25-802-25-80、方程、方程0sin '''653)4(=-+++y y y y x xy y 的阶是的阶是 ( ) ( )A. 6B. 5C. 4D. 32-26-812-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x2-，则这条曲线是，则这条曲线是( ) ( )A. A. 椭圆椭圆椭圆B. B. B. 抛物线抛物线抛物线C. C. C. 双曲线双曲线双曲线D. D. D. 圆圆dy2 dy-ex3-7-583-7-58、、 x x y y y x d sin cos d sin cos =,4|0p==x y 3-8-593-8-59、、 0)0(,02')1(22==+-y xy y x3-9-603-9-60、、 1)(,ln 2'==ey x y y3-10-613-10-61、、 x x y y y x d sin cos d sin cos =, 4|0p==x y 3-11-623-11-62、、 0y)dx -(x dy )(=++yx3-12-633-12-63、、 )ln (ln dxd x y y y x -= 3-13-643-13-64、、 0)2(22=+-dy x dx xy y 3-14-653-14-65、、 x y x y xy tan '=-3-15-663-15-66、、x yx y x y xy ++=-ln )(' 3-16-673-16-67、、dx dyxy dx dy x y =+22 3-17-683-17-68、、x y y x y +=', 2|1==x y3-18-693-18-69、、x yxyy +=', ey e x ==| 3-19-703-19-70、、2|,'122=-=-=x y y x y xy3-20-713-20-71、、x x y x y sin 1'=+,1|==px y3-21-723-21-72、、xe x y xy 43'=-3-22-733-22-73、、342'x xy y =- 3-23-743-23-74、、x y xy ln 11'=-3-24-753-24-75、、x e y x x y x 21'=-+ 3-25-763-25-76、、 x x y y sec tan '=-,|0==x y3-26-773-26-77、、x x y xy sin 1'=+, 1|==px y3-27-783-27-78、、22112'x y x x y+=+- ,|0==x y3-28-793-28-79、、x xy xy ln '=-, ey e x ==|3-29-803-29-80、、 22d dy x xe xy x-+= 3-30-813-30-81、、)sin (cos d dy2x x y y x -=+ 3-31-823-31-82、、5d dy xyy x=- 3-32-833-32-83、、02d dy 4=++xy xy x3-33-843-33-84、、4)21(3131d dy yx y x -=+ 3-34-853-34-85、、xy xy x 2d dy 2-= 3-35-863-35-86、、xy y +='''3-36-873-36-87、、01)'(''2=++y yy3-37-883-37-88、、01''3=+y y 3-38-893-38-89、、y y 3''=, 1|0==x y , 2|'0==x y 3-39-903-39-90、、223''y y =, 1|3==x y , 1|'3==x y 3-40-913-40-91、、02''=+yy 3-41-923-41-92、、013'4''=++y y y 3-42-933-42-93、、0'2''=+-y y y3-43-943-43-94、、04'5''=+-y y y 3-44-953-44-95、、04'3''=--y y y ,|0==x y ,5|'0-==x y 3-45-963-45-96、、29'4''=++y y y ,0|0==x y ,15|'0==x y3-46-973-46-97、、0'4''4=++y y y , 2|0==x y , 0|'0==x y 3-47-983-47-98、、0'4''4=++y y y ,2|==x y , 0|'0==x y3-48-993-48-99、、013'4''=+-y y y , 0|0==x y , 3|'0==x y 3-49-1003-49-100、、4'4''=+-y y y ,|0==x y ,1|'0==x y3-50-1013-50-101、、xe y y y 2'''2=-+3-51-1023-51-102、、x e y y x cos ''+=+ 3-52-1033-52-103、、x e x y y y 3)1(9'6''+=+- 3-53-1043-53-104、、'''22x y y y e --=5-2-195-2-19、设、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dyx Q y x P x =+的3个相异特解个相异特解, ,证明证明1213y y y y --为一常数为一常数. .部分应用题答案487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE Ew sin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , w为常数). 解. 设)(ti i =, 由回路电压定律t E dt di L Riw sin 0=+, 即t L E LR dt di w sin 0=+ \ò+òò=-]sin [)(0C dt te L Ee t i t dtLR L R w =ò+-]sin [0C dt te LE ettLR L Rw=)cos sin (2220t L t R LR E Ce tL Rw w w w -++-将|0==t i 代入通解得2220L R LE C w w +=\)cos sin ()(2220t L t R Le L R E t i t LR w w w w w -++=-488. 设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系的关系解：. 物体重力为mgw =, 阻力为kv R -=, 其中g是重力加速度, k 是比例系数. 由牛顿第二定律得kvmg dtdv m-=,从而得线性方程g v m kdt dv =+, 0|0==t v \ò--+=+òò=t m kdt dt Ce g k m C dt ge e v kmmk][, 将0|0==t v 代入通解得代入通解得 g k m C -=\)1(t m k e g km v --=, 再积分得122C ge k m gt km S tm k++=-, 将0|0==t S 代入求得gk m C 221-=\ )1(22-+=-t m ke g k m gt k m S489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为02v , 求鱼雷的航行曲线方程. 解：解：设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y =, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(yx P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q . 因鱼雷始终对准敌舰, 故x y t v y --=1'0, 又弧OP 的长度为ò=-xtv dx y 0022'1, 从以上两式消去t v 0得''121''')1(2y y y y x -+=--, 即2'121'')1(y y x +=-根据题意, 初始条件为0)0(=y , 0)0('=y令py =', 原方程化为2121')1(p p x +=-, 它是可分离变量得方程, 解得21)1(112--=++x C p p , 即21)1('1'12--=++x C y y将0)0('=y 代入上式得11=C , 故21)1('1'2--=++x y y 而21)1(''1'1'122--=-+=++x y y y y , 得2121)1()1(21'x x y -+-=-积分得22321)1(31)1(C x x y +-+--=, 将0)0(=y 代入上式得322=C , 所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321+-+--=x x y101t d dy 31y 101dt dy ×31tCe 103te 103dt dpdt dp=dt dp=c k db ec kd b p t p t c k k +-++--=+-)(0)()(下面对所得结果进行讨论: (1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(=-p g r p f , 即d p c b p k +=+-, 则c k db p +-=, 从而价格函数p e p p t p c k k +-=+-)(0)()(,取极限: p t p t =¥®)(lim . 它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格pp =0, 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程. (2) 由于tc k k e c k k p p dt dp)(0)()(+-+-=, 所以当pp >0时, 0<dt dp, )(t p 单调下降向p靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格. 。

微分方程习题及答案

(1);
(２);
(3);
(4).
2、求连续函数,使得时有。
3、求以为通解得二阶微分方程、
4。某个三阶常系数微分方程有两个解与,求。
5、设有一个解为,对应齐次方程有一特解,试求:
(１)得表达式;
(2)该微分方程得通解.
６、已知可导函数满足关系式:
求。
７.已知曲线上原点处得切线垂直于直线,且满足微分方程,求此曲线方程.
5、长为6m得链条自桌上无摩察地向下滑动,设运动开始时,链条自桌上垂下部分长为1m,问需多少时间链条全部滑过桌面。
§７二阶常系数非齐次线性微分方程
1。求下列微分方程得通解
(１);
(2);
(3);
(4);
(５).
2。求下列微分方程得特解
(1);
(２)
3.设连续函数满足求。
4、一质量为得质点由静止开始沉入水中,下沉时水得反作用力与速度成正比(比例系数为),求此物体之运动规律、
(1);
(2).
5、用适当得变换替换化简方程,并求解下列方程
(1);
(2)
(3)
(４)
6.求一曲线,使其任意一点得切线与过切点平行于轴得直线与轴所围城三角形面积等于常数、
7、设质量为得物体自由下落,所受空气阻力与速度成正比,并设开始下落时速度为０,求物体速度与时间得函数关系、
８。有一种医疗手段,就是把示踪染色注射到胰脏里去,以检查其功能。正常胰脏每分钟吸收掉染色,现内科医生给某人注射了0、3g染色,3０分钟后剩下0。１ｇ,试求注射染色后分钟时正常胰脏中染色量随时间变化得规律,此人胰脏就是否正常？
5。一链条悬挂在一钉子上,起动时一端离开钉子８m,另一端离开钉子12m,若不计摩擦力,求链条全部滑下所需时间。

常微分试题及答案

常微分试题及答案一、选择题1. 若微分方程 dy/dx = 3x^2，则它的通解为：A. y = x^3 + CB. y = x^2 + CC. y = x^3/3 + CD. y = x^4/2 + C答案：C2. 设 y = e^x 是微分方程 dy/dx - y = 0 的解，则该微分方程的通解为：A. y = e^xB. y = e^(2x)C. y = e^(3x)D. y = e^(4x)答案：A3. 设 y = x^2 是齐次微分方程 y'' - y' - 2y = 0 的解，则该微分方程的通解为：A. y = x^2B. y = x^2 + CC. y = e^x + CD. y = e^(2x) + C答案：B二、计算题1. 解微分方程 dy/dx = 2x + 1，并求出满足初始条件 y(0) = 1 的特解。

解：对微分方程进行分离变量得：dy = (2x + 1)dx两边同时积分得：∫dy = ∫(2x + 1)dxy = x^2 + x + C代入初始条件 y(0) = 1 得：1 = 0^2 + 0 + CC = 1特解为：y = x^2 + x + 12. 求微分方程 y'' + 2y' + y = 0 的通解。

解：首先设通解为 y = e^(rx)，带入微分方程得：r^2e^(rx) + 2re^(rx) + e^(rx) = 0化简得：e^(rx)(r^2 + 2r + 1) = 0由指数函数的性质可知，e^(rx) 不等于 0，因此：r^2 + 2r + 1 = 0求解这个二次方程得：r = -1 （二重根）所以，通解为 y = (C1 + C2x)e^(-x)三、应用题有一容器中装有某种细菌，已知初始时刻容器中有 1000 个细菌，随着时间的推移，细菌的数量的变化率与它们的数量成正比。

经实验测得 2 小时后细菌的数量增加到 2000 个。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

微分方程习题§1 基本概念１、验证下列各题所给出的隐函数就是微分方程的解.(1)y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22(２)⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2、.已知曲线族,求它相应的微分方程(其中21C , ,C C 均为常数)(一般方法:对曲线簇方程求导,然后消去常数,方程中常数个数决定求导次数、)(1)1)(22=++y C x ;(2)x C x C y 2cos 2sin 21+=.3、写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

(1)曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

(２)曲线在点P ()y x ,处的法线ｘ轴的交点为Ｑ,,PQ 为y 轴平分。

(3)曲线上的点Ｐ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2,且曲线过点(2,０)。

§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解(１)2211y y x -='-;(２)0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ;(３)23xy xy dxdy =-; (4)0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x 、２.求下列微分方程的特解 (1)0 ,02=='=-x y x y e y ;(２)21 ,12==+'=x y y y y x3、求下列微分方程的通解 (1))1(ln +='xy y y x ; (2)03)(233=-+dy xy dx y x 、4. 求下列微分方程的特解 (1)1 ,022=-==x y y x xy dx dy ; (2)1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y 、５、用适当的变换替换化简方程,并求解下列方程(1)2)(y x y +=';(2))ln (ln y x y y y x +=+' (3)11+-='yx y (4)0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线,使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线与x 轴所围城三角形面积等于常数2a 、7、设质量为m 的物体自由下落,所受空气阻力与速度成正比,并设开始下落时)0(=t 速度为０,求物体速度v 与时间t 的函数关系.８、有一种医疗手段,就是把示踪染色注射到胰脏里去,以检查其功能、正常胰脏每分钟吸收掉%40染色,现内科医生给某人注射了０、３g 染色,30分钟后剩下0、1g,试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律,此人胰脏就是否正常?9、有一容器内有１00Ｌ的盐水,其中含盐1０kg,现以每分钟3L 的速度注入清水,同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出,问一小时后,容器内尚有多少盐？§3 一阶线性方程与贝努利方程1.求下列微分方程的通解 (1)2x xy y =-'; (2)0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ;(3)0)ln (ln =-+dy y x ydx y ; (4))(ln 2x y y y -='; (5)1sin 4-=-x e dxdy y 2.求下列微分方程的特解 (1)0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ; (2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3、一曲线过原点,在) ,(y x 处切线斜率为y x +2,求该曲线方程、４、设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ,求)(x ϕ、５.设有一个由电阻Ω=10R ,电感H L 2=,电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路,合上开关,求电路中电流i 与时间t 之关系.6、求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' (2)x y x y y tan cos 4+=' (3)0ln 2=-+y x x dydx y (4)2121xy x xy y +-='§4 可降阶的高阶方程1、求下列方程通解。

(1)y y x '''=+;(2)122+'=''x y x y ;2(3)20yy y '''-=()341y y ''= ()2002.1,0,1x x y y y y ==''''===-求下列方程的特解(2)0 ,0 ,2002='=='+''==-x x x y y e y x y３、求x y =''的经过)1 ,0(且在与直线12+=x y 相切的积分曲线 4.证明曲率恒为常数的曲线就是圆或直线、证明:0,0(,)1(232=≠='+''K K K y y 可推出y 就是线性函数;K 可取正或负5、枪弹垂直射穿厚度为δ的钢板,入板速度为a ,出板速度为b )(b a >,设枪弹在板内受到阻力与速度成正比,问枪弹穿过钢板的时间就是多少?§5 高阶线性微分方程1.已知)( ),(21x y x y 就是二阶线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解,试证)()(21x y x y -就是0)()(=+'+''y x q y x p y 的解２、已知二阶线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的三个特解x e y x y x y 33221 , ,===,试求此方程满足3)0( ,0)0(='=y y 的特解、3.验证1 ,121+=+=x e y x y 就是微分方程1)1(=+'-''-y y x y x 的解,并求其通解、§６二阶常系数齐次线性微分方程1、求下列微分方程的通解(1)02=-'+''y y y ;(２)0136=+'+''y y y ;(3)044=+'+''y y y ;(4)02)4(=+''+y y y 、２、求下列微分方程的特解 (1)10y ,6 ,0340x 0='==+'-''==x yy y y (２)5y ,2 ,0250x 0='==+''==x y y y (3)3y ,2 ,01340x 0='==+'-''==x yy y y3.设单摆摆长为l ,质量为m ,开始时偏移一个小角度0θ,然后放开,开始自由摆动、在不计空气阻力条件下,求角位移θ随时间t 变化的规律.4、圆柱形浮筒直径为0、5m ,铅垂放在水中,当稍向下压后突然放开,浮筒周期为2s,求浮筒质量、。

5、长为６m 的链条自桌上无摩察地向下滑动,设运动开始时,链条自桌上垂下部分长为１m,问需多少时间链条全部滑过桌面、§7 二阶常系数非齐次线性微分方程1、求下列微分方程的通解(1)x xe y y y -=+'+''323;(２)x y y y 2345-=+'+'';(3)x x y y cos 4='+'';(4)x y y 2sin =-'';(5))4(2+='-''+'''x e x y y y 、２、求下列微分方程的特解(1)2(0)y ,6)0( ,523='==+'-''y y y y ;(２)1)(y ,1)( ,02sin ='==++''ππy x y y3、设连续函数)(x f 满足 ⎰-+=xx dt t f x t e x f 0 )()( )( 求)(x f 、4、一质量为m 的质点由静止开始沉入水中,下沉时水的反作用力与速度成正比(比例系数为k ),求此物体之运动规律.5.一链条悬挂在一钉子上,起动时一端离开钉子8m,另一端离开钉子12ｍ,若不计摩擦力,求链条全部滑下所需时间、６、大炮以仰角α、初速0v 发射炮弹,若不计空气阻力,求弹道曲线、§8 欧拉方程及常系数线性微分方程组１、求下列微分方程的通解(１)32322x y y x y x y x =-'+''-''';(2)xx y x y y 22=+'-''、2.求下列微分方程组的通解 (1)⎪⎩⎪⎨⎧-+=-++-=+33y x dtdy dt dx y x dt dy dt dx(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=--00432222y x dt y d y x dt x d自测题 1、求下列微分方程的解。

(1)xy x y y tan +='; (2)0)2(2=-+dy x y x ydx ;(3)x xy y y y -+='222;(4)x x y y 2sin ='-''、2、求连续函数)(x ϕ,使得0>x 时有⎰=1 0 )(2)( x dt xt ϕϕ、３.求以x e x x C C y 2221)(-++=为通解的二阶微分方程、４、某个三阶常系数微分方程 0=+'+''+'''cy y b y a y 有两个解x e 与x ,求c b a , ,、５.设)()(x f y x p y ='+''有一个解为x 1,对应齐次方程有一特解2x ,试求: (1))( ),(x f x p 的表达式;(2)该微分方程的通解.6.已知可导函数)(x f 满足关系式:1)(1)()( 1 2-=+⎰x f dt t f t f x 求)(x f 、７、已知曲线)(x y y =上原点处的切线垂直于直线012=-+y x ,且)(x y 满足微分方程x e y y y x 2cos 52=+'-'',求此曲线方程.微分方程习题答案§1 基本概念1.验证下列各题所给出的隐函数就是微分方程的解、(1)y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22yx y y x y y y x y x -='-='+'--2)2(:022::移项求导解故所给出的隐函数就是微分方程的解(2)⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt .解:隐函数方程两边对ｘ求导0122=+'-y e y方程两边再对x 求导 ()0][22=''+''--y y y y e y 指数函数非零,即有2)(y y y '=''故所给出的隐函数就是微分方程的解２.已知曲线族,求它相应的微分方程(其中21C , ,C C 均为常数)(一般方法:对曲线簇方程求导,然后消去常数,方程中常数个数决定求导次数、) (１)1)(22=++y C x ;()12)(2:222=+''-=+='++y y y y y c x y y c x 代入原方程得解出求导得(２)x C x C y 2cos 2sin 21+=. 04:,2cos 42sin 4:)2sin (22cos 2:212121=+''--=''-+='y y c c x c x c y x c x c y 得消去再求导得求导得3.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。