微分方程习题及答案

微分方程习题

§1 基本概念

１、 验证下列各题所给出的隐函数就是微分方程的解.

(1)y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22

(２)⎰'=''=+y 0 222

t -)(,1e y y y x dt

2、.已知曲线族,求它相应的微分方程(其中21C , ,C C 均为常数)

(一般方法:对曲线簇方程求导,然后消去常数,方程中常数个数决定求导次数、)

(1)1)(22=++y C x ;

(2)x C x C y 2cos 2sin 21+=.

3、写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

(1)曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

(２)曲线在点P ()y x ,处的法线ｘ轴的交点为Ｑ,,PQ 为y 轴平分。

(3)曲线上的点Ｐ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2,且曲线过点(2,０)。 §2可分离变量与齐次方程

1.求下列微分方程的通解

(１)2211y y x -='-;

(２)0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ;

(３)23xy xy dx

dy =-; (4)0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x 、

２.求下列微分方程的特解 (1)0 ,02=='=-x y x y e y ;

(２)2

1 ,12==+'=x y y y y x

3、 求下列微分方程的通解 (1))1(ln +='x

y y y x ; (2)03)(233=-+dy xy dx y x 、

4. 求下列微分方程的特解 (1)1 ,022=-==x y y x xy dx dy ; (2)1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y 、

５、 用适当的变换替换化简方程,并求解下列方程

(1)2)(y x y +=';

(2))ln (ln y x y y y x +=+' (3)11+-='y

x y (4)0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y

6. 求一曲线,使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线与x 轴所围城三角形面积等于常数2a 、

7、 设质量为m 的物体自由下落,所受空气阻力与速度成正比,并设开始下落时)0(=t 速度为０,求物体速度v 与时间t 的函数关系.

８、 有一种医疗手段,就是把示踪染色注射到胰脏里去,以检查其功能、正常胰脏每分钟吸收掉%40染色,现内科医生给某人注射了０、３g 染色,30分钟后剩下0、1g,试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律,此人胰脏就是否正常?

9、有一容器内有１00Ｌ的盐水,其中含盐1０kg,现以每分钟3L 的速度注入清水,同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出,问一小时后,容器内尚有多少盐？

§3 一阶线性方程与贝努利方程

1.求下列微分方程的通解 (1)2x x

y y =-'; (2)0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ;

(3)0)ln (ln =-+dy y x ydx y ; (4))

(ln 2x y y y -='; (5)

1sin 4-=-x e dx

dy y 2.求下列微分方程的特解 (1)0 ,sec tan 0==-'=x y

x x y y ; (2)1|,sin 0==+'=x y x

x x y y 3、一 曲线过原点,在) ,(y x 处切线斜率为y x +2,求该曲线方程、

４、设可导函数)(x ϕ满足方程

⎰+=+ x

0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ,求)(x ϕ、 ５.设有一个由电阻Ω=10R ,电感H L 2=,电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路,合上开关,求电路中电流i 与时间t 之关系.

6、求下列贝努利方程的通解

(1) 62y x x

y y =+' (2)x y x y y tan cos 4+=' (3)0ln 2=-+y x x dy

dx y (4)2121xy x xy y +-=

'

§4 可降阶的高阶方程

1、求下列方程通解。

(1)y y x '''=+;(2)122+'=

''x y x y ;2

(3)20yy y '''-=()341y y ''= ()2002.1,0,1

x x y y y y ==''''===-求下列方程的特解

(2)0 ,0 ,2002

='=='+''==-x x x y y e y x y

３、求x y =''的经过)1 ,0(且在与直线12

+=

x y 相切的积分曲线 4.证明曲率恒为常数的曲线就是圆或直线、 证明:0,0(,)1(232=≠='+'

'K K K y y 可推出y 就是线性函数;K 可取正或负

5、枪弹垂直射穿厚度为δ的钢板,入板速度为a ,出板速度为b )(b a >,设枪弹在板内受到阻力与速度成正比,问枪弹穿过钢板的时间就是多少?

§5 高阶线性微分方程

1.已知)( ),(21x y x y 就是二阶线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解,试证)()(21x y x y -就是0)()(=+'+''y x q y x p y 的解

２、已知二阶线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的三个特解x e y x y x y 33221 , ,===,试求此方程满足3)0( ,0)0(='=y y 的特解、

3.验证1 ,121+=+=x e y x y 就是微分方程1)1(=+'-''-y y x y x 的解,并求其通解、

§６ 二阶常系数齐次线性微分方程

1、求下列微分方程的通解

(1)02=-'+''y y y ;

(２)0136=+'+''y y y ;

(3)044=+'+''y y y ;

(4)02)4(=+''+y y y 、