第三章向量组的线性关系与秩(课堂PPT)
第三章 向量 线性关系 秩
第三章 向量 线性关系 秩基本要求：1. 理解n 维向量的概念.2. 理解向量组的线性组合、线性相关、线性无关的概念.3. 掌握向量组的线性相关、线性无关的有关性质及判别方法.4. 了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩. 一、向量及其运算 1. 向量向量是用有序数组表示的既有大小又有方向的量，又称矢量. n 维向量有两种表示形式：12n a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或 ()12,,,na a a .前者称为n 维列向量，后者称为n 维行向量.列向量常记作a 、或a、或α等.有大小无方向的量，称为数量或标量.注：列向量可视为或等同于列矩阵，行向量可视为或等同于行矩阵 2. 向量运算及其运算规律 零向量、负向量(1)运算①相等 ②加法 ③数乘 ④转置若12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()12,,,T n a a a a = .⑤内积(向量与向量的乘法)(见下一章)注：相等、加法、内积运算要求向量同型、同维.向量没有“逆”运算，即向量没有逆向量. (2)运算规律同矩阵的运算规律，故略.定义了加法与数乘法两种运算的所有n 维列(行)向量的全体构成一个所谓的n 维线性空间(见第五章)，亦称向量空间.以下讨论一般在n 维向量空间中进行. 3. 应用用向量表示线性方程组11112211211222221122,,.n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ (1) 设12(1,2,,)i i i in a a a i n a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ，12n b b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则方程组(1)可表示为 1122n n x a x a x a b +++=. (2)作业：P63 1. 2. 二、向量组的线性关系 1. 基本概念定义1 若存在一组数s k k k ,,,21 使1122s s k k k βααα=+++ ， (3)则称向量β可由向量组12,,,s ααα 线性表示，也称向量β是向量组12,,,s ααα 的一个线性组合.例如：3112210--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭表明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23可由向量组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111，线性表示. 例如：10532436327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭是1052,3,6327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭的一个线性组合，而1052236327⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭是1052,3,6327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭的另一个线性组合. 其实，可以利用(分块)矩阵乘积的形式表示(3)式：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s s k k k 2121),,,(αααβ. (当12,,,s ααα 为列向量时)或 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s s k k k αααβ 2121),,,(. (当12,,,s ααα 为行向量时)定义2 若存在一组不全为零的数s k k k ,,,21使1122s s k k k αααο+++= . (4)则向量组12,,,s ααα 称为线性相关.不线性相关的向量组称为线性无关.定义2表明，向量组12,,,s ααα 线性相关仅当齐次线性方程组1122s s x x x αααο+++= 有非零解s k k k ,,,21.定义2表明，向量组12,,,s ααα 不线性相关，若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21总有οβββ≠+++s s k k k 2211.换句话说，1122s s k k k αααο+++= 成立仅当021====s k k k .例如：3112210ο--⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，表明向量组311,,210--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关.0700230321321 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k ，即齐次线性方程组0723032001321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k 当且仅当1230k k k ===，所以向量组1002,3,0327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关.2. 基本结论(1)向量组12,,,s ααα 线性相关⇔12,,,s ααα 中至少有一个向量可由其它向量线性表示. P55 证向量组12,,,s ααα 线性无关⇔12,,,s ααα 中任意一个向量不能由其它向量线性表示.证(2)向量组12,,,s ααα 线性相关⇔齐次线性方程组1122s s x x x αααο+++= 有非零解. P54 证推论 n 个n 维向量线性相关⇔n 个向量所构成的方阵的行列式为0.向量组12,,,s ααα 线性无关⇔齐次线性方程组1122s s x x x αααο+++= 只有零解. P54 推论 n 个n 维向量线性无关⇔n 个向量所构成的方阵的行列式不为0. (3)一个向量α线性相关αο⇔=. P54 证一个向量α线性无关αο⇔≠. 例如，(4)两个向量,αβ线性相关k l αββα⇔=或＝(几何上，即,αβ共线或平行). 证两个向量,αβ线性无关k l αββα⇔≠≠且(几何上，即,αβ不共线或不平行). 例如，(5)标准单位向量组是线性无关的向量组. P54 证(6)若向量组中的一个部分组线性相关，则该向量组线性相关.(部分相关，整体相关) P55 证若向量组线性无关，则它的任意一个部分组也线性无关.(整体无关，部分无关) P55 推论 含有零向量的向量组线性相关. P55 (7)设向量组12,,,s ααα 线性无关，向量组12,,,,s αααβ 线性相关，则β可由向量组12,,,s ααα 唯一线性表示.(表示系数称为β关于向量组12,,,s ααα 的坐标) P55证(8)线性相关向量组的缩短向量组线性相关. 证 设1122s s k k k αααο+++= ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,0,0,0221122221211212111s ms m m ss s s k a x a k a k a k a k a k a k a k a 不妨去掉最后一个方程，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---,0,0,0121211122221211212111s s m m m ss s s k a x a k a k a k a k a k a k a k a 即12,,,s ααα 的少一个分量的缩短向量组也线性相关.线性无关向量组的加长向量组线性无关. P56(9)任意1n +个n 维向量线性相关. P59 推论 任意()m m n >个n 维向量线性相关.3. 向量组线性相关/线性无关的判定方法(1)观察法；(2)定义法；(3)基本结论法；(4)秩法(下面讲). 作业：P64 6. 7. 8. 9. 10.-11. 三、秩1. 向量组的秩设有两个向量组(Ⅰ)12,,,s ααα ；(Ⅱ)12,,,t βββ .定义3 若向量组(Ⅰ)中的每个向量都可由向量组(Ⅱ)线性表示，则称向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出. P57线性表出的性质: 1)反身性；2)传递性.定义4 若两个向量组可以互相线性表出，则称它们等价. P57向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，当它们都是列向量组时，则有s t ⨯矩阵A 和t s ⨯矩阵B 使(12,,,s ααα )=(12,,,t βββ )A ，(12,,,t βββ )=(12,,,s ααα )B .向量组等价的性质: 1)反身性；2)对称性；3)传递性.定义5 若一个向量组的某个部分向量组线性无关，且向量组中没有包含该部分向量组的更大线性无关组，则称这个部分向量是向量组的一个极大线性无关组. P57注：一个向量组可能有极大线性无关组，也可能没有极大线性无关组；可能有一个极大线性无关组，也可能有多个极大线性无关组.例如，1)只有零向量的向量组没有极大线性无关组；2)线性无关的向量组只有一个极大线性无关组.如：标准单位向量组只有一个极大线性无关组；3)102,,013⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有多个极大线性无关组.定理1(P57 命题3.5) 向量组与它的任意一个极大线性无关组等价. 推论1(P57 推论) 向量组中的任意两个极大线性无关组等价.定理2(P57 引理3.6) 若列向量组12,,,r ααα 线性无关，且()12,,,r A O ααα= ，则A O =. 定理3(P58 定理3.7) 等价的线性无关向量组所含向量的个数相等.证 设向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，且它们都是线性无关的列向量组，则有s t ⨯矩阵A 和t s ⨯矩阵B 使(12,,,s ααα )=(12,,,t βββ )A ，(12,,,t βββ )=(12,,,s ααα )B .从而(12,,,s ααα )=(12,,,s ααα )BA .于是由定理2有O BA E s =-，即BA E s =.同理有AB E t =.根据第38页上的例2.11知，必有t s =.所以等价的线性无关向量组所含向量的个数相等. 推论2(P58 推论) 一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数相同.定义6 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩. 记作)(⋅r 或)(⋅rank . P58 规定：没有极大线性无关组的向量组的秩为0.例如: 102,,2013r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝.关于向量组还有以下常识结论：(1)对于任意一个向量组12,,,s ααα ，总有{}12,,,s r s ααα≤ .(2)若向量组12,,,s ααα 是向量组12,,,t βββ 的一部分，则{}{}1212,,,,,,s t r r αααβββ≤ .(3)若向量组12,,,s ααα 可由向量组12,,,t βββ 线性表出，则{}{}1212,,,,,,s t r r αααβββ≤ .(P58 定理3.8)(4)若线性无关的向量组12,,,s ααα 可由向量组12,,,t βββ 线性表示，则 s t ≤.(P58 推论2) (5)若向量组12,,,s ααα 可由向量组12,,,t βββ 线性表出，且s t >，则12,,,s ααα 线性相关.(P58 推论3)(6)等价向量组的秩相等.(P58 推论1)(7)对于任意两个向量组12,,,s ααα 和12,,,t βββ ， 总有{}{}{}{}{}{}121212121212max ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,t s s t s t r r r r r βββααααααβββαααβββ≤≤+ 求极大线性无关组的方法：(1)观察法并参考基本结论；(2)初等行变换法(后面讲)；(3)常识结论法.作业：习题A P64 12. 2. 矩阵的秩一个m n ⨯矩阵可以写成如下两种分块形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=T m T Tmn m m n n a a a a a a a a a A ααα 21212222111211()TnT Tβββ 21=， 其中T m T T ααα,,,21 叫作A 的行向量组，TnT T βββ,,,21 叫作A 的列向量组. 定义7 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩.定理1(P59 引理3.9) 初等变换不改变矩阵的行秩与列秩. 定理2(P60 定理3.10) 矩阵的行秩等于矩阵的列秩.定理2表明：)()(A r A r T =.推论(P61 定理3.11) 初等变换不改变矩阵的秩.定义8 矩阵的行秩(或者列秩)称为矩阵的秩.记作)(⋅r 或)(⋅rank .定义9 在m n ⨯矩阵A 中任选k 行与k 列(},min{1n m k ≤≤)，则由这些行、列交叉点上的元素(不改变它们的相对位置)所构成的k 阶行列式称为A 的一个k 阶子式.定理3(P61 定理3.12) r A r =)(的充分必要条件是A 至少有一个r 阶子式不为零，且若有r 阶以上的子式，则所有r 阶以上的子式皆为零.定理4 r A r =)(的充分必要条件是A 至少有一个r 阶子式不为零，且若有r 阶以上的子式，则含该r 阶子式的所有r 阶以上的子式皆为零.定理3、定理4其实给出了求矩阵的秩的一种原则方法. 例(P63 例3.9) 解 分析： 形如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000002100015302，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000000000410083521. 的矩阵称为行阶梯形矩阵. P62形如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000210015002，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000010000010080021. 的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵.行阶梯形矩阵的特点：(1)； (2)； (3)； (4).定理5(P63 命题3.13) 行阶梯形矩阵的秩等于元素不全为零行的行数.定理6(P63 命题3.14) 任意矩阵都可经过初等行变换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.例(P63 例3.9)定理7 完全的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性；完全的初等列变换不改变矩阵的行向量组的线性相关性.例(P63 例3.9)关于矩阵还有以下常识结论：(1)()()(),r AB r A r B ≤简证：()()()12 c c B AB AB A AB A O A -⎧⊂⎪⇒⎨→⎪⎩ ()()() r AB r AB A r A ≤=. (2)()()()r AB r A r B A ≥+-的列数(3)()()()()(), r A r B r A B r A r B ≤≤+ 简证：见向量组的基本结论 (4)()()()r A B r A r B ±≤+简证：()()12c c A B A B B A B ±⊂±→()()()()() r A B r A B B r A B r A r B ⇒±≤±=≤+求秩的方法：(1)观察法；(2)定义法；(3)初等变换法；(4)基本结论法. 作业：习题A P64 13. 15. 16.习题B P65 5*.。
向量组的线性关系与秩
当且仅当存在不全为零的标量$k_1, k_2, ..., k_n$，使得 $k_1a_1 + k_2a_2 + ... + k_na_n = 0$时，向量组$(a_1, a_2, ..., a_n)$线性相关。
向量线性无关的定义
向量线性无关是指不存在不全为零的 标量$k_1, k_2, ..., k_n$，使得 $k_1a_1 + k_2a_2 + ... + k_na_n = 0$。
04
CHAPTER
线性方程组解的结构
线性方程组解的判定定理
1 2 3
判定定理1
如果线性方程组中，系数矩阵的行列式值不为0， 则线性方程组有唯一解。
判定定理2
如果线性方程组中，系数矩阵的行列式值为0， 且其对应的二阶子矩阵行列式值不为0，则线性 方程组有无穷多解。
判定定理3
如果线性方程组中，系数矩阵的行列式值为0， 且其对应的二阶子矩阵行列式值也为0，则线性 方程组无解。
秩-零度定理法
利用秩-零度定理，通过计算向量组的零度得到 秩。
最大无关组法
寻找向量组中的极大线性无关组，极大线性无关组中向量的个数即为向量组的 秩。
03
CHAPTER
向量组的线性表示
向量组的线性表示的定义
向量组的线性表示是指一组向量可以由 另一组向量线性组合而成。
线性组合是指通过常数倍的加和、加减运算 以及数乘运算得到的向量。
02
向量组线性无关当且仅当每个向 量都不能被其他向量线性表示。
02
CHAPTER
向量组的秩
向量组的秩的定义
向量组的秩定义为该组向量中线性无关向量的个数。
如果一个向量组中存在一组不全为零的标量系数，使得这组标量与向量组中的每个向量相乘后得到的向 量线性无关，则称这组标量是该向量组的一个极大线性无关组。
32向量 3-3 向量组的线性相关性 课件 43页PPT文档
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25
故
1 1 2 2 m 1 m 1 1 a m 0
因 1 ,2 , ,m 1 , 1 这m个数不全为0，
故性相关，
则有不全为0的数 k1,k2, ,km, 使
从而
k11 k12 k1s
（ b1,b2, ,bs) （1,2,,m)
k21
k22
k2s
km1 km2 kms
矩阵 Kms (kij)称为这一线性 数表 矩.示 阵的
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18
若Cmn AmsBsn，则矩 C的 阵列向量组能 矩阵 A的列向量组线B性 为表 这示 一， 表示的 矩阵：
类似，A 若 经矩 初阵 等列B变 ，A 换 则 的变 列向量 B的 组列 与向量 . 组等价
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21
对方程组A的各个方程做线性运所算得到的 一个方程就称为方程A组的一个线性组合；若方 程组B的每个方程都是方程A组的线性组合，就 称方程组B能由方程组A线性表示，这时方程组 A的解一定是方程组 B的解；若方程组A与方程组 B能相互线性表示，就这称两个方程组等价，等 价的方程组一定同.解
空间
(n3)
线性代数
点空间：点的集合
几何形象： 空间 直线、曲线、空间 平面或曲面
坐
向量空间：向量的集合
标
代数形象： 向量空
系
间中的平面
( x ,y ,z ) a b x c y d z r ( x ,y , z ) T a b x c y d z
P(x,y,z)
一一对应
r(x,y,z)T
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第三章 n维向量组 PPT课件
显然
A
1T
,
T 2
,
T 3
，所以
2 0 3
5 1 0
线性412无 关。
0 0 0
解：(1)设
5 2 7 5 2 7
A
1T
,
T 2
,
T 3
2
1
1 2
1
1
因为该向量组是由3个3维9向量1组成8的，即9满足推1 论81，所以，我
们只需计算
A 527
A 2 1 1 40 18 14 63 32 5 0 9 1 8
所以 1, 2 ,3 线性相关。 (2)作初等行变换
1 2 3 1 2 3
4 1 1 0 A 0 1 1 2
2 1 0 1 2 1 0 2
要 能被向量组 1,2 ,3 线性表出，即要求非齐次线性方程组
4x1 x2 x3 0
x2 x3 2 2x1 x2 1
2x1 x2 2
有解，而由定理4.1.1知，该方程组有解的充要条件是 r(A) r(A)
命题3.2.2：对 m 维向量组1,2, ,n，记 A 1,2 , ,n
下列三结论等价
（1）1,2, ,n 线性相关；
（2）AX O有非零解； （3）r(A) n 或者也可以换个角度，下列三结论等价
（1）1,2, ,n 线性无关；
（2）AX O只有零解； （3）r(A) n
推论1：当m n 时，对 n 个 n 维向量1,2, ,n ，记A
n
把原始向量的序号 1,2 , ,n , 标注在矩阵右侧；
第二步：对矩阵 A 作初等行变换，化为行阶梯形矩阵，且
将每次变换的过程标注在右侧；
第三步：若最后的行阶梯形矩阵中，标注有 的行不是零行， 则向量 不能被向量组1,2, ,n 线性表出；若标注有 的行
复旦大学精品课程《线性代数》课件,第三章n元向量的线性关系课件复习精品资料
3.3 n元向量的线性关系一.线性组合和等价向量组定义3.1n 个数组成的有序数称为n 元向量，其中称为这n 元向量的第i 个分量，常用或表示n 元向量。
12(,,,)n a a a i a αβ12(,,,)Tn a a a α=12 n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭n 元列向量（常用）：n 元行向量：12 ,n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12 n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭定义3.2 两个n 元向量：当他们各个分量对应相等时，即则称与相等，记做12,1,2,,,a b i n ==αβ.αβ=定义3.2 设n 元向量与，k 为数，则n 元向量αβ1122 ,n n a b a b a b +⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭12 n ka ka ka ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为与的和，k 与的数量乘积。
αβα•通常将向量的加法、数乘运算称为向量的线性运算。
定义3.3 设一组向量，若存在一组数，使12,,,,m βααα12,,,m k k k 1122m mk k k βααα=+++则称是向量组的线性组合，或称可以由向量组线性表示。
β12,,,m αααβ12,,,m ααα(1).零向量可以经任意向量组线性表示。
(2).任一n 元向量可以经由n 元向量组线性表示式：0(0,0,0)T=12(,,,)Tn a a a α=1(1,0,,0),(0,0,,1)T T T Tn e e ==1122.n n e e e αααα=++•向量是矩阵A 各列向量的线性组合的两个充要条件：•线性方程组相容。
•矩阵的秩与矩阵相同。
且线性表示式中系数可以由线性方程组的解给出。
β12,,,m αααAX β=12(,,,)m ααα12(,,,,)m αααβ例1已知向量试问可否经向量组线性表示。
12(1,0,2,1),(1,0,2,1),T Tαα==34(2,1,3,0),(2,5,1,4),TTαα==-4α123,,ααα解记1231234(,,),(,,,).A A ααααααα==1122021520311104A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭312R R -41R R -32R R +41/2R -34,R R 交换1122021502150022⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪-⎝⎭112202150000011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭11220215001100⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭记B可以看出，根据充要条件(2)，可以得出可以经由线性表示。
线性代数课件：3-3向量组的秩
（4）向量组都与它的任一极大线性 无关组等价；
定理3.3.3 若向量组（Ⅰ）：
1, 2 ,, s
可由向量组（Ⅱ）：
1, 2 ,, t
线性表出,且向量组（Ⅰ）的秩为p ，向量 组（Ⅱ）的秩为q，则 p≤q。
!!!例3.3.6 设A是m×k矩阵,B是k×s矩 阵，则
R(AB) minR(A),R(B)
证 设A的列向量组为A1,A2, …,Ak， 矩阵B=(bij)k×s，矩阵C=AB的列向量组为 C1,C2,…,Cs ,则
C j b1 j A1 b2 j A2 bkj Ak ( j 1,2,, s)
例3.3.2 设向量组α1=(0,0,-1,1), α2= (1,1,-1,0), α3=(2,2,-1,-1)α4=(-1,-1,0, 0),求它 的一个极大线性无关组及该向量组的秩。
解 由于α1≠0，保留α1;又α2≠kα1,即α1 与α2线性无关，保留α2；因α3=2α2-α1,所以 α1,α2, α3线性相关，
全由零向量组成的向量组的秩规定为零。
由向量组秩的定义，一个向量组线性 无关的充要条件是该向量组的秩等于向量 组中所含向量的个数；
Question: 任意一个非零向量组α1,α2, …,αm是否必定 存在一个极大线性无关组？
回答是肯定的。
对于向量组α1,α2, …,αm ，我们可用如 下方法求它的极大线性无关组：
要证s=r。
j1 , j2 ,, jr
由于 i1 , i2 ,, is为极大线性无关组，
所以 j1 , j2 ,, jr可由其线性表出，又 j1 , j2 ,, jr 线性无关，由定理 3.3.2
《向量组的秩》课件
在数学、物理中的应用
向量组的秩在数学和物理领域有着广泛的应用，例如解决线性方程组、矩阵分析、以及空间 几何等问题。
向量组的秩的发展趋势
随着数学和科学的不断发展，向量组的秩的研究也在不断深化，新的应用和问题不断产生。
向量组的秩
向量组的秩是线性代数中一个重要的概念，它涉及了向量组的定义、线性相 关和线性无关、以及秩的计算方法。本课件将带你领略向量组的奥秘和应用。
向量组的定义和基本性质
向量组的概念
向量组是由一组向量构成的集合，它可以用于描 述多个有关联的量。
向量组的线性相关和线性无关
向量组中的向量可能具有相关性，也可能是线性 无关的，这取决于线性方程组的解的个数。
2
等价向量组的秩相等
对于等价向量组，它们的秩是相等的。而等价向量组是通过初等行变换相互转化而得到的。
3
初等行变换与秩的关系
通过初等行变换可以改变矩阵的行，而秩受到这些变换的影响。
4
矩阵的秩和向量组的秩
矩阵的秩和矩阵所表示的向量组的秩是相等的，它们之间有着密切的联系。
线性方程组和矩阵的应用
齐次线性方程组的解 的性质
向量组的线性表示
向量组可以通过线性组合表示其他向量，例如向 量a和向量b的线性组合为ka+lb。
向量组的极大线性无关组和秩的定义
一个向量组的极大线性无关组是该向量组的最大 线性无关集合。向量组的秩是极大线性无关组的 向量个数。
秩的性质和计算方法
1
秩的基本性质
秩满足一系列性质，例如当线性方程组有唯一解时，其秩等于方程组中的未知数个数。
线性代数课件--08向量组的线性关系-PPT精选文档
k k , ,k 称为向量组 A 的一个线性组合， 称为这 1, 2 m 个线性组合的系数.
说明 向量组的线性组合就是向量的线性运算的表达式. 线性组合的系数可以是任意实数.
课件
9
四、线性表示的概念
定义 给定向量组 A 和向量 ，如果 : , , , 1 2 m 存在一组数 k ，使得 k , ,k 1, 2 m 即 是向量组A 的线性组合，则称向量 能由向量 组 A线性表示. 定义 设有两个向量组 A 和B : , , , : , , 1 2 m 1 2 , l ， 如果向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示. 如果向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这 两个向量组等价.
课件 10
k k k ,
1 1 22
m m
说明
, , , 向量 能由向量组 线性表示，就是存 1 2 m 在k ，使 k , ,k 1, 2 m
, , , 向量组 线性 , , , m 1 2 l 能由向量组 1 2 k ,k (j 1 , 2 , ,l ), 表示，就是存在 l组数k 1j , 2j, mj 使得 k1 j k2 j k k k ( 1 , 2, , m ) j 1 j 1 2 j 2 mj m k mj j 1 , 2 , , l 课件
R { P ( x , y , z ) | x , y , z R }——3维空间 3 T R {( x , y , z ) | x , y , z R } ——3维向量空间
3
课件 5
{ P ( x , y , z ) | ax by cz d } （ a, b, c不全为 0 ） ——3维空间中的一个平面
《向量组的秩》课件
若向量组A可由向量组B线性表示，则A的秩不大于B 的秩。
向量组的秩的推论
推论1
若向量组A线性相关，则A的秩小于A中向量的 个数。
推论2
若向量组A线性无关，则A的秩等于A中向量的 个数。
推论3
若矩阵A的行（或列）向量线性相关，则A的秩小于其行（或列）向量的个数。
向量组的秩的证明方法
方法1
01
最多的线性无关组。
向量组的秩的性质
如果向量组a₁, a₂, ..., an线性 相关，则其秩小于向量的个数 ；反之，如果向量组a₁, a₂, ..., an线性无关，则其秩等于向
量的个数。
向量组秩的性质
性质1
向量组的秩是唯一的。
性质2
如果向量组a₁, a₂, ..., an可以由向量组b₁, b₂, ..., bn线性表示，那么向量组a₁, a₂, ..., an 的秩不大于向量组b₁, b₂, ..., bn的秩。
线性相关
如果存在不全为零的数k₁, k₂, ..., kn，使得k₁a₁ + k₂a₂ + ... + knan = 0，则称向 量组a₁, a₂, ..., an线性相关。
向量组的秩的定义
向量组的秩
向量组中线性无关向量的个数 称为向量组的秩。
最大线性无关组
在给定向量组中，选取的线性 无关向量组中含有的向量个数
向量组的秩在求解线性方程组中的应用
通过判断向量组的秩，可以确定线性方程组是否有唯一解、无穷多解或无解，从而选择合适的求解方 法。
在矩阵分解中的应用
向量组的秩与矩阵分解的关系
矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩。通过矩阵分解，可以 将一个复杂的矩阵表示为几个简单的、易于处理的矩阵的乘积。
线性相关性与秩.ppt
4时，r( A) 3 4,1,2 ,3,4线性相关。
1,2,3是一个极大无关组。 但，行摆行变换不行！
反例： 1 (1,0,0), 2 (1,1,0), 3 (1,1,0)
1 1 A 2 1
3 1
0 1 1
0 0 0
r3 r1
1 1 2
0 1 1
" ": 1,2 ,,m线性相关,
由定理1知，必有某个向量（不 妨设m )可由其余m 1个
向量线性表示为 m k11 km1m1
写成分量形式为 amj k1a1 j k2a2 j km1am1, j
(j=1,2, …,n)
对A作初等变换
A
1
mm1
a11
am1,1 am1
2.相关性的判定定理
定理3：在一个向量组中，若有一个部分向量组线性相关， 则整个向量组也必定线性相关。
推论：一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都 线性无关。
定理4：相m个关n的维充向要量条件i 是(a由i1,aii2(,i
, ain ) 1, 2,
(i
1, 2, m)线性 m)构成的矩阵
1 a11
1,2 ,,s线性无关且
1 2
s
a11 a21
as1
a12 a22
as2
a1s 1 a2s 2
a
ss
s
a11
K
a21
as1
a12 a22
as2
a1s
a2s
ass
证明 : 若r(K ) s，则1, 2 ,, s线性无关。 1,2 ,,s与1, 2 ,, s等价。
a12
am1,2 am2
第三章向量组的线性关系与秩(课堂PPT)
1 0 0
2 0 0
5 2 0
103000
1 0 0
2 0 0
5 1 0
1 3 02
—
性 代 数 教 案 华 南 理
4
0
0
0
1 1
0 0
0 2
0 0
0 0
1 0
3
13
2
3
2 0
4 0 0 0
0 1 0 0
2 2 0 0
0 0 1 0
19 2
13
2
3
2
0
工 大 学 广 州
华 非零解(无非零解(只有零解)).
南
理 工 大
n个n维向量 1,2,L,n线性相关 1,2,L,n0
学
广 州
n个n维向量 1,2,L,n线性无关 1,2,L,n0
学
院
.
17
与线性相关性有关的性质：
—
联 合 班
① 1,2,L,s线性相关 至少有一个 i 可以用其
他向量线性表示。
线
性 代
②当向量的个数s大于维数n时，1,2,L,一s 定线
—
线 性
则说1,2,L,s线性相关,否则就说它们线性无关.
代
数 教
说明:① 意义和定义是一致的.比如设 c s 不为0,则
案 华 南
sc c1 s 1c c2 s 2Lccs s1 s1
理 ② 当向量组中只有一个向量(s=1)时,它相关(无关)就
工 大
是它是(不是)零向量.
学
广
州
学
③
学
院
.
12
—
3．等价关系：如果 1,2,,s与 1,2,,t互相可
《向量间的线性关系》PPT课件
n ]T (3)
k =[ka1,ka2 ,…, kan]T
(4) - = (-1) = [- a1,- a2 ,…,- an]T
(5) - = +(-1)
8
对任何的n维向量 , , 及任意实数k, l, 向
量 的加法及数乘运算统称为向量的线性运算.满足 下列的八条性质
(1) + = +
➢ 任意n+1个n维向量必线性相关
36
定理2.2.3
令 A 1,2, ,s ,则n维向量组 1,2 , ,s
线性无关的充分必要条件是s元齐次线性方程组
AX 0 仅有零解. 即向量组 1,2 , ,s
线性无关的充分必要条件是 R(A) s.
37
例 已知
1
0
2
1
1
，
2
2
，
3
4
，
1
5
35
推论2.2.3
令 A [1, 2 ,, n ] ,则n维向量组 1,2 , ,n
线性相关的充分必要条件是n元齐次线性方程组
AX 0 的系数行列式等于零
例7 任意s(>n)个n维向量必线性相关
设 1,2, ,s F n 令 A [1,2 , ,s ]
则
R(A) s
AX 0 有非零解
向量组 1,2 , ,s 必线性相关
设向量组为 0, 1,2,…,s 对任意的数 k 0，有
k0 + 01 + 02 +…+0n = 0
40
例11 如果n维向量组 1,2 , ,s (s 2)
线性无关, 试判断向量组
1 2 ,2 3, ,s1 s ,s 1
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—
线 性
则说1,2,L,s线性相关,否则就说它们线性无关.
代
数 教
说明:① 意义和定义是一致的.比如设 c s 不为0,则
案 华 南
sc c1 s 1c c2 s 2Lccs s1 s1
矩阵的秩。
大
学
广
州
学
院
.
3
（二）考试要求
—
联 1、理解n维向量的概念，向量的线性组合和线性
合 班
表示。了解向量组等价的概念。
线 2、理解向量组的线性相关和线性无关的定义，了
性 代
解并会用向量组的线性相关和线性无关的有关性
数 质及判别法。
教
案 3、理解向量组的极大无关组和秩的概念，理解矩阵
的秩的概念及其行列向量组的秩的关系。会求矩阵的
0
0
教 案
看c,c0,则不能表示, c=0, 则
0
2
1
0
1
3
1
0
华 南
a1b2 或 ab1b 3
理
工
大
学
广
州
学
院
.
9
联 问题是:判断 可否用1,2,L,s线性表示? 表示
—
合
班
方式是否唯一？”这也就是问：向量方程
线
x 否唯一？
—
联 合 班 线 性 代 数 教 案
华
南
理
工
大
学
广
州
学
院
.
1
—
联 合 班
线
性
代
数
教 案
第三讲 向量组的线性关系与秩
华
南
理
工
大
学
广
州
学
院
.
2
—
联
合
考试大纲要求
班
线
性 代
（一）考试内容
数
教
案 向量的概念；
向量的线性组合和线性表示；
华 向量组的等价；
向量组的线性相关性；
南
理 工
向量组的极大无关组和秩；
1,2,L,s线性表示,就说向量组 1,2,L,s可以
用 1,2,L,s线性表示.
教 案
表示如,则果矩向阵量组1,2,1L,,2t,L 可,分t解可为以矩用阵1, 1,2 ,L 2,L ,,s线s和性
华 南
一个矩阵C的乘积。
理
工
大
学
广
州
学
院
.
11
例如
联 合
1 1 2 2 ,2 2 2 3 3 ,3 3 3 1
一个 mn的矩阵的每一行是一个n维向量，称为
它的行向量；每一列是一个m维向量，称为它的列
案 向量。常常用矩阵的列向量组来写出矩阵。
华 南 理 工 大 学
例如当矩阵的列向量为 1,2,L,n时，记为
A 1 ,2,L,n
广
州
矩阵的许多概念也可对向量规定，如向量相等，
学 院
零向量等等。
.
6
—
联 2、线性运算和线性组合
它的s-1个向量线性表示,就说1,2,L,s线性无关.
华
南 理
如
1
工
大
a1 0
学 广
0
0
a 2 1 0
0
a3 0
1
州
学 院
线性无关。
.
14
—
联
合
班
1
线 性 代
a1 0 0
数 线性相关。
0
a 2 1 0
0
a3 0
1
1
a 4 0
1
教
案 两个向量线性相关就是它们的对应分量成比例.如
数
教 案
a1
华
a1,a2,L,an 或
a
2
南 理
M
工 大 学
a
n
广 州
作为向量，它们没有区别，但是作为矩阵它们是不
学 院
同的！ 通常把它们分别称为行向量和列向量。
.
5
—
a11 a12 L a1n
联 合 班
a
2
1
a 22
L
a
2
n
L L L L
线
a
n1
an2
L
a nn
性
代 数 教
学
院
.
12
—
3．等价关系：如果 1,2,,s与 1,2,,t互相可
联 合
表示
班
线
1,2,,s 1,2,,t
性
代 就称它们等价，记作
数
教 案
1 ,2 , ,s1 ,2 , ,t
华
向量组的线性表示关系有传递性,即如果向量组
南 理 工 大
可1,以2用,L,1,t可2,以L用,r线1,性2,表L示,,则s线性1,表2,示L,,而t可以1,用2,L,s
数
教
案 设 A 1 ,2,L,s则此向量方程就是 AX .
华
南
理 工
反过来,判别“以 A 为增广矩阵的线性方程组是否
大 学
有解？解是否唯一？”的问题又可转化为 “
是否可
广 以用A的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”
州 学
的问题.
院
.
10
联
合
—
班 线 性 代 数
2.如果n维向量组 1,2,L,s 中的每一个都可以用
—
班
则
线 性 代
(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)
1 2
0 2
1 0
数 教
0 3 3
案 一般地C可以这样构造: 它的第i个列向量 i 就是对
华 南
1,2,L,s的分解系数.称C为 1,2,L,t 对
理 工
1,2,L,s的一个表示矩阵. (C不是唯一的)
大
学
广 州
记号: 可以表示 不可以表示
华
a a 1 ,a 2 ,a 3 ,b b 1 ,b 2 ,b 3
南
理 线性相关,不妨设 b ca ，即
工
大 学
b 1 c a 1 ,b 2 c a 2 ,b 3 c a 3
广
州
学
院
.
15
2、定义 设1,2,,s是n维向量组,如果存在不
联 全为0的一组数 c1,c2,,cs使得
合 班
c 11 c 22 c ss 0
合
班
向量组的线性组合
线
性 代
设1,2,,s是一组n维向量，c1,c2,L,cs是一
数 教
组数，则称
案
c 11 c 22 c s s
华
南 理
为 1,2,,s的线性组合，它也是n维向量。
工
大
学
广
州
学
院
.
7
二、 线性表示
—
联 合
设 1,2,L,s 是一个n维向量组.
班
线 1. n维向量
可用1,2,L,s表示，即 是1,2,L,s
性 代
的一个线性组合，也就是说存在数组c1,c2,L,cs使得
数 教 案
c 11 c 22 L c ss
例如
华
南 理 工 大 学 广
a b
c
1
1
0
0
0
2
1
0
0
3
0
1
州
学 院
则
a 1b .2c3
8
—
联
合
班 又如
线 性 代 数
a b
c
1
1
学 广
1,2,L,r线性表示.
州 学
等价关系也有传递性.
院
.
13
三、 向量组的线性相关性
联 合
班 1． 意义和定义--从三个方面看线性相关性
—
线 性
如果向量组 1,2,L,s中有向量可以用其它的s-
代 数
1个向量线性表示,就说1,2,L,s线性相关.
教 案
如果向量组1,2,L,s中每个向量都不可以用其
华 南
秩及向量组的极大无关组和秩。
理
工 4、理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行
大 学
(列)向量组的秩之间的关系。
广
州 本章的理论基础
学
院 线性表示 线性相关性 极. 大无关组和秩 矩阵的秩4
一、基本概念
—
联 1、向量
合 班
由n个数组成的有序数组称为一个n维向量，这些
线 数为它的分量。
性
代 向量可表示成