人教A版高中数学必修2第三章 直线与方程章末复习课

第三章直线与方程章末复习学案

学习目标

1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.

2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活选择直线方程的形式并熟练运用待定系数法求解，渗透数形结合、分类讨论的数学思想． 知识整理

1．直线的倾斜角与斜率

(1)直线的倾斜角α的范围是0°≤α<180°.

(2)k ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

存在，α≠90°，不存在，α＝90°.

(3)斜率的求法：

①依据倾斜角αtan =k ；②依据直线方程，把直线方程转化为y=kx+b ；

③依据两点的坐标2

12

1x x y y k −−=

．

2．直线方程的几种形式的转化

3．两条直线的位置关系

设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，(或222111::b x k y l b x k y l +=+=)则

(1)平行⇔

2121B B A A =

≠2

1

C C 2121b b k k ≠=⇔且 (2)相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0；21k k ≠⇔

(3)重合⇔A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0)或A 1A 2＝B 1B 2＝C 1

C 2(A 2B 2C 2≠0)．

4．距离公式

(1)两点间的距离公式． 已知点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 则|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)点到直线的距离公式．

①点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |

A 2＋

B 2

；

②两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2

.

典型题型 1.直线方程

例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是3，且经过点A (5,3)； (2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2；

(3)经过点A (－1,5)，B (2，－1)两点； (4)在x 轴，y 轴上的截距分别为－3，－1.

2.两直线的交点问题

例2 已知直线5x ＋4y ＝2a ＋1与直线2x ＋3y ＝a 的交点位于第四象限，则a 的取值范围是________．

练习：若直线l 1：y ＝kx ＋k ＋2与l 2：y ＝－2x ＋4的交点在第一象限，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >－2

3

B ．k <2

C ．－2

3

D ．k <－2

3

或k >2

3.求过两条直线交点的直线方程

例3 求过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．

4.点到直线的距离

例4 (1)求点P (2，－3)到下列直线的距离． ①y ＝43x ＋1

3；②3y ＝4；③x ＝3.

练习： (1)若点(4，a )到直线4x －3y ＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________________．

(2)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为______．

5. 由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直

例5 (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值；

(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？

6.两平行线间的距离

例6 (1)两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为_________．

(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________________．

7.利用距离公式求最值

例7已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则x2＋y2－2y＋1的最小值为________．

练习：(1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最小时P点的坐标；

（2）求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程．

（3）已知实数x、y满足4x＋3y－10＝0，求x2＋y2的最小值．

8.直线恒过定点问题

例8求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标．练习：不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过的定点坐标是________________．

练习巩固

1．若方程(6a2－a－2)x＋(3a2－5a＋2)y＋a－1＝0表示平行于x轴的直线，则a的值是()

A.

2

3 B.

1

2

C.

2

3，－

1

2D．－

1

2

2．已知直线l不经过第三象限，若其斜率为k，在y轴上的截距b(b≠0)，则()

A．kb<0 B．kb≤0

C．kb>0 D．kb≥0

3．直线l：x－y＋1＝0关于y轴对称的直线方程为()

A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0

C．x＋y＋1＝0 D．x－y－1＝0

4．若直线mx－(m＋2)y＋2＝0与3x－my－1＝0互相垂直，则点(m,1)到y轴的距离为_____．

5．直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为________．

方法提炼：

1．一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.

2．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y ＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.

3．点到直线与两平行线间的距离的使用条件：