三章分子对称和点群
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例3. 空间反演群 {E,i}, i为空间反演操作.
i2 = E
• 例4. D3={e,d,f,a,b,c}
e: 恒等操作 d: 绕 z 轴顺时针转动 120 f: 绕 z 轴顺时针转动 240 a: 绕 a 轴顺时针转动 180 b: 绕 b 轴顺时针转动 180 c: 绕 c 轴顺时针转动 180
3.1.6 元素的生成
（注意顺序）
v = v C2 , v 包含CH2面, 而v 包含CF2面. 类似地, v = v C2 , C2 = v v 对Cn , 会产生(n-1)个对称操作. 如: C32 C3 C3 C6,C62( C3),C36( C2),C64( C32),C56 C-61
3.1.3. 对称中心, i (反演)
i2 = I
3.1.4
n 重旋转反映轴, Sn
Sn = h Cn = Cn h
Sn = h Cn 由于S1 = h C1 = , S2 = h C2 = i 所以S1 和S2无意义.
3.1.5 恒等元素, E 或 I
•所有分子都具有恒等元素 E (有时也写为 I ). •是保持群论规则必需的元素.
故 ad = b
D3群的乘法表
每一行和每一列都是所有群元素的重排 ad = b , da = c
例5. 求3阶群的乘法表. (错)
(?)
G={E,A,A2} (循环群)
• 群的阶: 有限群中群元素的个数. 如 D3 群的阶为 6.
• 循环群: 整个群是由一个元素及其所有的幂产生. • 如: Cn , C2n , C3n ,....,Cnn E
当n为偶数时, 当n为奇数时,
Snn hnCnn I Snn hnCnn h , S2nn h2nC2nn I
3.2 群的定义和基本性质
• 定义: 群 G 是一个不同元素的集合{A,B,…,R,…}, 对于一定的 乘法规则, 满足以下四个条件:
• 1) 封闭性 群中任意两个元素 R和 S的乘积等于集合中另一个元素, T=RS
3.1.1 n 重对称轴, Cn (转动) 转角 2 / n
Cn ,Cn2,Cn3,....,Cnn I
I 为恒等操作
主轴: n 最大的轴。 产生 n-1 个转动。
Baidu Nhomakorabea
3.1.2 对称面, (反映)
2 = I h : 垂直于主轴的对称面 v :包含主轴的对称面 d :包含主轴且平分两
个C2轴的对称面
所以 D3 的共轭类为: {e}, {d,f}, {a,b,c}
3.3 点群
• 分子的所有对称元素构成分子的点群. 这些对称元素至少保持空间中的一点(分子质心)不变, 从而成为点群.
• 如H2O的所有对称元素为: I, C2, v (xz) , v (yz)
1. Cn点群
Cn ,C2n ,C3n ,....,Cnn I
例1. 全部整数的集合, 乘法规则为代数加法, 则构 成一个群.
恒等元素为 0. 数 n 的逆元素为 (-n). 封闭性和结合律是显然的.
例2. 数的集合 {1, -1, i, -i}, 乘法规则为代数乘法, 则构成一个群.
恒等元素为1. 数 (-1) 的逆元素为(-1).数 (i) 的逆元素为 (-i).
7. Dnh群
有一个Cn轴, n个垂直于该轴的C2轴,
1个垂直于该轴的对称面h
D3h
H2为Dh
8. Td点群 有4个C3轴, 3个 C2轴, 6个对称面 d. 正四面体对称群.
Cnn-1 C-n1
Sn hCn , S2n hCn hCn h2Cn2 Cn2
例: S4 h C4
S24 h2 C42 C2 , S34 h3C34 h C34 S-41 S44 h4 C44 I
S3 h C3 S32 h2 C32 C32 , S33 h3C33 h I h S34 h4 C34 C34 C3 ,S53 h5C35 h C32 , S36 h6 C36 I
•子群: 设 H 是群 G 的非空子集, 若对于群 G 的乘法规则,集 合 H 也满足群的四个条件,则称 H 是 G 的子群.
显然, 恒等元素 E 和群 G 自身是固有子群.
例. 在 D3={e,d,f,a,b,c} 中, 子集 {e,d,f}, {e,a}, {e,b}, {e,c}都是子群.
共轭元素: B=X-1AX ( X,A,B都是群G的元素) (A和B共轭）
元素的共轭类: 一组彼此共轭的所有元素集合称为群的 一个类.
f 类 = { x-1fx, x 取遍所有的群元素}
例. 求 D3 的所有共轭类 D3={e,d,f,a,b,c}
e 类: x-1ex =e
d 类: a-1da=ac=f
a 类: b-1ab=bd=c d-1ad=fb=c c-1ac=cf=b
• 2) 结合律 A(BC)=(AB)C • 3) 有唯一的恒等元素 E, 使得对任意群元素 R, 有 RE=ER=R • 4) 每个元素 R 必有逆元素 R-1, 使得 RR-1 =R-1 R=E
•性质: 1) 若 AB=AC 则 B=C
•
2) (AB) –1 =B –1 A –1
• 因为 (AB)(AB) –1 =ABB –1 A –1 =AA –1 =E
第三章 分子对称性和点群
分子具有某种对称性. 它对于理解和应用分子 量子态及相关光谱有极大帮助.
确定光谱的选择定则需要用到对称性. 标记分子的量子态需要用到对称性.
3.1 对称元素
对称性是指分子具有两个或更多的在空间不可区分的图象. 把等价原子进行交换的操作叫做对称操作. 对称操作依赖的几何集合(点,线,面)叫做对称元素.
2. Sn 点群 (n为偶数) Sn ,S2n ,S3n ,....,Snn I S2 i
3. Cnv 点群 有一个 Cn 轴和 n 个包含该轴的对称面 v
Cv
4. Dn点群 有一个Cn轴和n个垂直于该轴的C2轴. (暂没有实例）
5. Cnh点群 有一个Cn轴和一个垂直于该轴的对称面h.
6. Dnd点群 有一个Cn轴,一个S2n轴, n个垂直于该轴 的C2轴, n个平分C2轴的对称面d.
i2 = E
• 例4. D3={e,d,f,a,b,c}
e: 恒等操作 d: 绕 z 轴顺时针转动 120 f: 绕 z 轴顺时针转动 240 a: 绕 a 轴顺时针转动 180 b: 绕 b 轴顺时针转动 180 c: 绕 c 轴顺时针转动 180
3.1.6 元素的生成
（注意顺序）
v = v C2 , v 包含CH2面, 而v 包含CF2面. 类似地, v = v C2 , C2 = v v 对Cn , 会产生(n-1)个对称操作. 如: C32 C3 C3 C6,C62( C3),C36( C2),C64( C32),C56 C-61
3.1.3. 对称中心, i (反演)
i2 = I
3.1.4
n 重旋转反映轴, Sn
Sn = h Cn = Cn h
Sn = h Cn 由于S1 = h C1 = , S2 = h C2 = i 所以S1 和S2无意义.
3.1.5 恒等元素, E 或 I
•所有分子都具有恒等元素 E (有时也写为 I ). •是保持群论规则必需的元素.
故 ad = b
D3群的乘法表
每一行和每一列都是所有群元素的重排 ad = b , da = c
例5. 求3阶群的乘法表. (错)
(?)
G={E,A,A2} (循环群)
• 群的阶: 有限群中群元素的个数. 如 D3 群的阶为 6.
• 循环群: 整个群是由一个元素及其所有的幂产生. • 如: Cn , C2n , C3n ,....,Cnn E
当n为偶数时, 当n为奇数时,
Snn hnCnn I Snn hnCnn h , S2nn h2nC2nn I
3.2 群的定义和基本性质
• 定义: 群 G 是一个不同元素的集合{A,B,…,R,…}, 对于一定的 乘法规则, 满足以下四个条件:
• 1) 封闭性 群中任意两个元素 R和 S的乘积等于集合中另一个元素, T=RS
3.1.1 n 重对称轴, Cn (转动) 转角 2 / n
Cn ,Cn2,Cn3,....,Cnn I
I 为恒等操作
主轴: n 最大的轴。 产生 n-1 个转动。
Baidu Nhomakorabea
3.1.2 对称面, (反映)
2 = I h : 垂直于主轴的对称面 v :包含主轴的对称面 d :包含主轴且平分两
个C2轴的对称面
所以 D3 的共轭类为: {e}, {d,f}, {a,b,c}
3.3 点群
• 分子的所有对称元素构成分子的点群. 这些对称元素至少保持空间中的一点(分子质心)不变, 从而成为点群.
• 如H2O的所有对称元素为: I, C2, v (xz) , v (yz)
1. Cn点群
Cn ,C2n ,C3n ,....,Cnn I
例1. 全部整数的集合, 乘法规则为代数加法, 则构 成一个群.
恒等元素为 0. 数 n 的逆元素为 (-n). 封闭性和结合律是显然的.
例2. 数的集合 {1, -1, i, -i}, 乘法规则为代数乘法, 则构成一个群.
恒等元素为1. 数 (-1) 的逆元素为(-1).数 (i) 的逆元素为 (-i).
7. Dnh群
有一个Cn轴, n个垂直于该轴的C2轴,
1个垂直于该轴的对称面h
D3h
H2为Dh
8. Td点群 有4个C3轴, 3个 C2轴, 6个对称面 d. 正四面体对称群.
Cnn-1 C-n1
Sn hCn , S2n hCn hCn h2Cn2 Cn2
例: S4 h C4
S24 h2 C42 C2 , S34 h3C34 h C34 S-41 S44 h4 C44 I
S3 h C3 S32 h2 C32 C32 , S33 h3C33 h I h S34 h4 C34 C34 C3 ,S53 h5C35 h C32 , S36 h6 C36 I
•子群: 设 H 是群 G 的非空子集, 若对于群 G 的乘法规则,集 合 H 也满足群的四个条件,则称 H 是 G 的子群.
显然, 恒等元素 E 和群 G 自身是固有子群.
例. 在 D3={e,d,f,a,b,c} 中, 子集 {e,d,f}, {e,a}, {e,b}, {e,c}都是子群.
共轭元素: B=X-1AX ( X,A,B都是群G的元素) (A和B共轭）
元素的共轭类: 一组彼此共轭的所有元素集合称为群的 一个类.
f 类 = { x-1fx, x 取遍所有的群元素}
例. 求 D3 的所有共轭类 D3={e,d,f,a,b,c}
e 类: x-1ex =e
d 类: a-1da=ac=f
a 类: b-1ab=bd=c d-1ad=fb=c c-1ac=cf=b
• 2) 结合律 A(BC)=(AB)C • 3) 有唯一的恒等元素 E, 使得对任意群元素 R, 有 RE=ER=R • 4) 每个元素 R 必有逆元素 R-1, 使得 RR-1 =R-1 R=E
•性质: 1) 若 AB=AC 则 B=C
•
2) (AB) –1 =B –1 A –1
• 因为 (AB)(AB) –1 =ABB –1 A –1 =AA –1 =E
第三章 分子对称性和点群
分子具有某种对称性. 它对于理解和应用分子 量子态及相关光谱有极大帮助.
确定光谱的选择定则需要用到对称性. 标记分子的量子态需要用到对称性.
3.1 对称元素
对称性是指分子具有两个或更多的在空间不可区分的图象. 把等价原子进行交换的操作叫做对称操作. 对称操作依赖的几何集合(点,线,面)叫做对称元素.
2. Sn 点群 (n为偶数) Sn ,S2n ,S3n ,....,Snn I S2 i
3. Cnv 点群 有一个 Cn 轴和 n 个包含该轴的对称面 v
Cv
4. Dn点群 有一个Cn轴和n个垂直于该轴的C2轴. (暂没有实例）
5. Cnh点群 有一个Cn轴和一个垂直于该轴的对称面h.
6. Dnd点群 有一个Cn轴,一个S2n轴, n个垂直于该轴 的C2轴, n个平分C2轴的对称面d.